1、四川省乐山市高中2016届高三第二次调查研究数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集=R，集合A=x|（x1）（x+2）0，则uA=（）Ax|2x1Bx|2x1Cx|x2或x1Dx|x2或x12设命题p：函数f（x）=ex1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos2x为奇函数则下列命题中真命题是（）ApqB（p）qC（p）（q）Dp（q）3展开式中x3的系数为10，则实数a的值为（）A1BC1D24等差数列an中，a1+a9=10，a2=1，则数列an的公差为（）A1B2C3D45在ABC中，tanB=2
2、，tanC=，则A等于（）ABCD6抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AKl于K，如果|AF|=|BF|，那么AKF的面积是（）A4B3C4D87一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形则该四棱锥的体积等于（）ABCD8若实数x，y满足不等式组，则z=2|x|+y的取值范围是（）A1，3B1，3C1，11D5，119函数的图象可能是（）ABCD10函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数
3、y=x3x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则（A，B）；存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；设点A、B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则（A，B）2；设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=1，若t（A，B）1恒成立，则实数t 的取值范围是（，1）以上正确命题的序号为（）ABCD二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上11已知i是虚数单位，若z（1i）=|i+1|，则z的虚部为12在平面直角坐标系xOy中，已知，若ABO=90，则实数t的值为13执行如图所示的程序框图，则输出S的值为14设F1、F2分
4、别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线C在第一象限上的一点，若，则PF1F2内切圆的面积为15已知函数设方程f（x）=x在区间（0，n内所有实根的和为sn则数列的前n项和Tn三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.16已知函数f（x）=cos2（xx（）求f（）的值；（）若对于任意的x0，都有f（x）c，求实数c的取值范围17已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足an+1=（），Tn为数列bn的前n项和，若Tnm恒成立，求m的最大值18某校从参
5、加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：80，90），90，100），100，110），110，120（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX19如图，在ABC中，已知ABC=45，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO平面ABC，DAPO，DA=A
6、O=PO（）求证：PD平面COD；（）求二面角BDCO的余弦值20设椭圆的离心率为，且内切于圆x2+y2=9（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，0）作直线l（不与x轴垂直）与该椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若=， =，试判断+是否为定值，并说明理由21已知函数f（x）=ln（ex+a+1）（a为常数）是实数集R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程有且只有一个实数根，求m的值四川省乐山市高中2016届高三第二次调查研究数学（理）试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集=R，集合A
7、=x|（x1）（x+2）0，则uA=（）Ax|2x1Bx|2x1Cx|x2或x1Dx|x2或x1【考点】补集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】求解一元一次不等式化简集合A，然后直接利用补集运算求解【解答】解：由集合集合A=x|（x1）（x+2）0=x|x2或x1，又U=R，所以UA=x|2x1故选：B【点评】本题考查了补集及其运算，是基础的会考题型2设命题p：函数f（x）=ex1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos2x为奇函数则下列命题中真命题是（）ApqB（p）qC（p）（q）Dp（q）【考点】复合命题的真假【专题】函数的性质及应用；简易逻辑【分析】先判定命题p，
8、q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：函数f（x）=ex1在R上为增函数，正确；命题q：函数f（x）=cos2x为偶函数，因此不正确可知：pq正确故选：D【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3展开式中x3的系数为10，则实数a的值为（）A1BC1D2【考点】二项式系数的性质【专题】对应思想；定义法；二项式定理【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求出展开式中x3的系数【解答】解：的展开式的通项公式为：Tr+1=（a）rx52r，令52r=3，解得r=1；所以展开式中x3的系数为5a=10，解得a=2故选：D【点
9、评】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题目4等差数列an中，a1+a9=10，a2=1，则数列an的公差为（）A1B2C3D4【考点】等差数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1+a9=10，a2=1，2a1+8d=10，a1+d=1，联立解得d=2故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5在ABC中，tanB=2，tanC=，则A等于（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题；三角函数的求值【分析】利用诱
10、导公式知tanA=tan（B+C），利用两角和的正切可求得tan（B+C）的值，从而可知tanA的值，A（0，），于是可得答案【解答】解：在ABC中，tanB=2，tanC=，tanA=tan（B+C）=tan（B+C）=1，又A（0，），A=，故选：A【点评】本题考查两角和与差的正切函数，考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题6抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AKl于K，如果|AF|=|BF|，那么AKF的面积是（）A4B3C4D8【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据抛
11、物线方程求出焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义和条件可得AKF为正三角形，F到l的距离为d=2，结合中位线定理，可得|AK|=4，根据正三角形的面积公式可得到答案【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=1，由抛物线的定义可得|AF|=|AK|，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|，即有AKF为正三角形，由F到l的距离为d=2，则|AK|=4，AKF的面积是16=4故选：C【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视7一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形则该四棱锥的体积等于（）
