1、阶段质量检测（三）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1下列各式正确的是()A(sin )cos (为常数)B(cos x)sin xC(sin x)cos xD(x5)x6解析：选C由导数运算法则易得，注意A选项中的为常数，所以(sin )0.2下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Aysin xByxe2Cyx3x Dyln xx解析：选B只有B中ye20在(0，)内恒成立3一质点的运动方程为s20gt2(g9.8 m/s2)，则t3 s时的瞬时速度为()A20 m/s B29.4 m/sC49.4 m/s D64.1 m
2、/s解析：选Bvs(t)gt，当t3时，v3g29.4.4若函数yf(x)的导函数在a，b上是减函数，则yf(x)在a，b上的图象可能是()解析：选A由导数的几何意义可知，当导函数单调递减时，原函数随自变量的增加，切线的斜率逐渐变小5若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：选Ay2xa，曲线yx2axb在(0，b)处的切线方程的斜率为a，切线方程为ybax，即axyb0.a1，b1.6对于R上的可导函数f(x)，若(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1) Bf(0)f(2)2f(2)Cf(0)f(
3、2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)解析：选D若f(x)不恒为0，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上为增函数，(，1)上为减函数，f(2)f(1)，f(1)f(0)，即f(2)f(0)2f(1)当f(x)0恒成立时，f(2)f(0)f(1)，f(2)f(0)2f(1)综合可知，f(2)f(0)2f(1)7函数y2x32x2在1,2上的最大值为()A5 B0C1 D8解析：选Dy6x24x2x(3x2)，列表：x1(1,0)02yy4单调递增0单调递减单调递增8ymax8.8已知f(x)xsin x，x，则导函数f(x)是()A仅有极小值的奇函数B仅有极小值
4、的偶函数C仅有极大值的偶函数D既有极小值也有极大值的奇函数解析：选Cf(x)cos x，x，f(x)是偶函数令h(x)cos x，则h(x)sin x，x.由h(x)0，得x0.又x时h(x)0；x时h(x)0，则对于任意的a，b(0，)，当ab时，有()Aaf(a)bf(b)Caf(b)bf(a) Daf(b)0得0，即0，即xf(x)x0.x0，xf(x)0，即函数yxf(x)为增函数，由a，b(0，)且ab，得af(a)bf(b)，故选B.10对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca0或a21 Da0或a21解析：选A令f(x)3
5、x22ax7a0，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数不存在极值点11设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B.C. D2解析：选C设底面边长为x，侧棱长为l，则Vx2sin 60l，所以l，所以S表2S底S侧x2sin 603xlx2.令S表x0，即x34V，解得x.当0x时，S表0；x时，S表0.所以当x时，表面积最小12已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2C2或 D不存在解析：选Af(x)x3ax2bxa27a，f(x)3x22axb，由题意知f(1)32ab0，b32a，又f(1)1a
6、ba27a10，将代入整理得a28a120，解得a2或a6.当a2时，b1；当a6时，b9.经检验得，a2，b1不符合题意，舍去.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13函数f(x)2x2ln x的单调递增区间为_解析：函数f(x)的定义域为(0，)，令f(x)4x0，得x.答案：14函数yx3ax2bxa2在x1处有极值10，则a_.解析：y3x22axb，或当a3，b3时，y3x26x33(x1)20恒成立，故舍去答案：415在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_解析：yax2的导数
7、为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.答案：316若函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为_解析：令f(x)3x23a20，xa，当f(x)0时，xa或xa；当f(x)0时，axa.所以f(x)极大值f(a)2a3a，f(x)极小值f(a)a2a3.解得a.答案：三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线y3x2，试求函数的极大值与极小值的差解：f(x)3x22axb.因为f(x)在x2处有极值
8、，所以f(2)0，即124ab0.因为f(1)3，所以2ab33.由，得a3，b0.所以f(x)x33x2c.令f(x)3x26x0，得x10，x22.当x(，0)(2，)时，f(x)0；当x(0,2)时，f(x)0.所以f(0)是极大值，f(2)是极小值，所以f(0)f(2)4.18(本小题满分12分)已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1
9、，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，必须满足解得0a.所以，a的取值范围是.19(本小题满分12分)已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln
10、 x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5，因x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.无极大值20(本小题满分12分)已知f(x)exax1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围(2)是否存在a，使f(x)在(，0上单调递减，在0，)上单调递增？若存在， 求出a的值；若不存在，说明理由解：(1)f(x)exax1，f(x)exa.f(x)在R上单调递增，f(x)exa0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即aex，xR恒成立xR时，ex(0，)，a0，即a的取
11、值范围是(，0(2)f(x)exa.若f(x)在(，0上是单调递减函数exa0在x(，0上恒成立a(ex)max，当x(，0时，ex(0,1，a1.若f(x)在0，)上是单调递增函数exa0在x0，)上恒成立a(ex)min，当x0，)时，ex1，)，a1.由知a1，故存在a1满足条件21.(本小题满分12分)为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外壁建造单价为400元/m2，中间两条隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2(池壁厚度忽略不计，且池无盖)(1)写出总造价y(元
12、)与x的函数关系式，并指出定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价解：(1)矩形平面图的两边长分别为x m， m，根据题意，得解得x16.y40024816 000800x16 000，x16.(2)y800，当x16时，y0，函数在上为减函数，所以当长为16 m，宽为12.5 m时，总造价y最低，为45 000元22(本小题满分12分)设函数f(x)x3x2(a1)x1，其中a为实数(1)已知函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)已知不等式f(x)x2xa1对任意a(0，)都成立，求实数x的取值范围解：(1)f(x)ax23x(a1)由于函数
