1、1二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题目 录题型 01二次函数平移问题题型 02二次函数翻折问题题型 03二次函数对称问题题型 04二次函数旋转问题题型 05二次函数折叠问题题型 01二次函数平移问题1.二次函数的平移变换平移方式(n 0)一般式 y=ax2+bx+c顶点式 y=a(x-h)2+k平移口诀向左平移 n 个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移 n 个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移 n 个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移 n 个单位y=ax2+bx+c
2、-ny=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.1(2023上海杨浦统考一模)已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2-2ax-3 a 0与 x 轴交于点 A、点 B(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，且 AB=42(1)求抛物线的表达式；(2)点 P 是线段 BC 上一点，如果 PAC=45，求点 P 的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，将该抛物线向左平移，点 D 平移至点 E
3、 处，过点 E 作 EF 直线 AP，垂足为点F，如果 tanPEF=12，求平移后抛物线的表达式【答案】(1)y=x2-2x-3(2)P 53,-43(3)y=x+1792-4【分析】(1)设点 A 的横坐标为 xA，点 B 的横坐标为 xB，根据对称轴，AB=4，列式 xA+xB2=1,xB-xA=4，利用根与系数关系计算确定 a 值即可(2)过点 C 作 AC MN 于点 C，交 AC 右侧的 AP 的延长线于点 M，交 AC 左侧的 AP 的延长线于点 N，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可(3)设抛物线向左平移了 t 个单位，则点 E 1-t,-4，过点 F
4、作 x 轴的平行线交过点 P 和 y 轴的平行线于点 H，交过点 E 和 y 轴的平行线于点 G，证明 RtFGE RtPHF，根据相似三角形的性质得出 GEHF=GFHP=EFFP=1tanPEF=2 即可求解【详解】(1)解：抛物线 y=ax2-2ax-3 a 0与 x 轴交于点 A、点 B(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，且 AB=4，xA+xB2=1,xB-xA=4，解得 xB=3,xA=-1，-3a=3 -1，解得 a=1，故抛物线的解析式为 y=x2-2x-3(2)过点 C 作 AC MN 于点 C，交 AC 右侧的 AP 的延长线于点 M，P
5、AC=45，AC=CM，过点 M 作 MT y 轴于点 T，ACO=90-ECM=CMTACO=CMTAOC=CTMAC=CM，AOC CTM AAS，AO=CT,OC=EM，抛物线的解析式为 y=x2-2x-3，xB=3,xA=-1，3 AO=CT=1,OC=TM=3，A-1,0,C 0,-3,B 3,0，OE=2,TM=3 M 3,-2，设 AM 的解析式为 y=kx+b，BC 的解析式为 y=px+q-k+b=03k+b=-2,3p+q=0q=-3，解得k=-12b=-12,p=1q=-3 AM 的解析式为 y=-12 x-12，BC 的解析式为 y=x-3，y=x-3y=-12 x-1
6、2，解得x=53y=-43，故 P 53,-43；(3)y=x2-2x-3=x-12-4，点 D 1,-4,设抛物线向左平移了 t 个单位，则点 E 1-t,-4，过点 F 作 x 轴的平行线交过点 P 和 y 轴的平行线于点 H，交过点 E 和 y 轴的平行线于点 G，由(2)知，直线 AP 的表达式为：y=-12 x-12，P 53,-43设 F m,-12 m-12 EFP=90，GFE+HFP=90，GFE+GEF=90，GEF=HFP，RtFGE RtPHF，GEHF=GFHP=EFFP=1tanPEF=2，GE=yF-yE=-12 m-12+4，HF=xP-xF=53-m，GF=x
7、F-xG=m-1-t，HP=yF-yP=-12 m-12+43，-12 m-12+453-m=m-1-t-12 m-12+43=2，解得：t=269，y=x-1+2692-4=x+1792-4【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键2(2023广东湛江校考一模)如图 1，抛物线 y=36 x2+4 33x+2 3 与 x 轴交于点 A，B(A 在 B 左边)，与 y 轴交于点 C，连 AC，点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，过点 D 作 DE AC 交抛物线于点 E，4交 y 轴于点 P(1)点 F 是直线 AC 下方抛
8、物线上点一动点，连 DF 交 AC 于点 G，连 EG，当 EFG 的面积的最大值时，直线 DE 上有一动点 M，直线 AC 上有一动点 N，满足 MN AC，连 GM，NO，求 GM+MN+NO 的最小值；(2)如图 2，在(1)的条件下，过点 F 作 FH x 轴于点 H 交 AC 于点 L，将 AHL 沿着射线 AC 平移到点 A与点 C 重合，从而得到 AHL(点 A，H，L 分别对应点 A，H，L)，再将 AHL 绕点 H 逆时针旋转(0 180)，旋转过程中，边 AL 所在直线交直线 DE 于 Q，交 y 轴于点 R，求当 PQR 为等腰三角形时，直接写出 PR 的长【答案】(1)
9、4+2 3975(2)17 33-3 或 8 33【分析】(1)作 FH y 轴交 DE 于 H设 F m,36 m2+4 33m+2 3，求出直线 DE 的解析式，联立方程得到 x=-3 时，FH 的值最大，求出答案；作点 G 关于 DE 的对称点 T，TG 交 DE 于 R，连接 OR 交 AC 于 N，作 NM DE 于 M，连接 TM，GM，此时 GM+MN+NO 的值最小，求出答案即可；(2)当 PQR 是等腰三角形时，易知 QPR=120，易知直线 RQ 与 x 轴的夹角为 60，得到直线 RQ 的解析式为 y=3x+3-3，进而求出答案，当 QPR 是等腰三角形，同理求出答案【详
