1、吉林省辽源市田家炳高级中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）说明：本试卷分为第卷选择题和第卷非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟，分值150分.注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名，考号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域.2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸，试题卷上答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀.第卷一、单项选择（每题5分，共计60分）1.用秦九韶算法求多项式当
2、时的值时，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将多项式进行整理变形，代值计算即可.【详解】因为故可得.故选：B.【点睛】本题考查秦九韶算法中的相关计算，属基础题.2.已知向量，且，则的值为（ ）A. 11B. 6C. 7D. 15【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理即可求出.【详解】向量，且，存在实数使得，解得，.故选：.【点睛】本题追要考查是向量共线定理应用，考查了计算能力，及空间向量的应用，是基础题.3.执行如图所示的程序框图，输出的k值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输
3、出条件即可得到输出的k的值.【详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，不满足条件，执行循环体，；不满足条件,执行循环体，；满足条件，退出循环，输出的值为6，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于常考题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.甲、乙两名运动员分别进行
4、了5次射击训练，成绩如下：甲：6，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10.若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式，分别求出两组数据的平均数和方差，即可进行选择.【详解】因为；故可得；.故选：D.【点睛】本题考查平均数和方差的计算，属基础题.5.某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本，把学生编号为1560号，已知编号为20的学生被抽中，则样本中编号最小的是（ ）A. 004B. 005C. 006D. 007【答案】A【解析】分析】根据系统抽样等距抽样的特点，结
5、合已知编号，即可求得结果.【详解】因为抽取容量为70的样本，故应该将全部人员分为70组， 则抽样距离为8，又编号20是第三组，故最小编号是.又编号均是三位数，故最小编号是.故选：A.【点睛】本题考查系统抽样中编号的计算，属基础题.6.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）A. 12.5；12.5B. 13；13C. 13；12.5D. 12.5；13【答案】D【解析】分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，所以中间一个矩
6、形最该，故数据的众数为，而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，故将第二个矩形分成即可，所以中位数是，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.7.设a，bR，那么“1”是“ab0”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：ab0，可推出，而当，时，例如取a=2，b=1，显然不能推出ab0，由充要条件的定义可得答案解：
7、由不等式的性质，ab0，可推出，而当，时，例如取a=2，b=1，显然不能推出ab0故是ab0的必要不充分条件故选B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断8.命题，的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按存在性命题的否定的规则写出即可.【详解】因命题为“，”，它是存在性命题，故其否定为： ，选B.【点睛】全称命题的一般形式是：，其否定为.存在性命题的一般形式是，其否定为.9.若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【详解】依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物
8、线10.已知双曲线的离心率为，且它的一个焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据离心率以及焦点到渐近线的距离，结合，解方程，从而求得曲线方程.【详解】设双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线为，由点到直线的距离公式可得，解得；又因为，解得.故选：D.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为的扇形，将其圆弧连接起来得到的
9、.若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先计算出矩形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式求得结果.【详解】因为矩形的边长为和5，故矩形面积；又阴影部分的面积为；故在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.故选：D.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题；本题的易错点是容易在计算阴影部分面积的时候出现计算错误.12.已知点为抛物线： 的焦点. 若过点的直线交抛物线于，两点， 交该抛物线的准线于点，且，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛
10、物线方程，利用韦达定理求得答案.【详解】易知：焦点坐标为，设直线方程为： 如图利用和 相似得到：，【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.二、填空题（每空5分，共计20分）13.若“”为真命题，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据全称命题为真命题得到判别式，即可得到结论.【详解】若“”为真命题，则判别式，即，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是全称命题为真命题求参数的取值范围的应用，同时考查的是一元二次不等式的解法，是基础题.14.已知与之间的一组数据：257101357则与的线性回归方程为必过点_.【答案】【解析】【分析】计算样本中心点，即可求
