1、2.3函数的单调性与最值考纲要求1理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性2理解函数的最大值、最小值及几何意义，并能求函数的最大(小)值3会运用函数图象理解和研究函数的性质1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2.当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是_自左向右看图象是_(2)如果函数yf(x)在某个区间上是_或_，则称yf (x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做yf(x)的
2、单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有_；存在x0I，使得_.对于任意xI，都有_；存在x0I，使得_结论M为最大值M为最小值1下列函数中，在(0,3)上是增函数的是()Af(x)Bf(x)x3Cf(x)Df(x)x26x42下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)exBf(x)Cf(x)(x2)2Df(x)ln(x3)3若函数f(x)x22xm在3，)上的最小值为1，则实数m的值为()A3 B2C1 D14(2013届浙江稽阳联考)已知函数f(x)x|x2|，若存在互不
3、相等的实数a，b，c，使f(a)f(b)f(c)成立，则abc的取值范围是()A4,3 B4,3)C(4,3 D(4,3)5已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_6(2012课标全国高考)设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.一、函数单调性的判断及应用【例11】下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Ayx Bylog2xCyx22x D【例12】已知函数f(x)ax，其中a0.(1)若2f(1)f(1)，求a的值；(2)证明：当a1时，函数f(x)在区间0，)上为单调减函数；(3)若函数f(x)在区间1，)上是增函数，求a的取值范围方法提炼1判
4、断或证明函数的单调性，最基本的方法是利用定义或利用导数利用定义的步骤是：设元取值作差(商)变形确定符号(与1比较大小)得出结论；利用导数的步骤是：求导函数判断导函数在区间上的符号得出结论2两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定3对于复合函数yfg(x)，如果内、外层函数单调性相同，那么yfg(x)为增函数，如果内、外层函数单调性相反，那么yfg(x)为减函数，即“同增异减”4函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调请做演练
5、巩固提升1二、求函数的单调区间【例21】定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)【例22】求函数的单调区间方法提炼1求函数的单调区间与确定单调性的方法：(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间(4)图象法：如果函数是以图象形式给出的，或者函数的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间2求复合函数yfg(x)的单调区间的
6、步骤：(1)确定函数定义域；(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；(3)分别确定两基本初等函数的单调性；(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间3函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接请做演练巩固提升4三、求函数的最值【例31】对a，bR，记maxa，b函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_【例32】已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值，并判断f(x)的单调性；(2)若f(4)2，求f
7、(x)在5,16上的最大值方法提炼1求函数值域与最值的常用方法：(1)先确定函数的单调性，再由单调性求值域或最值(2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高、最低点，求出最值(3)配方法：对于二次函数或可化为二次函数形式的函数，可用配方法求解(4)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，再用基本不等式求出最值(6)导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域或最值2对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应条件，对任意x1，
8、x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小或与1的大小(f(x)0)有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2或x1x2x1x2等请做演练巩固提升2四、抽象函数的单调性与不等式【例4】已知定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)1，当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式：f(x22x)f(1x)4.方法提炼1函数的单调性与不等式有直接的联系，对函数单调性的考查常常与解不等式、求函数值域、图象等相结合2解有关抽象函数不等式问题的步骤：(1)确定函数f(x)在给定区间上的单调性(或奇偶性)；(2)将函