10、解】(1)如图 1 中，作 FH y 轴交 DE 于 H设 F m,36 m2+4 33m+2 3由题意可知 A(-6,0)，B(-2,0)，C(0,2 3)，抛物线的对称轴 x=-4，C，D 关于直线 x=-4 对称，D(-8,2 3)，直线 AC 的解析式为 y=33 x+2 3，DE AC，直线 DE 的解析式为 y=33 x+14 33，由y=33 x+2 3y=33 x+14 33，解得 x=8y=2 3或x=2y=16 33，E 2,16 33，H m,33 m+14 33，SDEF=SDEG+SEFG，DEG 的面积为定值，DEG 的面积最大时，EFG 的面积最大，FH 的值最大
11、时，DEF 的面积最大，FH 的值最大时，EFG 的面积最大，5 FH=-36 m2-3m+8 33，a 0与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点.过点 A、点 C 分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点 B设抛物线 C2与 x 轴交于 E、F 两点(点 E 在左边)现将图中的CBA 沿直线 l 折叠，折叠后的 BC 边与 x 轴交于点 M当 8 n 12 时，若要使点 M 始终能够落在线段EF(包括两端点)上，请通过计算加以说明：抛物线 C1在向抛物线 C2平移时，沿 x 轴的方向上需要向左还是9向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？【答案】(1)抛物线 C1的解析
12、式为 y1=x2-6x+3，抛物线 C1的顶点坐标为 3,-6(2)m 的值为 2 或 9-154；抛物线 C1在向抛物线 C2平移时，沿 x 轴的方向上需要向右平移，最少平移 2 个单位，最多平移 7 个单位【分析】(1)根据对称轴为直线 x=3，可得 b=-6，再把把 6,3代入，即可求解；(2)根据配方可得当 x=m 时，函数有最小值-1，再由自变量 x 在 1 x 2 的范围内取值时，函数 y2的最小值始终等于-1，可得 1 m 2，然后两种情况讨论，即可求解；先求出点 A，C 的坐标，可得点 B 的坐标，再根据图形折叠的性质可得 CM=AM，在 RtCOM 中，根据勾股定理可得 CM
13、=54 n，从而得到点M 的坐标，继而得到 n 的取值范围，然后根据点 M 始终能够落在线段 EF(包括两端点)上，可得 m 取值范围，即可求解【详解】(1)解：y1=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=3，-b2=3，解得：b=-6，把 6,3代入 y1=x2-6x+c，得 3=62-6 6+c，解得：c=3，抛物线 C1的解析式为 y1=x2-6x+3，当 x=3 时，y1=32-6 3+3=-6，抛物线 C1的顶点坐标为 3,-6；(2)解：y2=x2-2mx+m2-1=x-m2-1，抛物线 C2的对称轴为直线 x=m，当 x=m 时，函数有最小值-1，在 1 x 2 的范围内取值时，函
14、数 y2的最小值始终等于-1，1 m 2，当 1 m 32 时，x=2 时 y2有最大值为 m2-4m+3，m2-4m+3+1=12 m，解得 m=9 154，m=9-154；当 32 m 2 时，x=1 时 y2有最大值为 m2-2m，m2-2m+1=12 m，解得 m=2 或 m=12(舍)，综上所述：m 的值为 2 或 9-154；直线 l：y=-12 x+n 与 x 轴的交点 A 2n,0，与 y 轴的交点 C 0,n，B 2n,n，CBA 沿直线 l 折叠，BCA=ACM，BCA=CAM，10 ACM=MAC，CM=AM，在 RtCOM 中，CM 2=CO2+OM 2，即 CM 2=
15、n2+2n-CM2，解得 CM=54 n，OM=34 n，M34 n,0，8 n 12，6 34 n 9，当 x2-2mx+m2-1=0 时，解得：x=m+1 或 x=m-1，E m-1,0，F m+1,0，点 M 始终能够落在线段 EF 上，m+1 6，m-1 9，5 m 10，y1=x2-6x+3=x-32-6，y2=x-m2-1，当 m=5 时，抛物线 C1沿 x 轴向右平移 2 个单位，向上平移 5 个单位，当 m=10 时，抛物线 C1沿 x 轴向右平移 7 个单位，向上平移 5 个单位，抛物线 C1在向抛物线 C2平移时，沿 x 轴的方向上需要向右平移，最少平移 2 个单位，最多平
16、移 7 个单位【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键5(2023浙江湖州统考中考真题)如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2-4x+c 的图象与 y 轴的交点坐标为 0,5，图象的顶点为 M矩形 ABCD 的顶点 D 与原点 O 重合，顶点 A，C 分别在 x轴，y 轴上，顶点 B 的坐标为 1,5 (1)求 c 的值及顶点 M 的坐标，(2)如图 2，将矩形 ABCD 沿 x 轴正方向平移 t 个单位 0 t 3得到对应的矩形 ABCD已知边 CD，AB 分别与函数 y=x2-4
17、x+c 的图象交于点 P，Q，连接 PQ，过点 P 作 PG AB 于点 G当 t=2 时，求 QG 的长；当点 G 与点 Q 不重合时，是否存在这样的 t，使得 PGQ 的面积为 1？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)c=5，顶点 M 的坐标是 2,1(2)1；存在，t=12 或 5211【分析】(1)把 0,5代入抛物线的解析式即可求出 c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；(2)先判断当 t=2 时，D，A 的坐标分别是 2,0，3,0，再求出 x=3，x=2 时点 Q 的纵坐标与点 P 的纵坐标，进而求解；先求出 QG=2，易得 P，Q 的坐标分别是 t
18、,t2-4t+5，t+1,t2-2t+2，然后分点 G 在点 Q 的上方与点 G 在点 Q 的下方两种情况，结合函数图象求解即可【详解】(1)二次函数 y=x2-4x+c 的图象与 y 轴的交点坐标为 0,5，c=5，y=x2-4x+5=x-22+1，顶点 M 的坐标是 2,1(2)A 在 x 轴上，B 的坐标为 1,5，点 A 的坐标是 1,0当 t=2 时，D，A 的坐标分别是 2,0，3,0当 x=3 时，y=3-22+1=2，即点 Q 的纵坐标是 2，当 x=2 时，y=2-22+1=1，即点 P 的纵坐标是 1 PG AB，点 G 的纵坐标是 1，QG=2-1=1 存在理由如下：PG
