1、1.3.3函数的最大(小)值与导数填一填1.函数有最值的条件如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值2函数f(x)在闭区间a，b上的最值如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在a，b上一定能够取得最大值或最小值，若函数在(a，b)上是可导的，该函数的最值必在区间端点处或极值点处取得3求可导函数在a，b上最值的步骤(1)求函数yf(x)在开区间(a，b)内的所有极值点；(2)计算函数yf(x)在各极值点和函数值f(a)，f(b)的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.判一判1.有些函数的最值不能通过求导
2、数法求得()2三次函数f(x)没有最大值，也没有最小值()3连续不断的函数yf(x)在开区间(a，b)上一定有最大值或最小值()4有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值()5函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()6开区间上的单调连续函数无最值()7函数f(x)在区间1,1上有最值()8函数f(x)在1,1上有最大值，也有最小值()想一想1.函数的最值常存在于函数的哪些位置？函数的最值常存在于这些点之中：极值点，即导数为零的点；区间端点；导数不存在的点比较这些点的函数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值2求函数的最值时，为什么要求函数的区间必须是闭区间？若
3、函数f(x)在开区间上连续，但仍不能保证有最大值或最小值，例如f(x)x22x3，x(0,1)，f(x)在区间(0,1)上连续，但没有最大值和最小值3最值与极值有何区别与联系？函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得4如何利用导数求函数yf(x)在a，b上的最大值、最小值呢？第一步求函数的定义域第二步求f(x)，解方程f(x)0.第三步列出关于x，f(x)，f(x)的变化表第四步求极
4、值、端点值，确定最值感悟体会练一练1.函数f(x)x2cos x在区间上的最小值是()A B2C. D.1解析：令f(x)12sin x0，因为x，所以f(x)0，所以f(x)在单调递增，所以f(x)min.故选A.答案：A2函数f(x)(1x)ex有()A最大值为1 B最小值为1C最大值为e D最小值为e解析：f(x)ex(1x)exxex，当x0，当x0时，f(x)Cm Dm0，f(x)x42x33m在(，3)上单调递减，在(3，)上单调递增，x3时，f(x)取得最小值，最小值f(3)3m.不等式f(x)90恒成立，f(x)9恒成立，3m9，解得m，故选A.答案：A4已知函数yx22x3在
5、a,2上的最大值为，则a等于()A B.C D.或解析：y2x2，由y0，得x1，函数yx22x3在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减当a1时，函数f(x)在x1处取得最大值，又x1时，y4，不符合题意，当1a0，当x时，f(x)0，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，f(x)maxf1，故选A.答案：A4已知a为实数，f(x)(x24)(xa)若f(1)0.求函数f(x)在2,2上的最大值和最小值解析：f(x)2x(xa)(x24)3x22ax4，f(1)0，32a40，解得a，f(x)(x24)，f(x)3x2x4，由f(x)0，得x1或x，又f(2)0，f(2)0，f(1)，f
6、，f(x)max，f(x)min.知识点三由函数的最值确定参数值5.若存在x，使得不等式2xln xx2mx30成立，则实数m的最小值为_解析：x，不等式2xln xx2mx30可化为m2ln xx，令f(x)2ln xx，x，由题意知，mf(x)min，f(x)1，当x时，f(x)0，函数f(x)在上单调递减，在(1，e上单调递增，当x1时，f(x)minf(1)4，m4，实数m的最小值为4.答案：46已知函数f(x)ln x，若函数f(x)在1，e上的最小值为，求实数a的值解析：f(x)ln x，f(x)，若a1，则当x1，e时，xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，f(x)在1，e上为增
7、函数，所以f(x)minf(1)a，所以a(舍去)；若ae，则当x1，e时，xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，f(x)在1，e上为减函数，所以f(x)minf(e)1，所以a(舍去)；若ea1，则当1xa时，f(x)0，所以f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，所以f(x)在(a，e)上为增函数，所以f(x)minf(a)ln(a)1，所以a.综上所述，a.综合知识与函数最值有关的综合问题7.设x0是函数f(x)(exex)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0)处的切线方程是_解析：令f(x)(exex)0，得x0，可知x00为最小值点，切点为(0,1)，切线斜率为kf(0)0，所以
8、切线方程为y1.答案：y18设函数f(x)exx2ax1(aR)，函数f(x)在定义域R上的导函数为f(x)(1)证明：当a0时，f(x)2x0恒成立，求a的取值范围解析：(1)f(x)ex2xa.令g(x)ex2xa，则g(x)ex2，易知g(x)在(，ln 2)单调递减，在(ln 2，)单调递增，g(x)minf(x)minf(ln 2)22ln 2a.当a0，f(x)的图象恒在x轴上方，当a0时，f(x)2x0恒成立，即exx2ax2x10恒成立，ax2恒成立，令h(x)x2(x0)，h(x)，当x0时，exx10恒成立h(x)在(0,1)单调递减，在(1，)单调递增，h(x)minh(
