1、2015-2016学年云南省德宏州芒市一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，请将答案写在答题卡的相应位置）1已知点A（3，5，2），则点A关于yOz面对称的点的坐标为（）A（3，5，2）B（3，5，2）C（3，5，2）D（3，5，2）2设a，bR“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3命题“存在x0Z，使2x0+x0+10”的否定是（）A存在x0Z，使2x0+x0+10B不存在x0Z，使2x0+x0+10C对任意xZ，使2
2、x+x+10D对任意xZ，使2x+x+104设复数z满足z（23i）=6+4i（i为虚数单位），则|z|=（）A4B2C D15在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A30B45C60D906已知双曲线方程：x2=1，则以A（2，1）为中点的弦所在直线l的方程是（）A6x+y11=0B6xy11=0Cx6y11=0Dx+6y+11=07曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为（）Ay=3x4By=3x+2Cy=4x+3Dy=4x58已知动点P到点M（2，0）和到直线x=2的距离相等，则动点P的轨迹是（）A抛物线B双曲线左支C一条直线D
3、圆9函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A1B C2D10若椭圆+=1（ab0）的离心率为，则双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=2xCy=4xDy=x11若AB过椭圆 +=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则F1AB面积的最大值为（）A6B12C24D4812设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A B C D二、填空题（本大题共4个题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上）13一物体在力F（x）=3x22x+3的作用下沿与力F（x）相同的方向由x=1m运动到x=5m时F（x）做的功为14已
4、知抛物线y2=4x与直线2x+y4=0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么=15经过点P（，0）且与双曲线4x2y2=1只有一个交点的直线有条16斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则|AB|得最大值为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC的距离18如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（1）证明：A1C平面BE
5、D；（2）求二面角A1DEB的余弦值19已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c16（）求a，b的值；（）若f（x）有极大值28，求f（x）在3，3上的最小值20已知双曲线C：=1（a0，b0）过点A（1，0），且离心率为（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值21已知曲线Cx2y2=1及直线l：y=kx1（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值22设函数f（x）=emx+x2mx（1）证明：f（x）
6、在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范围2015-2016学年云南省德宏州芒市一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，请将答案写在答题卡的相应位置）1已知点A（3，5，2），则点A关于yOz面对称的点的坐标为（）A（3，5，2）B（3，5，2）C（3，5，2）D（3，5，2）【考点】空间中的点的坐标【分析】根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可【解答】解：根据关于坐标
7、平面yOz的对称点的坐标特点，可得点P（3，5，2）关于坐标平面yOz面对称点的坐标为（3，5，2）故选：A2设a，bR“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件【解答】解：因为a，bR“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立所以a，bR“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件故选B3命题“存在x0Z，使2x0+x0+10”的否定是（）A存在x0Z，使2x0+
8、x0+10B不存在x0Z，使2x0+x0+10C对任意xZ，使2x+x+10D对任意xZ，使2x+x+10【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x0Z，使2x0+x0+10”的否定是：对任意xZ，使2x+x+10故选：D4设复数z满足z（23i）=6+4i（i为虚数单位），则|z|=（）A4B2C D1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的模的性质求解即可【解答】解：复数z满足z（23i）=6+4i，可得|z|23i|=|6+4i|，即|z|=2，可得|z|=2故选：B5在如图的正方体中，M
9、、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MNC1BD1AD1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形D1AC=60故选C6已知双曲线方程：x2=1，则以A（2，1）为中点的弦所在直线l的方程是（）A6x+y11=0B6xy11=0Cx6y11=0Dx+6y+11=0【考点】双曲线的简