19、Q 的面积为 1，PG=1，QG=2根据题意，得 P，Q 的坐标分别是 t,t2-4t+5，t+1,t2-2t+2如图 1，当点 G 在点 Q 的上方时，QG=t2-4t+5-t2-2t+2=3-2t=2，此时 t=12(在 0 t 3 的范围内)，如图 2，当点 G 在点 Q 的下方时，QG=t2-2t+2-t2-4t+5=2t-3=2，此时 t=52(在 0 t 3 的范围内)t=12 或 52【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键6(2023江苏统考中考真题)如图，二次函数 y=12
20、x2+bx-4 的图像与 x 轴相交于点 A(-2,0)、B，其顶点是 C12 (1)b=；(2)D 是第三象限抛物线上的一点，连接 OD，tanAOD=52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点 D，过点(k,0)作 x 轴的垂线 l已知在 l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求 k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点 Q，且其顶点 P 落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ已知 PCQ 是直角三角形，求点 P 的坐标【答案】(1)-1；(2)k-3；(3)3,-52或-1,-52【分析】(1)把 A(-2,0)代入 y=12 x2+bx-4
21、 即可求解；(2)过点 D 作 DM OA 于点 M，设 D m,12 m2-m-4，由 tanAOD=DMOM=-12 m2+m+4-m=52，解得 D-1,-52，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为 y=12 x+32-92，根据二次函数得性质即可得解；(3)先设出平移后顶点为 P p,12 p2-p-4，根据原抛物线 y=12 x-12-92，求得原抛物线的顶点C 1,-92，对称轴为 x=1，进而得 Q 1,p2-2p-72，再根据勾股定理构造方程即可得解【详解】(1)解：把 A(-2,0)代入 y=12 x2+bx-4 得，0=12 -22+b -2-4，解得 b=-1，故答案
22、为-1；(2)解：过点 D 作 DM OA 于点 M，b=-1，二次函数的解析式为 y=12 x2-x-4设 D m,12 m2-m-4，D 是第三象限抛物线上的一点，连接 OD，tanAOD=52，tanAOD=DMOM=-12 m2+m+4-m=52，解得 m=-1 或 m=8(舍去)，当 m=-1 时，12 m2-m-4=12+1-4=-52，13 D-1,-52，y=12 x2-x-4=12 x-12-92，设将原抛物线向左平移后的抛物线为 y=12 x+a2-92，把 D-1,-52代入 y=12 x+a2-92 得-52=12-1+a2-92，解得 a=3 或 a=-1(舍去)，平
23、移后得抛物线为 y=12 x+32-92 过点(k,0)作 x 轴的垂线 l已知在 l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在 y=12 x+32-92 的对称轴 x=-3 的左侧，y 随 x 的增大而减小，此时原抛物线也是 y 随 x 的增大而减小，k-3；(3)解：由 y=12 x-12-92，设平移后的抛物线为 y=12 x-p2+q，则顶点为 P p,q，顶点为 P p,q在 y=12 x-12-92 上，q=12 p-12-92=12 p2-p-4，平移后的抛物线为 y=12 x-p2+12 p2-p-4，顶点为 P p,12 p2-p-4，原抛物线 y=12 x-12-92，原抛物
24、线的顶点 C 1,-92，对称轴为 x=1，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点 Q，Q 1,p2-2p-72，点 Q、C 在直线 x=1 上，平移后的抛物线顶点 P 在原抛物线顶点 C 的上方，两抛物线的交点 Q 在顶点 P的上方，PCQ 与 CQP 都是锐角，PCQ 是直角三角形，CPQ=90，QC2=PC2+PQ2，p2-2p-72+922=p-12+12 p2-p-4+922+p-12+12 p2-p-4-p2+2p+722化简得p-12 p-3p+1=0，p=1(舍去)，或 p=3 或 p=-1，当 p=3 时，12 p2-p-4=12 32-3-4=-52，当 p=-1 时，1
25、2 -12+1-4=-52，点 P 坐标为 3,-52或-1,-52【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键7(2023湖北宜昌统考模拟预测)如图，过原点的抛物线 y1=ax(x-2n)(a 0,a,n 为常数)与 x 轴交14于另一点 A，B 是线段 OA 的中点，B-4,0，点 M(-3,3)在抛物线 y1上 (1)点 A 的坐标为；(2)C 为 x 轴正半轴上一点，且 CM=CB求线段 BC 的长；线段 CM 与抛物线 y1相交于另一点 D，求点 D 的坐标；(3)将抛物线 y1向右平移(4-
26、t)个单位长度，再向下平移 165 个单位长度得到抛物线 y2，P，Q 是抛物线 y2上两点，T 是抛物线 y2的顶点对于每一个确定的 t 值，求证：矩形 TPNQ 的对角线 PQ 必过一定点 R，并求出此时线段 TR 的长【答案】(1)-8,0(2)BC=5；D-54,2716(3)证明见解析，RT=5【分析】(1)根据中点公式求 C 点坐标即可；(2)设 C x,0，根据 CM=CB，建立方程(x+3)2+9=x+4，求出 C 点坐标即可求 BC；求出直线CM 的解析式为 y=-34 x+34，将 A-8,0代入 y1=ax(x-2n)，求出 n=-4，将 M 点代入 y1=ax(x+8)