9、数不等式转化为f(A)f(B)的形式；(3)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；(4)解不等式或不等式组求得解集提醒：解此类问题易忽视A，B的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束请做演练巩固提升3未弄清分段函数的单调性而致误【典例】已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_解析：可结合函数f(x)的图象以及f(1x2)f(2x)的条件，得出1x2与2x之间的大小关系，进而求得x的取值范围也可分1x20,1x20讨论求解方法一：画出f(x)的图象，由图象可知，若f(1x2)f(2x)，则即得x(1，1)方法二：当x1时，1
10、x20,2x2，f(1x2)f(2x)1，无解；当x1时，1x20,2x2，则f(0)1，f(2)1，无解；当1x0时，1x20，22x0，f(1x2)f(2x)化为(1x2)211，恒成立，当0x1时，1x20,2x0，原不等式化为(1x2)21(2x)21，即(x1)22，0x1.当x1时，1x20，无解综上知：1x1.答案：(1，1)答题指导：1在解答本题时有两大误区：(1)误将f(1x2)，f(2x)中的x当成分段函数f(x)中的x，从而造成失误；(2)仅考虑函数单调性，由f(1x2)f(2x)，得1x22x，却忽略了1x20而失误2解决分段函数的单调性问题时，还有以下几点，在备考中要
11、高度关注：(1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系(3)弄清最终结果取并还是交1(2012陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|2已知函数f(x)axlogax(a0，且a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为()A B C2 D43定义在R上的偶函数f(x)在0，)上递增，f0，则满足0的x的取值范围是_4求函数yx22|x|3的单调区间5已知函数f(x)(a0，x0)，试判断函数f(x)在(0，)上的单调性参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)f(x1)f(x2)f(
12、x1)f(x2)逐渐上升的逐渐下降的(2)增函数减函数2f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)M基础自测1C2.B3B解析：f(x)(x1)2m1在3，)上为单调增函数，且f(x)在3，)上的最小值为1，f(3)1，即22m11，m2.故选B.4D5(1,0)(0,1)解析：由函数f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即0x1或1x0.62解析：f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，g(x)是奇函数由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.考点探究突破【例11】D【例12】(1)解：由2f(1)f(1)
13、，可得22aa，得a.(2)证明：任取x1，x20，)，且x1x2，f(x1)f(x2)ax1ax2a(x1x2)a(x1x2)(x1x2).0x1，0x2，01.又a1，f(x1)f(x2)0，f(x)在0，)上为单调减函数(3)解：任取1x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2).f(x)在区间1，)上单调递增，f(x1)f(x2)0.又x1x20，那么必须有a0恒成立1x1x22x12x121,2x22x221，x1，x2.(x1x2).0a.【例21】A解析：由题意得，在0，)上0，故f(x)在0，)上单调递减，且满足nN*时，f(2)f(2),3210，得f(3)f(2)f(1)，故
14、选A.【例22】解：令ux24x3，原函数可以看作与ux24x3的复合函数令ux24x30，则x1或x3.函数的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是单调减函数，在(3，)上是单调增函数而函数在(0，)上是单调减函数，的单调减区间为(3，)，单调增区间为(，1)【例31】解析：本题实质上是一个求分段函数最值的问题，将函数化为分段函数，利用数形结合法求解f(x)当x时，f(x)minf.【例32】解：(1)令x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以
15、f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递增函数(2)f(x)在(0，)上是单调递增函数，f(x)在5,16上的最大值为f(16)由ff(x1)f(x2)，得ff(16)f(4)，而f(4)2，所以f(16)4.f(x)在5,16上的最大值为4.【例4】解：(1)令xy0得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以，函数f(x)在R上是增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x2x1)f(3)又函数f
16、(x)在R上是增函数，故x2x13，解之，得x2或x1，故原不等式的解集为x|x2，或x1演练巩固提升1D解析：选项A中的函数是非奇非偶函数；选项B中的函数是减函数；选项C中的函数在每个单调区间上都是减少的；选项D中的原函数可化为y作出其图象如下图所示，由图象可知该函数既是奇函数又是增函数2C解析：由题意可知函数f(x)axlogax在1,2上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)f(2)aloga1a2loga2loga26，整理可得a2a60，解得a2或a3(舍去)，故a2，选C.3(2，)解析：由f(x)f(x)f(|x|)得f，于是|log2x|1log2x1或log2x10x或x2.4解：原函数等价于y作出如下函数图象：由函数图象可知，函数yx22|x|3在(，1，0,1上是增函数，在1,0，1，)上是减函数5解：设x1x20，则xx1x20，x1x20，yf(x1)f(x2)0，y0，因此，函数f(x)是在(0，)上的单调增函数