10、单性质【分析】设直线l斜率为k，与双曲线方程联立方程组，由根与系数的关系及中点坐标列方程解出k【解答】解：设直线l的方程为y1=k（x2），即y=kx2k+1联立方程组，消元得：（3k2）x2+2k（2k1）x（2k1）23=0，x1+x2=4，解得k=6直线l的方程为：y=6x11即6xy11=0故选：B7曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为（）Ay=3x4By=3x+2Cy=4x+3Dy=4x5【考点】导数的几何意义【分析】首先判断该点是否在曲线上，若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率【解答】解：点（1，1）在曲线
11、上，y=3x26x，y|x=1=3，即切线斜率为3利用点斜式，切线方程为y+1=3（x1），即y=3x+2故选B8已知动点P到点M（2，0）和到直线x=2的距离相等，则动点P的轨迹是（）A抛物线B双曲线左支C一条直线D圆【考点】点到直线的距离公式【分析】直接由点到直线的距离公式可求出动点P到点M（2，0）和到直线x=2的距离相等的点的轨迹方程【解答】解：设动点P的坐标为（x，y），则根据题意，y2=0即y=0动点P的轨迹是一条直线故选：C9函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A1B C2D【考点】定积分【分析】先根据题意画出直线及y=sinx所围成的封闭图形，然后利用定积分表
12、示区域面积，最后转化成等价形式【解答】解：作出对应的图象如图：则对应的区域面积S=+sinx|=，故选：B10若椭圆+=1（ab0）的离心率为，则双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=2xCy=4xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到【解答】解：椭圆+=1（ab0）的离心率为，则=，即有=，则双曲线=1的渐近线方程为y=x，即有y=x故选A11若AB过椭圆 +=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则F1AB面积的最大值为（）A6B12C24D48【考点】椭圆的简单性质【分析】先设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（x，y
13、），再表示出F1AB面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其F1AB面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出F1AB面积的最大值【解答】解：设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（x，y），则F1AB面积S=OF|2y|=c|y|当|y|最大时，F1AB面积最大，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其F1AB面积最大，则F1AB面积的最大值为：cb=4=12故选B12设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】设该双曲线方程为=1（a0，b0），得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB
14、的斜率为由垂直直线的斜率之积等于1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率【解答】解：解：设该双曲线方程为=1（a0，b0），可得它的渐近线方程为y=x，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点直线FB的斜率为kFB=，直线FB与直线y=x互相垂直，=1，得b2=acb2=c2a2，c2a2=ac，两边都除以a2，整理得e2e1=0解此方程，得e=，双曲线的离心率e1，e=（舍负）故选：B二、填空题（本大题共4个题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上）13一物体在力F（x）=3x22x+3的作用下沿与力F（x）相同的方向由x=
15、1m运动到x=5m时F（x）做的功为112【考点】平面向量数量积的运算【分析】由功的意义转化为定积分来求即可【解答】解：由题意所作的功W=（3x22x+3）dx=（x3x2+3x）|=1153=112，故答案为：11214已知抛物线y2=4x与直线2x+y4=0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么=7【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可知|FA|+|FB|=x1+x2+求得答案【解答】解：抛物线焦点为（0，1），准线x=1则直线方程为y=2x+4，代入抛物线方程y
16、2=4x得x25x+4=0x1+x2=5根据抛物线的定义可知|AF|+|BF|=x1+x2+=x1+x2+p=5+2=7故答案为：715经过点P（，0）且与双曲线4x2y2=1只有一个交点的直线有3条【考点】双曲线的简单性质【分析】分别讨论过P的直线的斜率是否存在，利用代入法转化为一元二次方程进行判断即可【解答】解：双曲线的标准方程为y2=1，若过P的直线斜率k不存在，此时直线方程为x=与双曲线有一个交点，满足条件若斜率k存在，则直线方程为y=k（x），代入4x2y2=1得4x2k2（x）2=1，整理得（4k2）x2+k2x1=0，若4k2=0，得k=2或k=2，此时方程等价为4x2=0，x=
17、，满足直线和双曲线只有一个交点，若4k20，即k2，若方程只有一个解，则判别式=k4+4（4k2）（1+）=0，即k4+（4k2）（4+k2）=0，即k4+16k4=0，即16=0，此时方程不成立，综上满足条件的直线有3条，故答案为：316斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则|AB|得最大值为【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值【解答】解：设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆+y2=1消去y得x2+2tx+t21=0，由题意得
18、=（2t）25（t21）0，即t25弦长|AB|=4当t=0时取最大值故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC的距离【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB平面AEC；（）通过AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求出AB，作AHPB角PB于H，说明A