27、，求出 a=-15，从而求出抛物线 y1=-15 x(x+8)，直线 CM 与抛物线的交点即为点 D-54,2716；(3)根据平移的性质可求 y2=-15(x+t)2，则 T(-t,0)，设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b，P m,-15(m+t)2，Q n,15(n+t)2当 kx+b=-15(x+t)2时，整理得 x2+(2t+5k)x+5b+t2=0，由根与系数的关系可得 m+n=-2t-5k，mn=5b+t2，过点 P 作 PF x 轴交于 F 点，过 Q 点作 QE x 轴交于 E 点，证明 FPT ETQ，则 PFTE=FTEQ，即15(m+t)2n+t=-t-m15(n+t
28、)2，整理得，(m+t)(n+t)=-25，求出 b=kt-5，所以直线 PQ 的解析式为 y=kx+kt-5=k(x+t)-5，对于每一个确定的 t 值，直线 PQ必经过定点 R(-t,-5)，RT=5【详解】(1)B 是线段 OA 的中点，B-4,0，OA=8，A-8,0，故答案为：-8,0；(2)设 C x,0，CM=CB，15(x+3)2+9=x+4，解得 x=1，BC=5；设直线 CM 的解析式为 y=kx+b，k+b=0-3k+b=3，解得k=-34b=34，直线 CM 的解析式为 y=-34 x+34，将 A-8,0代入 y1=ax(x-2n)，-8a(-8-2n)=0，a 0，
29、-8-2n=0，解得 n=-4，y1=ax(x+8)，将 M 点代入 y1=ax(x+8)，-3a(-3+8)=3，解得 a=-15，抛物线 y1=-15 x(x+8)，当-34 x+34=-15 x(x+8)时，解得 x=-3 或 x=-54，D-54,2716；(3)证明：y1=-15 x(x+8)=-15(x+4)2+165，y2=-15(x+t)2，T(-t,0)，设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b，P m,-15(m+t)2，Q n,15(n+t)2，当 kx+b=-15(x+t)2时，整理得 x2+(2t+5k)x+5b+t2=0，m+n=-2t-5k，mn=5b+t2，过点
30、P 作 PF x 轴交于 F 点，过 Q 点作 QE x 轴交于 E 点，四边形 TPNQ 是矩形，PTQ=90，FTP+ETQ=90，FTP+TPF=90，ETQ=TPF，FPT ETQ，PFTE=FTEQ，即15(m+t)2n+t=-t-m15(n+t)2，整理得，(m+t)(n+t)=-25，16 mn+t(m+n)+t2=-25，b-kt=-5，即 b=kt-5，直线 PQ 的解析式为 y=kx+kt-5=k(x+t)-5，对于每一个确定的 t 值，直线 PQ 必经过定点 R(-t,-5)，RT=5【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性
31、质，一元二次方程根与系数的关系，题型 02二次函数翻折问题二次函数的翻转问题的解题思路：根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。1(2023广东潮州一模)如图，直线 y=-2x+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C，抛物线 y=-x2+bx+c经过 A，C 两点，且 A-1，0(1)求抛物线的解析式(2)P 是抛物线第一象限内的一个动点，过 P 作 PH BC 于 H
32、，求 PH+2HB 的最大值(3)M 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 MB，把线段 MB 沿着直线 BC 翻折，M 的对应点 M 恰好落在抛物线上，求 M 点坐标【答案】(1)y=-x2+2x+3(2)当 t=1 时，PH+2HB 有最大值，最大值为 4 5(3)M 点坐标为 1，17+5 201128或 1，17-5 201128【分析】(1)先求出 C 0，3，再运用待定系数法即可求得答案；(2)过点 P 作 PD y 轴，交 BC 于 D，交 x 轴于 E，过点 H 作 HF PD 于 F，过点 B 作 BG HF 于 G，设P t，-t2+2t+3，则 D t，-2t+3，E t，0
33、，由 PDH BCO 可求得 PH=55-t2+4t，再由 PHF BCO 可得 PF=15-t2+4t，EF=PE-PF=-t2+2t+3-15-t2+4t=-45 t2+65 t+3，再证明BHG CBO，可得 BH=BCOC BG=-2 55t2+3 55t+3 52，进而可得 PH+2HB=-5 t-12+4 5，再运用二次函数的性质即可；17(3)设 M 1，m，M n，-n2+2n+3，由翻折可得 MM 的中点 L n+12，m-n2+2n+32在直线 BC 上，即 m=n2-4n+1，分两种情况：当点 M 在 BC 的上方时，过点 M 作 MR x 轴交抛物线的对称轴于 R，设对
34、称轴交 BC 于 T，利用解直角三角形可得 n=9-4m5，联立可得 m=17+5 201128，即M 1，17+5 201128，当点 M 在 BC 的下方时，同理可得 M 1，17-5 201128【详解】(1)解：直线 y=-2x+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C，当 x=0 时，y=3，当 y=0 时，-2x+3=0，解得：x=32，B 32，0，C 0，3，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A，C 两点，且 A-1，0，-1-b+c=0c=3，解得：b=2c=3，该抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3；(2)解：过点 P 作 PD y 轴，交 BC 于 D，交 x 轴于
35、 E，过点 H 作 HF PD 于 F，过点 B 作 BG HF 于 G，如图 1，设 P t，-t2+2t+3，则 D t，-2t+3，E t，0，PD=-t2+2t+3-2t+3=-t2+4t，B 32，0，C 0，3，OB=32，OC=3，在 RtBCO 中，BC=OB2+OC2=3 52，PH BC，PD y 轴，PHD=BOC=90，PDH=BCO，PDH BCO，PHOB=DHOC=PDBC，DPH=CBO，PH32=DH3=-t2+4t3 52，PH=55-t2+4t，HF PE，PFH=90=BOC，PHF BCO，PFOB=PHBC，即 PF32=55-t2+4t3 52，P