13、f(x)在x1时取得极值，f(1)0，即a3a10，a1.(2)法一：由题设知ax23x(a1)x2xa1对任意a(0，)都成立，即a(x22)x22x0对任意a(0，)都成立设g(a)a(x22)x22x(aR)，则对任意xR，g(a)为单调递增函数(aR)对任意a(0，)，g(a)0恒成立的充要条件是g(0)0，即x22x0，2x0，于是x的取值范围是2,0法二：由题设知ax23x(a1)x2xa1对任意a(0，)都成立，即a(x22)x22x0对任意a(0，)都成立于是a对任意a(0，)都成立即0，2x0.于是x的取值范围是2,0(B卷能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、
14、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2xsin x解析：选BA中1；B正确；C中(3x)3xln 3；D中(x2cos x)2xcos xx2sin x.2函数f(x)4xx3的单调递增区间是()A(，2)B(2，)C(，2)和(2，)D(2,2)解析：选Df(x)4x2，令f(x)0得2x2，即f(x)的单调递增区间是(2,2)3若函数f(x)logax的图象与直线yx相切，则a的值为()Ae BeC. De解析：选B设切点(x0，y0)，因为f(x0)，根据题意有解得x0e，ae.4若
15、a0，b0，且函数(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3C6 D9解析：选D函数的导数为f(x)12x22ax2b，由函数f(x) 在x1处有极值，可知函数f(x)在x1处的导数值为零，122a2b0，所以ab6，由题意知a，b都是正实数，所以ab229，当且仅当ab3时取到等号5.如图所示是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象，则xx等于()A. B.C. D.解析：选C函数f(x)(x1)x(x2)x3x22x，所以f(x)3x22x2.而x1，x2是方程f(x)0的两根xx(x1x2)22x1x222.6定义在R上的函数f(x)的图象如图所示，则关于
16、x的不等式xf(x)0的解集为()A(2，1)(1,2) B(1,0)(1，)C(，1)(0,1) D(，2)(2，)解析：选C由图知xf(x)0等价于或则或即0x1或x0在上恒成立，f(x)在上单调递增f(x)min2cos.8若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：选C令f(x)2x20，利用数轴标根法可解得1x2，又x0，所以x2.故选C.9函数f(x)x22mln x(m0)的单调递减区间为()A(0，)B(0，)C(，)D(0，)(，)解析：选B由条件知函数f(x)的定义域为(0，)因为m0，则f(x).当x
17、变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)10.函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图，则函数yax2bx的单调递增区间是()A(，2 B.C2,3 D.解析：选D由题图可知d0.不妨取a1，f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc.由图可知f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b，c18.yx2x6，y2x. 当x时，y0，yx2x6的单调递增区间为.故选D.11已知f(x)的定义域为(0，)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)(x1)f(x21)的解
18、集是()A(0,1) B(1，)C(1,2) D(2，)解析：选D令g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)，因为f(x)xf(x)，所以g(x)(x1)f(x21)得(x1)f(x1)(x21)f(x21)，即g(x1)g(x21)，所以x12.12已知函数f(x)a2ln x，g(x)，若至少存在一个x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，则实数a的取值范围为()A1，) B(1，)C0，) D(0，)解析：选D设h(x)f(x)g(x)ax2ln x，则h(x)a.若a0，h(x)在1，e上的最大值为h(1)a0，不存在x01，e，使得h(x0)0，即f(x0)g(x0)成立；
19、若a0，则由h(1)a0知，总存在x01使得f(x0)g(x0)成立故实数a的范围为(0，)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13设函数f(x)x(ex1)x2，则函数f(x)的单调增区间为_解析：因为f(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0，即(ex1)(x1)0，解得x1.所以函数f(x)的单调增区间为(1，)答案：(1，)14若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_解析：由题意有yex，设P(m，n)，直线2xy10的斜率为2，则由题意得em2，解得mln 2，所以ne(ln 2)2.答案：(ln 2,2)1
20、5若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3ax2(x0)，若曲线存在垂直于y轴的切线，则方程3ax20在(0，)内有解所以a0，且a，此时a0，所以3x22ax30恒成立，即32a恒成立，62a，所以a3.a的取值范围为(，3(2)依题意f(3)0，即0，解得a5，此时f(x)，易知x1,3时f(x)0，原函数递增，x3,5时，f(x)0，原函数递减，所以最大值为f(3)3ln 3.20(本小题满分12分)两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A
21、和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，请说明理由解：(1)根据题意ACB90，ACx km，BC km，且建在C处的垃圾处理厂对
22、城A的影响度为，对城B的影响度为，因此，总影响度y(0x20)又因为垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，则有0.065，解得k9，所以y(0x0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点解：(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f
23、().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1， 上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1， 上单调递减，且f(1)0，f()时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；(2)若函数f(x)有极值点，求b的取值范围及f(x)的极值点解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2(x0)，当b时，f(x)0，函数f(x)在定义域(0，)上单调递增(2)由(1)得，当b时，f(x)0，函数f(x)无极值点当b时，f(x)0有两个不同解，x1，x2，所以()b0时，x10(0，)，舍去，而x21(0，)，此时f(x)，f(x)随x在定义域上的变化情况如下表：x(0，x2)x2(x2，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增由此表可知：b0时，f(x)有惟一极小值点，x.()当0b时，0x1x21，此时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由此表可知：0b时，f(x)有一个极大值x1和一个极小值点x2.综上所述：当b0时，f(x)有惟一极小值点x；当0b时，f(x)有一个极大值点x和一个极小值点x.