12、ABCD【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为上底2，下底四，高为4的梯形，锥体的高为=2，故锥体的体积V=（2+4）42=8，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状8若实数x，y满足不等式组，则z=2|x|+y的取值范围是（）A1，3B1，3C1，11D5，11【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；不等式【分析】先
13、画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：显然x0时，直线方程为：y=2x+z，过（0，1）时，z最小，Z最小值=1，x0时，直线方程为：y=2x+z，过（6，1）时，z最大，Z最大值=11，故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题9函数的图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x（2，1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案【解答】解：若使函数的解析式有意义则
14、，即即函数的定义域为（2，1）（1，+）可排除B，D答案当x（2，1）时，sinx0，ln（x+2）0则0可排除C答案故选A【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键10函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数y=x3x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则（A，B）；存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；设点A、B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则（A，B）2；设曲线y=ex上不
15、同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=1，若t（A，B）1恒成立，则实数t 的取值范围是（，1）以上正确命题的序号为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t（A，B）1得不等式，举反例说明（4）错误【解答】解析：错：解：对于（1），由y=x3x2+1，得y=3x22x，则kA=1，kB=8，则|kAkB|=7y1=1，y2=5，则|AB|=，（
16、A，B）=，错误；对：如y=1时成立；对：（A，B）=；错：对于（4），由y=ex，得y=ex，（A，B）=t（A，B）1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，（4）错误故答案为：【点评】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上11已知i是虚数单位，若z（1i）=|i+1|，则z的虚部为【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数【分析】设z=a+bi，根据复数的运算得到关于a，b的方程组，解出即可【解答】
17、解：设z=a+bi，则z（1i）=（a+bi）（1i）=（a+b）（ab）i=|i+1|=，解得：b=，故答案为：【点评】本题考查了复数的代数运算，熟练掌握其运算性质是解题的关键，本题是一道基础题12在平面直角坐标系xOy中，已知，若ABO=90，则实数t的值为5【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】利用已知条件求出，利用ABO=90，数量积为0，求解t的值即可【解答】解：因为知，所以=（3，2t），又ABO=90，所以，可得：23+2（2t）=0解得t=5故答案为：5【点评】本题考查向量的数量积的应用，正确利用数量积公式是解题的关键13执行如图所示的程序框图，
18、则输出S的值为【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图，可知：该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析出各变量的变化情况，可得答案【解答】解：第1次执行循环体后：S=，i=1，满足继续循环的条件；第2次执行循环体后：S=，i=2，满足继续循环的条件；第3次执行循环体后：S=+sin，i=3，满足继续循环的条件；第4次执行循环体后：S=+sin，i=4，满足继续循环的条件；第5次执行循环体后：S=+sin，i=5，满足继续循环的条件；第6次执行循环体后：S=+sin+sin2，i=6，满足继续循环的条件；第7次执行循环体后：S=+sin+sin2，i=
19、7，满足继续循环的条件；第8次执行循环体后：S=+sin+sin2，i=8，满足继续循环的条件；第9次执行循环体后：S=+sin+sin2+sin3，i=9，不满足继续循环的条件；由S=+sin+sin2+sin3=2=，故输出的S值为：，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答14设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线C在第一象限上的一点，若，则PF1F2内切圆的面积为4【考点】双曲线的简单性质【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，结合条件可得|PF1|=8，
20、|PF2|=6可得PF1F2为直角三角形，设内切圆的半径为r，运用面积相等，解方程可得r=2，即可得到所求面积【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c=5，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a=2，又，解得|PF1|=8，|PF2|=6|F1F2|=2c=10，即有82+62=102，可得PF1F2为直角三角形，设内切圆的半径为r，可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=|PF1|PF2|，即有r（8+6+10）=86，解得r=2，可得内切圆的面积为4故答案为：4【点评】本题考查三角形的内切圆的面积，注意运用等积法，判断PF1F2为直角三角形是解题的关键，同时考查双曲线的定义，属于
21、中档题15已知函数设方程f（x）=x在区间（0，n内所有实根的和为sn则数列的前n项和Tn=【考点】数列的求和【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】通过函数解析式，结合导数知识可知f（x）=x在（1，0上只有x=0一个实根，当x0时，在（k1，k上，f（x）=x只有x=k一个实根，进而可知Sn=，裂项可知=2（），并项相加即得结论【解答】解：由于当x（1，0时，有（f（x）x）=2xlnx10，则f（x）x在（1，0上单调递减，故f（x）=x在（1，0上只有x=0一个实根；当x0时，f（x）=f（x1）+1，则在（k1，k上，f（x）=x只有x=k一个实根，故f（x）=x
22、在区间（0，n内所有实根为1，2，3，n，且Sn=，则=2（），故Tn=2（1+）=，故答案为：【点评】本题考查数列的求和，涉及导数、等差数列的求和、裂项相消法求和等知识，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.16已知函数f（x）=cos2（xx（）求f（）的值；（）若对于任意的x0，都有f（x）c，求实数c的取值范围【考点】三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题；三角函数的求值【分析】（）由条件利用二倍角的余弦公式求出的值（）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为，由x的范围求出角的范围，可得f（x）的
23、最大值，可得实数c的取值范围【解答】解：（）函数， （）= = 因为，所以，所以当，即时，f（x）取得最大值 所以，f（x）c等价于故当，f（x）c时，c的取值范围是 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域、值域，属于中档题17已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足an+1=（），Tn为数列bn的前n项和，若Tnm恒成立，求m的最大值【考点】数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）法一：由S1+a1，S3+a3