36、F=15-t2+4t，EF=PE-PF=-t2+2t+3-15-t2+4t=-45 t2+65 t+3，BGF=EFG=BEF=90，18 四边形 BEFG 是矩形，BG=EF=-45 t2+65 t+3，BG EF y 轴，HBG=BCO，BGH=BOC=90，BHG CBO，BHBC=BGOC，BH=BCOC BG=3 523-45 t2+65 t+3=-2 55t2+3 55t+3 52，PH+2HB=55-t2+4t+2-2 55t2+3 55t+3 52=-5 t-12+4 5，-5 1，m=17+5 201128，19 M 1，17+5 201128；当点 M 在 BC 的下方时，
37、如图 3，同理可得：m=17-5 201128，M 1，17-5 201128；综上所述，M 点坐标为 1，17+5 201128或 1，17-5 201128【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质，解直角，二次函数的图象和性质，涉及知识点多，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是解此题的关键2(2023江苏南京南师附中新城初中校考二模)定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点-1,-1是函数 y=2x+1 的图象的“等值点”(1)分别判断函数 y=x+2，y=x2-x 的图象上是否存在“
38、等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)设函数 y=3x(x 0)，y=-x+b 的图象的“等值点”分别为点 A，B，过点 B 作 BC x 轴，垂足为 C当 ABC 的面积为 3 时，求 b 的值；(3)若函数 y=x2-2 x m的图象记为 W1，将其沿直线 x=m 翻折后的图象记为 W2，当 W1，W2两部分组成的图象上恰有 2 个“等值点”时，请直接写出 m 的取值范围【答案】(1)函数 y=x2-x 的图象上有两个“等值点”0,0或 2,2；(2)-2 3 或 4 3；(3)当 W1，W2两部分组成的图象上恰有 2 个“等值点”时，m-98 或-1 m
39、0)中，令 x=3x，解得：x=3，A3,3，在函数 y=-x+b 中，令 x=-x+b，解得：x=b2，B b2,b2，BC x 轴，C12 b,0，20 BC=12 b，ABC 的面积为 3，12 12 b 3-12 b=3，当 b 0 时，b2-2 3b-24=0，解得:b=-2 3，当 0 b 2 3 时，b2-2 3b+24=0，=(-2 3)2-4 1 24=-84 0，方程 b2-2 3b+24=0 没有实数根，当 b 2 3 时，b2-2 3b-24=0，解得：b=-2 3 或 b=4 3，综上所述，b 的值为-2 3 或 4 3；(3)令 x=x2-2，解得：x1=-1，x2
40、=2，函数 y=x2-2 的图象上有两个“等值点”-1,-1或 2,2，当 m-1 时，W1，W2两部分组成的图象上必有 2 个“等值点”-1,-1或 2,2，W1：y=x2-2 x m，W2：y=x-2m2-2(x m)，令 x=x-2m2-2，整理得：x2-4m+1x+4m2-2=0，W2的图象上不存在“等值点”，0，4m+12-4 4m2-2 0，m-98，当 m=-1 时，有 3 个“等值点”-2,-2，-1,-1，2,2，当-1 m 2 时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当 W1，W2两部分组成的图象上恰有 2 个“等值点”时，m-98 或-1 m 2【点睛】
41、此题考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性，掌握计算方法，结合一次函数、反比例函数、二次函数的相关知识是解题的关键3(2023江苏无锡无锡市民办辅仁中学校考一模)如图，将二次函数 y=x2+2x+1 的图象沿 x 轴翻折，然后向右平移 1 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度得到二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，函数 y=x2+2x+1 的图象的顶点为 A，函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点为 B，和 x 轴的交点为 C，D(点 D 位于点C 左侧)21 (1)求函数 y=ax2+bx+c 的解析式；(2)从 A，C，D 三点中任取两点和点 B 构造三角形，求
42、构造的三角形是等腰三角形的概率；(3)点 M 是线段 BC 上的动点，N 是 ABC 三边上的动点，是否存在以 AM 为斜边的 RtAMN，使 AMN的面积为 ABC 面积的 13？若存在，求 tanMAN 的值，请说明理由【答案】(1)y=-x2+4；(2)13；(3)存在，tanMAN 的值为 1 或 4 或 56，理由见解析【分析】(1)利用配方法得到 y=x2+2x+1=(x+1)2，然后根据抛物线的变换规律求解；(2)利用顶点式 y=(x+1)2得到 A(-1,0)，解方程-x2+4=0 得 D(-2,0)，C(2,0)易得 B(0,4)，列举出所有的三角形，再计算出 AC=3，AD
43、=1，CD=4，AB=17，BC=2 5，BD=2 5，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；(3)易得 BC 的解析式为 y=-2x+4，SABC=6，M 点的坐标为 m,-2m+40 m 2，讨论：当 N 点在 AC 上，如图 1，利用面积公式得到 12(m+1)(-2m+4)=2，解得 m1=0，m2=1，当 m=0 时，求出 AN=1，MN=4，再利用正切定义计算 tanMAC 的值；当 m=1 时，计算出 AN=2，MN=2，再利用正切定义计算 tanMAC 的值；当 N 点在 BC 上，如图 2，先利用面积法计算出 AN=6 55，再根据三角形面积公式计算出 MN=2 53，
44、然后利用正切定义计算 tanMAC 的值；当 N 点在 AB 上，如图 3，作 AH BC于 H，设 AN=t，则 BN=17-t，由得 AH=6 55，利用勾股定理可计算出 BH=7 55，证明 BNM BHA，利用相似比可得到 MN=6 17-6t7，根据此方程没有实数解可判断点 N 在 AB 上不符合条件，从而得到 tanMAN 的值为 1 或 4 或 59【详解】(1)解：y=x2+2x+1=(x+1)2的图象沿 x 轴翻折，得 y=-(x+1)2把 y=-(x+1)2向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得 y=-x2+4，所求的函数 y=ax2+bx+c 的解析式为 y=-
