1、数学选修45(人教A版)证明不等式的基本方法本讲小结1不等式的证明是高中数学的重要内容,也是将来进入大学学习不可缺少的技能,同时也是高中数学的一个难点,加之题型广泛,涉及面广,证法灵活,备受命题者的青睐,亦成为历届高考中的热点问题,但高考中几乎不可能出现单独考查不等式证明的试题,命题方向重在考查逻辑推理能力,在题目的设计上,常常将不等式的证明与函数、数列、三角综合比较法是不等式证明的最基本方法,综合法的应用反映了学生对已知条件和所学知识的驾驭能力,这两种方法都是高考的重点考查内容2基本不等式是几个正数和与积的转化的依据,不但可直接解决和与积的不等问题,而且通过结合不等式性质、函数单调性等,还可
2、解决其他形式的不等式如和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两两之积之和等等3比较法分差比法与商比法两种,差比法由:“作差变形判断”三步组成,商比法由:“作商变形判断”三步组成比较法的判断是与零比较,而商比法的判断是与“1”比较,并要求都是对正值而言4综合法是“由因导果”的方法,即从已知出发,不断用必需条件替换前面的不等式,直至推出要证的不等式,一般书写简捷、流畅综合法证明问题的“入手处”是题设中的已知条件或某些基本不等式比如以下几个是常用到的:若a,bR,则有;若a,b,cR,则有a2b2c2abbcac;若a,bR,则有(ab)4.5分析法证明不等式是“执果索因”,是与综合法思路相反的证
3、明方法,但有时,证明需一边分析,一边综合,称之为分析综合法或称为两头凑法,两头凑法充分表明分析与综合的相互关系分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点6用反证法应把握住以下几点:(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须写出各种情况,缺少任何一种可能,反证法都是不完整的(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则仅否定结论,不从结论的反面出发进行推证,就不是反证法(3)推导出的矛盾,可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实相违背等等,推导出的矛盾必须是明显的(4)在使用反证法时,“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用,可视为已知条件7放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且恰到好处目标往往要从证明的结论考查,常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用函数性质进行放缩等