19、H就是A到平面PBC的距离通过解三角形求解即可【解答】解：（）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，ABCD是矩形，O为BD的中点E为PD的中点，EOPBEO平面AEC，PB平面AECPB平面AEC；（）AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，V=，AB=，PB=作AHPB交PB于H，由题意可知BC平面PAB，BCAH，故AH平面PBC又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离18如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（1）证明：A1C平面BED；（2）求二面角A1DEB的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与
20、平面垂直的判定【分析】（1）以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，由向量法能证明A1C平面BED（2）由，得到平面A1DE的法向量，同理得平面BDE的法向量为，由向量法能求出二面角A1DEB的余弦值【解答】解：（1）如图，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1），A1C平面BED（2），设平面A1DE的法向量为，由及，得2x+2y3z=0，2x4z=0，取同理得平面BDE的法向量为，cos=，所以二面角A1DEB的余弦值为19已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x
21、=2处取得极值c16（）求a，b的值；（）若f（x）有极大值28，求f（x）在3，3上的最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件【分析】（）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c16，可得解此方程组即可得出a，b的值；（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在3，3上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在3，3上的最小值即可【解答】解：（）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c16
22、，即，化简得解得a=1，b=12（II）由（I）知f（x）=x312x+c，f（x）=3x212=3（x+2）（x2）令f（x）=3x212=3（x+2）（x2）=0，解得x1=2，x2=2当x（，2）时，f（x）0，故f（x）在（，2）上为增函数；当x（2，2）时，f（x）0，故f（x）在（2，2）上为减函数；当x（2，+）时，f（x）0，故f（x）在（2，+）上为增函数；由此可知f（x）在x1=2处取得极大值f（2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c16，由题设条件知16+c=28得，c=12此时f（3）=9+c=21，f（3）=9+c=3，f（2）=16+c=4因此f
23、（x）在3，3上的最小值f（2）=420已知双曲线C：=1（a0，b0）过点A（1，0），且离心率为（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）依题意，故，所以b2=2，由此能求出双曲线方程（2）由，得x22mxm22=0，故，中点在直线xy+m=0上，所以可得中点坐标为（m，2m），由此能求出m的值【解答】解：（1）双曲线C：=1（a0，b0）过点A（1，0），a=1，双曲线的离心率为e=，则c=，则b2=c2a2=31=2，则双曲线C的方程为x2=1；（2）由，得x22
24、mxm22=0，又中点在直线xy+m=0上，所以中点坐标为（m，2m），代入x2+y2=5得m=1满足判别式021已知曲线Cx2y2=1及直线l：y=kx1（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；根与系数的关系【分析】（1）将直线与双曲线联立，利用l与C左支交于两个不同的交点，结合韦达定理，建立不等式，从而可求实数k的取值范围；（2）利用韦达定理，结合AOB的面积为，可建立k的方程，从而可求实数k的值【解答】解：（1）由消去y，得（1k2）x2+2kx2=0l与C左支交
25、于两个不同的交点且 x1+x2=0，x1x2=0k的取值范围为 （，1）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）得 x1+x2=，x1x2=又l过点D（0，1），SOAB=|x1x2|=（x1x2）2=（2）2，即（）2+=8k=0或k=22设函数f（x）=emx+x2mx（1）证明：f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）利用f（x）0说明函数为增函数，利用f（x）0说明函数为减函数注意参数m的讨论；（2）由（1）
26、知，对任意的m，f（x）在1，0单调递减，在0，1单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题从而求得m的取值范围【解答】解：（1）证明：f（x）=m（emx1）+2x若m0，则当x（，0）时，emx10，f（x）0；当x（0，+）时，emx10，f（x）0若m0，则当x（，0）时，emx10，f（x）0；当x（0，+）时，emx10，f（x）0所以，f（x）在（，0）时单调递减，在（0，+）单调递增（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在1，0单调递减，在0，1单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值所以对于任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|e1的充要条件是即设函数g（t）=ette+1，则g（t）=et1当t0时，g（t）0；当t0时，g（t）0故g（t）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增又g（1）=0，g（1）=e1+2e0，故当t1，1时，g（t）0当m1，1时，g（m）0，g（m）0，即合式成立；当m1时，由g（t）的单调性，g（m）0，即emme1当m1时，g（m）0，即em+me1综上，m的取值范围是1，12016年7月19日