45、x2+4；(2)解：y=x2+2x+1=(x+1)2，A(-1,0)，当 y=0 时，-x2+4=0，解得 x=2，则 D(-2,0)，C(2,0)；当 x=0 时，y=-x2+4=4，则 B(0,4)，22从点 A，C，D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形的有：ACB，ADB，CDB，AC=3，AD=1，CD=4，AB=17，BC=2 5，BD=2 5，BCD 为等腰三角形，构造的三角形是等腰三角形的概率=13；(3)解：存在 B(0,4)，C(2,0)设 BC 解析式为 y=kx+4，则有 2k+4=0，k=-2，BC 的解析式为 y=-2x+4，SABC=12 AC OB=12 3
46、 4=6，设 M 点的坐标为 m,-2m+40 m 2，当 N 点在 AC 上，如图 1，AMN 的面积为 ABC 面积的 13，12(m+1)(-2m+4)=2，解得 m1=0，m2=1，当 m=0 时，M 点的坐标为(0,4)，N(0,0)，则 AN=1，MN=4，tanMAC=MNAN=41=4；当 m=1 时，M 点的坐标为(1,2)，N(1,0)，则 AN=2，MN=2，tanMAC=MNAN=22=1；当 N 点在 BC 上，如图 2，BC=22+42=2 5，12 BC AN=12 AC BC，解得 AN=3 42 5=6 55，SAMN=12 AN MN=2，MN=4AN=2
47、53，tanMAN=MNAN=2 536 55=59；当 N 点在 AB 上，如图 3，作 AH BC 于 H，设 AN=t，则 BN=17-t，由得 AH=6 55，则 BH=172-6 552=7 55，NBC=HBA，BNM BHA，23 MNAH=BNBH，即 MN6 55=17-t7 55，MN=6 17-6t7，12 AN MN=2，即 12 t 6 17-6t7=2，整理得 3t2-3 17t+14=0，=-3 172-4 3 14=-15 0，方程没有实数解，点 N 在 AB 上不符合条件，综上所述，tanMAN 的值为 1 或 4 或 59【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练
48、掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题4(2023山东淄博统考中考真题)如图，一条抛物线 y=ax2+bx 经过 OAB 的三个顶点，其中 O 为坐标原点，点 A 3,-3，点 B 在第一象限内，对称轴是直线 x=94，且 OAB 的面积为 18 (1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点 B 的坐标；(3)设 C 为线段 AB 的中点，P 为直线 OB 上的一个动点，连接 AP，CP，将
49、 ACP 沿 CP 翻折，点 A 的对应点为 A1问是否存在点 P，使得以 A1，P，C，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=23 x2-3x(2)6,6(3)存在，P 点的坐标为32，32或-32，-32或3 52+6，3 52+6或-3 52+6，-3 52+6【分析】(1)根据对称轴为直线 x=-b2a=94，将点 A 代入，进而待定系数法求解析式即可求解；(2)设 B m,23 m2-3m，过点 A 作 EF y 轴交于 E 点，过 B 点作 BF EF 交于 F 点，继而表示出 OAB的面积，根据 OAB 的
50、面积为 18，解方程，即可求解(3)先得出直线 OB 的解析式为 y=x，设 P t,t，当 BP 为平行四边形的对角线时，可得 AP=AC，当 BC为平行四边形的对角线时，BP=AC，进而建立方程，得出点 P 的坐标，即可求解24【详解】(1)解：对称轴为直线 x=-b2a=94，b=-92 a，将点 A 3,-3代入 y=ax2+bx 得，9a+3b=-3，联立得，a=23b=-3，解析式为 y=23 x2-3x；(2)设 B m,23 m2-3m，如图所示，过点 A 作 EF y 轴交于 E 点，过 B 点作 BF EF 交于 F 点，F m,-3，E 0,-3，则 OE=3,AE=3,
51、AF=m-3,BF=23 m2-3m+3，SAOB=12 m 23 m2-3m+3+3-12 3 3-12 m-323 m2-3m+3=18解得：m=6 或 m=-3(舍去)，(3)存在点 P，使得以 A1，P，C，B 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：A 3,-3,B 6,6，C92,32，设直线 OB 的解析式为 y=kx，6k=6，解得：k=1，直线 OB 的解析式为 y=x，设 P t,t，如图所示，当 BP 为平行四边形的对角线时，BC A1P，BC=A1P，AC=BC，AC=A1P，由对称性可知 AC=A1C，AP=A1P，AP=AC，t-32+t+32=3-922+-3-32
52、2解得：t=3225 P 点的坐标为32，32或-32，-32如图 3，当 BC 为平行四边形的对角线时，BP A1C，BP=A1C，由对称性可知，AC=A1C，BP=AC，6-t2+6-t2=3-922+-3-322，解得：t=3 52+6 或 t=-3 52+6，P 点的坐标为3 52+6，3 52+6或-3 52+6，-3 52+6综上所述，P 点的坐标为32，32或-32，-32或3 52+6，3 52+6或-3 52+6，-3 52+6【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键5(2023辽宁鞍山校考一模)抛物线与坐
53、标轴交于 A-1,0，B 4,0，C 0,2 (1)求抛物线的解析式；(2)点 D 是 x 轴上的一点，过点 D 作 EF AC，交抛物线于 E、F，当 EF=3AC 时，求出点 D 的坐标；(3)点 D 是 x 轴上的一点，过点 D 作 DE AC，交线段 BC 于 E，将 DEB 沿 DE 翻折，得到 DEB，若DEB 与 ABC 重合部分的面积为 S，点 D 的横坐标为 m，直接写出 S 与 m 的函数关系式并写出取值范围【答案】(1)y=-12 x2+32 x+2(2)-12,0(3)S=15 4-m232 m 415 m+17-3m-1 m 32【分析】(1)运用待定系数法求抛物线的
