1、解答题押题练D组1已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos Bccos Bbcos C.(1)求角B的大小；(2)设向量m(cos A，cos 2A)，n(12，5)，求当mn取最大值时，tan C的值解(1)由题意，sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B，(2分)所以sin Acos Bsin(BC)sin(A)sin A(3分)因为0A，所以sin A0.所以cos B.(5分)因为0B，所以B.(6分)(2)因为mn12cos A5cos 2A，(8分)所以mn10cos2A12cos A5 102.(10分)所以当cos A时，mn取最大值此时
2、sin A(0A)，于是tan A.(12分)所以tan Ctan(AB)7.(14分)2在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABBCAD2，CD4，E为边DC的中点，如图1.将ADE沿AE折起到AEP位置，连PB、PC，点Q是棱AE的中点，点M在棱PC上，如图2.(1)若PA平面MQB，求PMMC；(2)若平面AEP平面ABCE，点M是PC的中点，求三棱锥A MQB的体积图1图2解(1)连AC、BQ，设ACBQF，连MF.则平面PAC平面MQBMF，因为PA平面MQB，PA平面PAC，所以PAMF.(2分)在等腰梯形ABCD中，E为边DC的中点，所以由题设，ABEC2.所以四边形ABCE为平行四
3、边形，则AEBC.(4分)从而AFQCFB，AFFCAQCB12.又PAMF，所以FMCAPC，所以PMMCAFFC12.(7分)(2)由(1)知，AED是边长为2的正三角形，从而PQAE.因为平面AEP平面ABCE，交线为AE，所以PQ平面ABCE，PQQB，且PQ.因为PQ平面PQC，所以平面PQC平面ABCE，交线为QC.(9分)过点M作MNQC于N，则MN平面ABCE，所以MN是三棱锥M ABQ的高因为PQ平面ABCE，MN平面ABCE，所以PQMN.因为点M是PC的中点，所以MNPQ.(11分)由(1)知，ABE为正三角形，且边长为2.所以，SABQ.三棱锥A MQB的体积VA MQ
4、BVM ABQ.(14分)3如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BCa，ABC，设ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.(1)用a，表示S1和S2；(2)当a固定，变化时，求的最小值解(1)S1asin acos a2sin 2，设正方形边长为x，则BQ，RCxtan ，xtan xa，x，(4分)S22，(6分)(2)当a固定，变化时，令sin 2t，则(0t1)，利用单调性求得t1时，min.(14分)4若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
5、1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQx轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为PA1A2的垂心(垂心为三角形三条高的交点)(1)解由题意可知A1(，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e.(3分)设椭圆C2的方程为1(ab0)，则b.因为，所以a2.所以椭圆C2的方程为1.(6分)(2)证明设P(x0，y0)，y00，则1，从而y122x.将xx0代入1得1，从而y23，即y.因为P，H在x轴的同侧，所以取y，即H(x0，)(12分)所以kA1P
6、kA2H1，从而A1PA2H.又因为PHA1A2，所以H为PA1A2的垂心(16分)5已知函数f(x)aln x(a为常数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y50垂直，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x1时，f(x)2x3恒成立，求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为x|x0，f(x).又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y50垂直，所以f(1)a12，即a1.(4分)(2)由f(x)(x0)，当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，由f(x)0，得0x，所以f(x)的单调增区间为；由f(x)0，
7、得x，所以f(x)的单调减区间为.(10分)(3)设g(x)aln x2x3，x1，)，则g(x)2.令h(x)2x2ax1，考虑到h(0)10，当a1时，h(x)2x2ax1的对称轴x1，h(x)在1，)上是减函数，h(x)h(1)a10，所以g(x)0，g(x)在1，)上是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)2x23恒成立当a1时，令h(x)2x2ax10，得x11，x20，当x1，x1)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在1，x1)上是增函数；当x(x1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(x1，)上是减函数所以0g(1)g(x1)，即f(x1)2x13，不满足题意综上
8、，a的取值范围为a1.(16分)6已知无穷数列an的各项均为正整数，Sn为数列an的前n项和(1)若数列an是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3(Sn)3成立，求数列an的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合a1，a2，an中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合()求a1，a2的值；()求数列an的通项公式解(1)设无穷等差数列an的公差为d，因为Sn3(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n1，n2时，则有：因为数列an的各项均为正整数，所以d0.可得a11，d0或d2.(
9、4分)当a11，d0时，an1，Sn3(Sn)3成立；当a11，d2时，Snn2，所以Sn3(Sn)3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an1或an2n1.(6分)(2)()记An1,2，Sn，显然a1S11.(7分)对于S2a1a21a2，有A21,2，Sn1，a2，1a2，|1a2|1,2,3,4，故1a24，所以a23.(9分)()由题意可知，集合a1，a2，an按上述规则，共产生Sn个正整数(10分)而集合a1，a2，an，an1按上述规则产生的Sn1个正整数中，除1,2，Sn这Sn个正整数外，还有an1，an1i，|an1i|(i1,2，Sn)，共2Sn1个数所以，Sn1Sn(2Sn1)3Sn1.(12分)又Sn13，所以Sn3n13n.(14分)当n2时，anSnSn13n3n1.(15分)而a11也满足an3n1.所以，数列an的通项公式是an3n1.(16分)