9、1)e，ah(x)mine即ae.基础达标一、选择题1函数f(x)x24x7在x3,5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3)Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5) Df(5)，f(3)解析：f(x)2x4，当x3,5时，f(x)0)，解得xe.当xe时，y0；当0x0.y极大值，在定义域(0，)内只有一个极值，所以ymax.答案：A3函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()A0a1 B0a1C1a1 D0a解析：f(x)3x23a，函数f(x)在(0,1)内有最小值，f(x)0在(0,1)内有解，ax2在(0,1)上有解，0a1，故选B.答案：B4已知函
10、数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)解析：令h(x)f(x)g(x)，xa，b，则h(x)f(x)g(x)，在a，b上f(x)g(x)，h(x)0，h(x)在a，b上是减函数，h(x)maxh(a)f(a)g(a)，故选A.答案：A5若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(，1) B，1)C2,1) D(2,1)解析：因为f(x)3x23，令f(x)0，得x1，所以函数f(x)在(，1)，(1，)上单调递增；
11、在(1,1)上单调递减，如图，函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，且最小值为f(1)，所以解得2a1，故实数a的取值范围是2,1)故选C.答案：C6已知函数f(x)(x2x)(x2axb)，若对xR，均有f(x)f(2x)，则f(x)的最小值为()A BC2 D0解析：对xR，均有f(x)f(2x)，f(0)f(2)，f(1)f(3)，即解得f(x)(x2x)(x25x6)，f(x)(2x1)(x25x6)(x2x)(2x5)2(x1)(2x24x3)，由f(x)0，得x1或x1或x1，由函数的对称性知，当x1或x1时，f(x)可取到最小值，f，故选A.答案：A7已知函数f(x)a
12、x(a1)ln x1(aR)在(0,1上的最大值为3，则a()A2 BeC3 De2解析：f(x)a，x(0,1，令g(x)(ax1)(x1)，x(0,1)，当a1时，ax1x10，f(x)0，f(x)在(0,1上单调递增，f(x)maxf(1)a，即a3(舍去)，当a1时，当x时，g(x)0，f(x)0；x时，g(x)0，f(x)1)，h(x)ln x0)在1，)上的最大值为，则a的值为_解析：f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0，f(x)单调递增，当x时，由f(x)，得0，得x1；由f(x)0，得4x1，f(x)在2,1)上单调递减，在(1,2上单调递增，f(x)minf
13、(1)3e.答案：3e11已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_解析：因为f(x)3x22ax，所以f(2)124a0，所以a3，所以f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x0或x2(舍去)，所以当x1,0)时，f(x)0，函数f(x)为增函数，所以f(0)为最小值且f(0)4，而函数f(x)3x26x的图象的对称轴为直线x1，所以f(x)在1,1上为增函数，所以f(x)minf(1)9，所以f(m)f(n)的最小值为13.答案：1312已知函数f(x)ax33x1，且对任意x(0,1，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_解析
14、：当x(0,1时，不等式ax33x10可化为a.设g(x)，x(0,1，则g(x)，令g(x)0，得x.g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，)答案：4，)三、解答题13已知函数f(x)x3ax2bx1，当x3时，函数f(x)有极小值8.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在0,4上的值域解析：(1)f(x)x22axb，由题意得解得f(x)x3x23x1，经检验x3为yf(x)的极小值点，符合题意(2)由(1)得f(x)x22x3(x3)(x1)，当f(x)0时，3x4；当f(x)0时，0x0，得x1或x，
15、所以函数g(x)的单调增区间为，(1，)(2)g(x)x2(2a1)xaln x，g(x)2x(2a1)，令g(x)0，得xa或x.当a1，x1，e，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)min2a；当1ae，x(1，a)，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)ming(a)a2aaln a；当ae，x1，e，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)ming(e)e2(2a1)ea，g(x)能力提升15.已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在区间1，e上的最大值，最小值；(2)求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3图象的下方解析：(1)由f(x)x2ln x有f
16、(x)x，当x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)maxf(e)e21.f(x)minf(1).(2)设F(x)x2ln xx3，则F(x)x2x2，当x1，)时，F(x)0，且F(1)0，故x1，)时F(x)0，所以x2ln xx3，得证16已知f(x)x22ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)2tx在x(0,1内恒成立，求t的取值范围解析：(1)函数的定义域为(0，)f(x)2x，令f(x)0得x11(舍去)，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值1所以当x1时，f(x)min1.(2)由f(x)2tx对x(0,1恒成立，得2tx在x(0,1内恒成立，令h(x)x，则h(x).因为x(0,1，所以x430，2x20，所以h(x)0，所以h(x)在(0,1上是减函数所以当x1时，h(x)x有最小值2.所以2t2，t1，所以t的取值范围是(，1