54、解析式，设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把点 A-1,0，B 4,0，C 0,2代入，求出 a，b，c 的值，即可得到抛物线的解析；(2)过点 E 作 EK y 轴，过点 F 作 FK x 轴，两平行线 EK，FK 相交于点 K，设点 D 的坐标为 t,0，由点A-1,0，C 0,2可得直线 AC 的解析式为 y=2x+2，由 EF AC 与 D t,0可得直线 EF 的函数解析式为 y=2x-2t，由-12 x2+32 x+2=2x-2t 得点 E 的横坐标为 xE=-1+16t+172，点 F 的横坐标为 xF=-1-16t+172，易证 ACO FEK，根据相似三角形对应边成比
55、例可得 FK=3，xE-xF=3，代入即可求出 t 的值，从而得到点 D 的坐标；(3)根据点 A-1,0，B 4,0，C 0,2，可得 AB=5，AC=5，BC=2 5，因此证得 ABC 是直角三角26形，ACB=90，SABC=12 AC BC=5，由点 D 的横坐标为 m 得到 BD=4-m，根据 DE AC 可得DBE ABC，根据相似三角形的性质可得 SDBESABC=DBAB2，从而求得 SDEB=SDEB=15 4-m2分两种情况讨论：若 32 m 4，即点 B 在线段 BC 上，DEB 与 ABC 重合部分为 DEB，其面积 S=SDEB=15 4-m2；当-1 m 32 时，
56、点 B 在线段 BC 外，设 AC 与 DB 的交点为 R，此时，若 DEB与 ABC 重合部分为四边形 DECR根据 DBE ABC，可得 BE=DB BCAB=2 554-m，因此 BC=BE+BE-BC=6 5-4 5m5，易证 RCB ACB，可得 SRCB=BCBC2 SACB=15 3-2m2，因此 S四边形 DECR=SDEB-SRCB=15 m+17-3m，即 DEB 与 ABC 重合部分面积 S=15 m+17-3m【详解】(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，该抛物线过点 A-1,0，B 4,0，C 0,2，a-b+c=016a+4b+c=0c=2，解得a=-12
57、b=32c=2 抛物线的解析式为 y=-12 x2+32 x+2(2)过点 E 作 EK y 轴，过点 F 作 FK x 轴，两平行线 EK，FK 相交于点 K，设点 D 的坐标为 t,0，由点 A-1,0，C 0,2可得直线 AC 的解析式为 y=2x+2，EF AC，设直线 EF 的函数解析式为 y=2x+n，把点 D t,0代入，得 2t+n=0，n=-2t，直线 EF 的函数解析式为 y=2x-2t，由-12 x2+32 x+2=2x-2t 得点 E 的横坐标为 xE=-1+16t+172，点 F 的横坐标为 xF=-1-16t+172，AC EF，EK y 轴，EFK=CTE=ACO
58、，K=AOC=90，ACO FEK，ACEF=AOFK，EF=3AC，OA=1，FK=3，xE-xF=3，即-1+16t+172-1-16t+172=3，解得 t=-12，点 D 的坐标为-12,027(3)A-1,0，B 4,0，C 0,2，AB=-1-4=5，AC=-1-02+0-22=5，BC=4-02+0-22=2 5 AC2+BC2=AB2，ABC 是直角三角形，ACB=90，SABC=12 AC BC=12 5 2 5=5 点 D 的横坐标为 m，BD=4-m，DE AC，DBE ABC SDBESABC=DBAB2=4-m52=4-m225，SDBE=15 4-m2，将 DEB
59、沿 DE 翻折，得到 DEB，SDEB=SDEB=15 4-m2 DE AC，DEB=ACB=90，将 DEB 沿 DE 翻折，得到 DEB，DEB=DEB=90，DEB+DEB=180，点 B 在射线 BC 上若 32 m 4，即点 B 在线段 BC 上，如图此时，DEB 与 ABC 重合部分为 DEB，其面积 S=SDEB=15 4-m2当-1 m 32 时，点 B 在线段 BC 外，如图，设 AC 与 DB 的交点为 R，此时，若 DEB 与 ABC 重合部分为四边形 DECR DBE ABC，BEBC=DBAB，BE=DB BCAB=4-m 2 55=2 554-m，BE=BE=2 5
60、54-m，28BC=BE+BE-BC=2 554-m+2 554-m-2 5=6 5-4 5m5，ACB=90，ACB=180-ACB=90，ACB=ACB 由折叠可得 B=ACB，RCB ACB，SRCBSACB=BCBC2，SRCB=BCBC2 SACB=6 5-4 5m52 52 5=15 3-2m2，S四边形 DECR=SDEB-SRCB=15 4-m2-15 3-2m2=15 m+17-3m，即 DEB 与 ABC 重合部分面积 S=15 m+17-3m综上所述，S 与 m 的函数关系式为S=15 4-m232 m 415 m+17-3m-1 m 32【点睛】本题考查待定系数法求二次
61、函数解析式，二次函数与三角形，三角形相似的判定与性质，勾股定理及其逆定理，掌握分类讨论思想，熟练运用各个知识是解题的关键题型 03二次函数对称问题二次函数图象的翻折与旋转变换前变换方式变换后口诀y=a(x-h)2+k绕顶点旋转 180y=-a(x-h)2+ka 变号，h、k 均不变绕原点旋转 180y=-a(x+h)2-ka、h、k 均变号沿 x 轴翻折y=-a(x-h)2-ka、k 变号，h 不变沿 y 轴翻折y=a(x+h)2+ka、h 不变，h 变号1(2023湖南岳阳统考二模)在平面直角坐标系中，将抛物线 C1：y=2x2-(m+1)x+m 绕原点旋转180 后得到抛物线 C2，在抛物
62、线 C2上，当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是()A.m 5B.m 5C.m-5D.m-5【答案】D【分析】根据题意先求得旋转后的抛物线的解析式，然后确定旋转后的抛物线的开口方向和对称轴，最后根据在旋转后的抛物线上，当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大，可得到关于 m 的不等式，从而求解得 m 的取值范围【详解】由题意得旋转后的抛物线 C2的解析式为：y=-2x2-(m+1)x-m，29 抛物线 C2的开口向下，对称轴为直线 x=-m+14，在抛物线 C2上，当 x 32 时，若最高点与最低点的纵坐标的差为 154，直接写出 m 的值【答案】(1)y=x2-6x