24、，S2+a2成等差数列，推出4a3=a1，求出公比，然后求解通项公式（）法二：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，结合等比数列的和，求出公比，然后求解通项公式（）求出，利用错位相减法求出，转化Tnm恒成立，为（Tn）minm，通过Tn为递增数列，求解m的最大值即可【解答】解：（）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）S3S1+S3S2=a1+a22a3，即4a3=a1，于是，q0，； a1=1，（）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）当q=1时，不符合题意；当q1时，2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，4q2=1，q0
25、，a1=1，（），（1）（2）（1）（2）得：=Tnm恒成立，只需（Tn）minmTn为递增数列，当n=1时，（Tn）min=1，m1，m的最大值为1【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列的通项公式的求法以及数列求和的方法的应用，数列的函数的性质，考查计算能力18某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：80，90），90，100），100，110），110，120（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（
26、2）成绩在90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】应用题；概率与统计【分析】（1）根据频率分布直方图，求出a的值，计算成绩在各分数段内的学生数，计算满足条件的事件的概率即可；（2）根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率，求出X的分布列与数学期望即可【解答】解：（1）由频率分布直方图，得；10a=1（+）10=，解得a=；成绩在80，90）分的学生有3610=3人，成绩在90，100）分的学生有361
27、0=6人，成绩在100，110）分的学生有3610=18人，成绩在110，120）分的学生有3610=9人；记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件的事件”，包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在90，100）分之间”，事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=+=；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；P（X=0）=，p（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=；X的分布列为 X0123P数学期望为EX=0+1+2+3=2【点评】本题考查了频率
28、分布直方图的应用问题，也考查了互斥事件的概率以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目19如图，在ABC中，已知ABC=45，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO平面ABC，DAPO，DA=AO=PO（）求证：PD平面COD；（）求二面角BDCO的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】（）设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DAPO，PO平面ABC，知DA平面ABC，可得DAAO利用勾股定理的逆定理可得：PDDO由OC=OB=2，ABC=45，可得COAB，又PO平面ABC，可得POOC，得到CO平面
29、PAB得到COPD即可证明（）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可【解答】（）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DAPO，PO平面ABC，知DA平面ABC，DAAO从而，在PDO中，PO=2，PDO为直角三角形，故PDDO又OC=OB=2，ABC=45，COAB，又PO平面ABC，POOC，又PO，AB平面PAB，POAB=O，CO平面PAB故COPDCODO=O，PD平面COD（）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图则由（）知，C（2，0，0），B（0，
30、2，0），P（0，0，2），D（0，1，1），由（）知PD平面COD，是平面DCO的一个法向量，设平面BDC的法向量为，令y=1，则x=1，z=3，由图可知：二面角BDCO为锐角，二面角BDCO的余弦值为【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力20设椭圆的离心率为，且内切于圆x2+y2=9（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，0）作直线l（不与x轴垂直）与该椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若
31、=， =，试判断+是否为定值，并说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用圆x2+y2=9的直径为6，可得a=3，结合离心率公式，参数a、b、c的关系即可得出；（2）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、向量相等即可得到定值【解答】解：（1）由圆x2+y2=9的直径为6，依题意知2a=6，所以a=3，又因为e=，所以c=2a，则b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1；（2）+=，即+为定值理由如下：依题意知，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x1）设M（x1，y1），N（x2，y2），R（
32、0，y3），由消去y并整理，得（1+9k2）x218k2x+9k29=0，即有x1+x2=，x1x2=，由=，可得（x1，y1）（0，y3）=（1，0）（x1，y1），即，又x11与x11轴不垂直，所以x11，所以=，同理=，所以+=+=，将代入上式可得+=，即+为定值【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的相交问题、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、向量相等是解题的关键21已知函数f（x）=ln（ex+a+1）（a为常数）是实数集R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程有且只有一个实数根，求m的值【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的性质；根的存在性及根
33、的个数判断【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）由条件利用其函数的性质，求得实数a的值（2）关于x的方程 即=x22ex+m，令f1（x）=，f2（x）=x22ex+m，利用导数求得f1（x）=取得最大值为，函数f2（x）=x22ex+m的最小值为me2再根据=me2，求得m的值【解答】解：（1）函数f（x）=ln（ex+a+1）（a为常数）是实数集R上的奇函数，故f（0）=ln（2+a）=0，a=1，函数f（x）=ln（ex ）=x（2）由（1）知，关于x的方程，即=x22ex+m令f1（x）=，f2（x）=x22ex+m， =，故当x（0，e时，0，函数f1（x）=为增函数；当xe时，0，函数f1（x）= 为减函数，故当x=e时，f1（x）=取得最大值为对于函数f2（x）=x22ex+m，在（0，e上是减函数，在（e，+）上是增函数，故当x=e时，函数f2（x）=x22ex+m取得最小值为me2要使关于x的方程有且只有一个实数根，只有=me2，求得m=e2+，即当m=e2+ 时，关于x的方程有且只有一个实数根【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题
