1、吉林省洮南市第一中学2020-2021学年高二数学上学期第三次月考试题 理（满分：150分，时间：120分钟）注意事项: 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和答题纸的相应位置上. 2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效.第I卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1直线的倾斜角为（ ） A30 B60 C120 D1502下列关于命题的说法
2、错误的是（ ） A命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 C命题“，使得”的否定是“，均有” D且的充要条件是3.已知两条平行线方程为与，则它们间距离为（ ） A B CD 4点满足，则点P在（ ） A以点为圆心，以2为半径的圆上 B以点为中心，以2为棱长的正方体上 C以点为球心，以2为半径的球面上 D无法确定5设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( ) A若,则 B若则 C若则 D若则6某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A80 B160 C240 D4807已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(
3、3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是() A B C D8已知命题关于的函数在上是增函数，命题函数为减函数，若“且”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A B C D9抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A B C D10我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为（ ） A B C D11（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必
4、要条件12过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与物线交于，两点，若，则抛物线的方程为（ ） A B C D第卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，则它的标准方程是_14将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.若在第时，原油的温度（单位：）为，则在第时，原油温度的瞬时变化率为_15对于四面体，有以下命题：若，则过向底面作垂线，垂足为底面的外心；若，则过向底面作垂线，垂足为底面的内心；四面体的四个面中，最多有四个直角三角形；若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是_
5、16已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则_.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17(本小题10分)已知直线过直线和的交点，根据下列条件分别求出直线的方程：（1）直线的倾斜角为；（2）直线与直线垂直.18. (本小题12分) 求下列函数的导数. 19(本小题12分) 如图，在四棱锥中，底面四边形满足且，点和分别为棱和的中点（1）求证：；（2）求证：平面平面20(本小题12分) 已知圆，点为圆上任意一点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线（1）求点的轨迹的方程；（2）求曲线与的公共弦长21(本小题12
6、分)在直三棱柱中，为线段的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）求二面角的余弦值.22. (本小题12分) 已知椭圆的一个顶点为，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线交于另一点，交轴于点为线段的中点，为坐标原点，是否存在点满足对于任意的都有若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由洮南一中高二第三次月考数学试卷答案（理科）一、选择题：123456789101112ADCCDBBADDBC二、填空题：13. 1 14. -1 15. 16. 4三、解答题：17. （10分） （1）；（2）.【分析】（1）求出两直线的交点的坐标，可设直线的方程为，将交点的坐标
7、代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；（2）可设直线的方程为，将交点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程.【详解】（1）联立两直线的方程，解得，则直线和的交点的坐标为.由于直线的倾斜角为，其斜率为，设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，得，解得，因此，直线的方程为，即；（2）由于直线与直线，可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，得，解得.因此，直线的方程为.【点睛】本题考查直线方程的求解，解题时充分从直线的斜率来求解，考查计算能力，属于基础题.18（12分） （1） （2）19（12分）【答案】【分析】（1）先证明平面，平面，进而得到平面平面，然后根据面面平行的
8、性质可得结论成立（2）先证明平面，根据，可得平面，于是可得面面垂直【详解】（1）在底面四边形中，由，可得；又，为的中点，所以，从而四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面由题意，是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面又与是平面内两相交直线，所以平面平面；因为平面，所以平面（2）由（1）知，因为，所以，又，且是平面内两相交直线，所以平面，从而平面，又平面，所以平面平面【点睛】解答类似问题的关键是根据图形，并结合三种平行（垂直）间的相互转化关系进行求解，解题时注意解题步骤的完整性，特别是定理中的关键性词语，在证题过程中要得到体现，属于基础题【答案】（1）；（2）；.【分析】（1）设点，根
9、据相关点法求解即可；、（2）先根据题意求得与的公共弦所长直线的方程，再结合圆的弦长问题计算即可；【详解】解（1）：设点， 线段的中点为， ，故，又 为圆上任意一点， ， 将代入得点的轨迹的方程为（2） 两式做差得公共弦所在直线方程为： 点到之距离 所求与公共弦长为：21（12分）【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由直三棱柱的定义可得,再根据等腰三角形性质可得,再由线面垂直的判定可得平面,即可证明.（2）取线段的中点为,分别取作为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,利用向量数量积运算求得平面BC1D的法向量,即可由线面夹角的求法求得直线与平面所成角的余弦值.
10、（3）由平面BC1D的法向量和平面的法向量,即可利用法向量法求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：由直三棱柱,可得底面,.,D为线段的中点.,又,平面,.（2）取线段的中点为,分别取作为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如下图所示:,设平面BC1D的法向量为,则,代入可得,令可得即.|.直线与平面所成角的余弦值为（3）由题意得平面的法向量为 由（2）得平面法向量为.由图可知,二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了由线面垂直判定线线垂直,空间向量法求线面夹角、面面夹角,对计算能力要求较高,属于中档题.22（12分）【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】由由题意可得，解得，由此能求出椭圆方程；直线的方程为，与椭圆联立，得，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标【详解】由题意可得，解得，则椭圆C的方程为，直线的方程为，得，联立椭圆方程，消元化简得，又点P为AD的中点，则，假设存在定点使得，则，即恒成立，恒成立，即，因此定点Q的坐标为【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用，是中档题
