1、3.2 分 析 法 1.分析法的定义 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等,这种思维方法称为分析法.必备知识自主学习【思考】分析法证明数学问题的适用范围是什么?提示:当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.2.分析法证明的思维过程 用Q表示要证明的结论,则分析法的思维过程可用框图表示为:【思考】分析法的推理过程是归纳推理或类比推理吗?提示:不是归纳推理或类比推理,是演绎推理.3.分析法和综合法的对比 优
2、点缺点分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法思路逆行,叙述较繁综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题不便于思考联系先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来【思考】分析法和综合法的区别是什么?提示:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)分析法就是从结论推向已知.()(2)分析法的推理过程要比综合法优越.()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.()提示:(1).分析法又叫逆推证法,但不是从结论推向已知,而是寻找使结论成立的充分条件的过
3、程.(2).分析法和综合法各有优缺点.(3).一般用综合法证明的题目均可用分析法证明,但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.2.下列表述:综合法是由因导果法;综合法是顺推法;分析法是执果索因法;分析法是间接证明法;分析法是逆推法.其中正确的表述有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【解析】选C.结合综合法和分析法的定义可知均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故不正确.3.下列条件ab0,ab0,b0,a0,b0,b0,2ca+b.求证:c-a0,所以x0,y0.要比较x与y的大小,只需比较x2与y2的大小.即比较 与a+b的大小,因为a,b为不相等的正数,所以 a+b,所以 a+b,
4、即x2y2,所以xy.答案:xy ab2 ab22 abab2 ab22.要证c-ac+.只要证-a-c ,只要证|a-c|,即要证(a-c)2c2-ab.即要证 a2-2ac0,即要证a-2c-b,即要证 a+b0,b0,且ab,所以比较x与y大小,只需比较()2与 ,即a2+b2与 的大小,因为 所以a2+b2 ,即xy.222xabyab2，（），22ab22 ab2（）2ab2（）2ab=2（）22222222ab2abababab22，2ab2（）类型二 综合法与分析法的综合应用【典例】某两个正数x,y之间,若插入一个数a,则能使x,a,y成等差数列;若插入两个数b,c,则能使x,b
5、,c,y成等比数列,求证:(a+1)2(b+1)(c+1).【思路导引】可用分析法找途径,用综合法由条件顺次推理,易于使条件与结论联系起来.【证明】由已知条件得 消去x,y得2a=,且a0,b0,c0.要证(a+1)2(b+1)(c+1),只需证a+1 ,只需证a+1 ,即证2ab+c.由于2a=,故只需证 b+c,222axybcxcby.，22bccbb 1 c 1b1c12 22bccb22bccb只需证b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)(b+c)bc,即证b2+c2-bcbc,即证(b-c)20.因为上式显然成立,所以(a+1)2(b+1)(c+1).【解后反思】任意两个实数是
6、否都有等差、等比中项?提示:任意两个数都有等差中项是正确的,只需取x=;任意两个数都有等 比中项是错误的,例如当a或者b为0时候,没有等比中项.ab2【解题策略】1.分析法与综合法的关系 分析法与综合法的关系可表示为下图:从图中可以看出,逆向书写分析过程,同样可以完成证明,这就是综合法.由此使我们想到,用分析法探路,用综合法书写,也是一种很好的思维方式.2.分析综合法 对于那些较为复杂的数学命题,不论是从“已知”推向“未知”,或者是由“未知”靠拢“已知”,都有一个比较长的思考过程,单靠分析法或综合法显得较为困难.为保证探索方向准确及过程快捷,人们常常把分析法与综合法两者结合起来使用,即常采取同
7、时从已知和结论出发,寻找问题的一个中间目标.从已知到中间目标运用综合法思索,而由结论到中间目标运用分析法思索,以中间目标为桥梁沟通已知与结论,构建出证明的有效路径.上面所言的思维模式可概括为如图所示:综合法与分析法是逻辑推理的思维方法,它对于培养思维的严谨性极为有用.把分析法与综合法并列起来进行思考,寻求问题的解答途径,就是人们通常所说的分析综合法.【跟踪训练】ABC的三个内角A,B,C成等差数列,各角对应的边分别为a,b,c,求证:【证明】要证 即证 =3,即证 =1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),只需证c2+a2=ac+b2.因为A,B,C成等差数列,113.ab
8、bcabc113,abbcabcabcabcabbccaabbc所以2B=A+C,又A+B+C=180,所以B=60.因为c2+a2-b2=2accos B,所以c2+a2-b2=ac,所以c2+a2=ac+b2,所以 成立.113abbcabc【补偿训练】设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证明:3SI24S.【证明】因为I=a+b+c,S=ab+bc+ca,所以I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S.于是,要证3SI24S,即证3Sa2+b2+c2+2S4S,即证Sa2+b2+c22S.(1)要证Sa2
9、+b2+c2,即证a2+b2+c2-ab-bc-ca0,即证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(a2+c2-2ca)0,即证(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.因为(a-b)20,(b-c)20,(a-c)20,所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20,所以Sa2+b2+c2成立.(2)要证a2+b2+c22S,即证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac0,即证(a2-ab-ac)+(b2-ab-bc)+(c2-ac-bc)0,即证aa-(b+c)+bb-(a+c)+cc-(a+b)0,b0,c0,且a+bc,a+cb,b+ca,所以aa-(b+c)0,bb-(a
10、+c)0,cc-(a+b)0,所以aa-(b+c)+bb-(a+c)+cc-(a+b)0,所以a2+b2+c22S成立.综合(1)(2)可知,Sa2+b2+c22S成立,于是3SI20,即证 0.故只需ab,且a,b都不小于0即可.答案:a0,b0且ab a ab ba bb a，a ab ba bb a，a aa bb ab b，aabbab（）（），ab2abab（)（）3.已知a,b为不相等的正实数,且ab,x=,y=,试比较x,y的大 小关系.【解析】因为ab0,所以 ,所以比较x与y的大小,只需比较x2与y2的大小,即比较b-2 与-b的大小,由 知,2 2b.所以b-2 -b,即x2y2,故xy.ababababababab