11、得结果.【详解】由数据可知：；，故线性回归方程必过点.故答案为：.【点睛】本题考查线性回归直线方程的特点，属基础题.15.在极坐标系中，有点，则两点间的距离为_.【答案】【解析】【分析】根据极坐标系中，两点之间的距离公式即可求得.【详解】设两点之间的距离为，则.故答案为：.【点睛】本题考查极坐标系中两点之间距离的求解，属基础题.16.下列命题中：已知点，动点满足，则点的轨迹是一个圆；已知，则动点的轨迹是双曲线；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；正确的命题是_【答案】【解析】【分析】根据轨迹方程的求解，以及双
12、曲线的定义，相关系数的性质，结合选项进行逐一分析即可.【详解】：设动点，由，故可得，整理得：，且，故该方程表示圆，则正确；：根据双曲线的定义，则动点的轨迹只表示双曲线的左支，故错误；：根据相关系数性质，相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故正确；：因为点在直线上，故满足题意的点的轨迹为过点且垂直于直线的直线，故错误.故答案为：.【点睛】本题考查轨迹方程的求解，以及相关系数的性质，属综合中档题.三、解答题（17题、18题、19题、20题、21题每题12分，22题10分，共计70分）17.设实数满足（其中），实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围.（2）若是的充分不必要条件，求实数的
13、取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式，解得命题对应的范围，结合均是真命题，即可求得；（2）根据题意，则是的必要不充分条件，根据集合之间的包含关系，求参数范围即可.【详解】（1）当时，解得，即为真时，实数取值范围是.若为真，则真，且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件，设，则，由得，又，则且，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，涉及由集合关系求参数范围的问题，属综合基础题.18.如图，正四棱柱中，点在上，且.（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分
14、析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，通过计算数量积得出，故平面；（2）求出平面的法向量，通过计算两平面的法向量的夹角得出法向量的夹角从而得出二面角的余弦值.【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题设.，.（1），又，且平面，平面.（2）由（1）知为平面的法向量，设向量是平面的法向量，则.，.令，则，.根据图像可得等于二面角的平面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查的是利用向量法证明线面垂直以及利用向量法求面面所成角，考查学生对空间向量的应用，考查学生的计算能力，是中档题.19.某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里
15、程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求续驶里程在的车辆数；（2）求续驶里程的平均数；（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.【答案】（1）5辆；（2）170；（3）.【解析】【分析】（1）根据所有长方形面积之和为1，求得未知数，计算出区间长方形的面积之和即为概率，用此数据乘以样本容量即可；（2）用每个长方形的面积乘以所在区间底边中点值，再求和即可得到结果；（3）先计算出在中的车辆数量，再列举出所有的抽取可能性，找出满足题意的可能性，用古典概型
16、的概率计算公式即可求得.【详解】由题意可知，故续驶里程在的车辆数为：（2）由直方图可得：续航里程平均数为：.（3）由（2）及题意可知，续驶里程在的车辆数为3，分别记为，续驶里程在的车辆数为2，分别记为，事件“其中恰有一辆汽车的续驶里程为”从该5辆汽车中随机抽取2辆，所有的可能如下：共10种情况，事件包含的可能有共 6种情况，则.【点睛】本题考查频率分布直方图中参数的计算，平均数的求解，涉及古典概型概率的计算，属综合基础题.20.已知椭圆及直线.（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，直线与椭圆交于两点，求当时，直线被椭圆截得的弦长.【答案】（1）（2）【解析】
17、【分析】（1）联立椭圆方程和直线方程，消去，得到一元二次方程，只需即可；（2）根据韦达定理，结合弦长公式，即可求得.【详解】（1）由消去，并整理得直线与椭圆有公共点，可解得：故所求实数的取值范围为（2）设直线与椭圆的交点为由得：当时，直线被椭圆截得的弦长为.【点睛】本题考查由直线与椭圆的位置关系求参数范围的问题，以及椭圆中弦长的求解，属于常考题型.21.已知为坐标原点，抛物线与直线相交于两点.（1）求：的值；（2）当的面积等于时，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，得到一元二次方程，通过根与系数的关系，结合直线的斜率乘积为，即可得的值；（2）求出直线
18、与轴交点，表示出的面积，根据面积等于，解方程即可求出实数的值.【详解】（1）显然直线的斜率存在且，联立，消去，得.如图，设，则，由根与系数的关系可得，因为在抛物线上，所以.因为，所以.所以（2）设直线与轴交于点，令，则，即.因为，所以，解得.【点睛】本题主要考查的是直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数关系，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过焦点，可以直接利用公式，若不过焦点，则必须用一般的弦长公式，是中档题.22.已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求线段的长【答案】（），.（）.【解析】【分析】（）消去参数可得直线的普通方程，将，代入极坐标方程可得曲线的直角坐标方程；（）将直线的参数方程代入抛物线方程，根据参数的几何意义将和韦达定理相结合即可得结果.【详解】（）将为参数消去参数可得，即，故直线的普通方程为由可得，把，代入上式，可得，即，故曲线的直角坐标方程为 （）将代入，可得，设点，对应的参数分别为，则， 所以，故线段的长为【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