63、+5；点 P 的坐标为 3,-430(2)y=-x-32+4；y 的取值范围为 74 y 4；m 的值为 2+152或 72 或 2+312【分析】(1)两点式求出函数解析式，进而求出点 P 的坐标；(2)顶点式，写出函数解析式即可；求出最大值和最小值，即可得出 y 的取值范围；分 32 m 2，2 m 3，3 m 2+3，2+3 5 五种情况进行讨论求解【详解】(1)解：抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 1,0，B 5,0，y=x-1x-5=x2-6x+5，y=x2-6x+5=x-32-4，点 P 的坐标为 3,-4(2)折叠后顶点变为：3,4，点 A，B 之间的函数图象所对
64、应的函数解析式为 y=-x-32+4；故答案为：y=-x-32+4 32 x 4，顶点在 AB 之间的图象上，抛物线开口向下，对称轴为直线 x=3，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，当 x=3 时，y最大值=4；当 x=32 时，y最小值=74，y 的取值范围为 74 y 4 m 32，m+2 72 3，当 m+2 2 3-m，即：m 2 时，此时：32 m 2，如图：由题意，得：4-m-32+4=154，解得：m=3 152(舍掉)；当 2 3 时，m+2 5，当-m-32+4=m+22-6 m+2+5 时，解得：m1=2+3,m1=2-3，31 当 3 m 2+3 时，如图：由题意，得
65、：-m-32+4-0=154，解得：m=72 或 m=52(舍掉)，当 2+3 5 时，如图：则：m+22-6 m+2+5-m2+6m-5=154，解得：m=4716(舍去)；32综上：m 的值为 2+152或 72 或 2+312【点睛】本题考查二次函数的综合应用正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键4(2023四川德阳统考中考真题)已知：在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于点 A(-4,0)，B(2,0)，与 y 轴交于点 C(0,-4)(1)求抛物线的解析式；(2)如图 1，如果把抛物线 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折
66、180，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象当平面内的直线 y=kx+6 与新图象有三个公共点时，求 k 的值；(3)如图 2，如果把直线 AB 沿 y 轴向上平移至经过点 D，与抛物线的交点分别是 E，F，直线 BC 交 EF 于点H，过点 F 作 FG CH 于点 G，若 DFHG=2 5求点 F 的坐标【答案】(1)y=12 x2+x-4(2)1 或 32(3)4,8【详解】(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，C(0,-4)，c=-4，y=ax2+bx-4，把 A(-4,0)，B(2,0)代入 y=ax2+bx+c，得：16a-4b-4=04a+2b-4=0，解得：a=1
67、2b=1，抛物线的解析式为 y=12 x2+x-4(2)直线表达式 y=kx+6，直线经过定点 0,6，将过点 0,6的直线旋转观察和新图象的公共点情况 把抛物线 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折 180，抛物线的解析式为 y=12 x2+x-4，新图象表达式为：-4 x 0交 y 轴于点 C，过点 C 作 x 轴的平行线交该抛物线于点 D (1)求点 C，D 的坐标；(2)当 a=13 时，如图 1，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，点 P 为直线 AD 上方抛物线上一点，将直线 PD 沿直线 AD 翻折，交 x 轴于点 M(4,0)，求点 P 的坐标；(3)坐
68、标平面内有两点 E1a,a+1,F 5,a+1，以线段 EF 为边向上作正方形 EFGH若 a=1，求正方形 EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52 时，求 a 的值35【答案】(1)C 0，2，D 5，2(2)P 32，154(3)1，6，4，6，5，2；a=0.5【分析】(1)先求出 C 0，2，再求出抛物线对称轴，根据题意可知 C、D 关于抛物线对称轴对称，据此求出点 D 的坐标即可；(2)先求出 A-1，0，如图，设 DP 上与点 M 关于直线 AD 对称的点为 N m，n，由轴对称的性质可得
69、AN=AM，DN=DM，利用勾股定理建立方程组m+12+n2=4-12m-52+n-22=5-42+22，解得 m=3 或 m=4(舍去)，则 N 3，3，求出直线 DP 的解析式为 y=-12 x+92，然后联立y=-12 x+92y=-13 x2+53 x+2，解得x=32y=154或x=5y=2，则 P 32，154；(3)分图 3-1，图 3-2，图 3-3 三种情况，利用到 x 轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可【详解】(1)解：在 y=-ax2+5ax+2 a 0中，当 x=0 时，y=2，C 0，2，抛物线解析式为 y=-ax2+5ax+2 a 0，抛物线
70、对称轴为直线 x=-5a-2a=52，过点 C 作 x 轴的平行线交该抛物线于点 D，C、D 关于抛物线对称轴对称，D 5，2；(2)解：当 a=13 时，抛物线解析式为 y=-13 x2+53 x+2，当 y=0，即-13 x2+53 x+2=0，解得 x=-1 或 x=6，A-1，0；如图，设 DP 上与点 M 关于直线 AD 对称的点为 N m，n，由轴对称的性质可得 AN=AM，DN=DM，m+12+n2=4-12m-52+n-22=5-42+22，解得：3m+n=12，即 n=12-3m m2+2m+1+144-72m+9m2=25，m2-7m+12=0，解得 m=3 或 m=4(舍
71、去)，n=12-3m=3，N 3，3，设直线 DP 的解析式为 y=kx+b1，3k+b1=35k+b1=2，k=-12b1=92，36 直线 DP 的解析式为 y=-12 x+92，联立y=-12 x+92y=-13 x2+53 x+2，解得x=32y=154或 x=5y=2 P 32，154；(3)解：当 a=1 时，抛物线解析式为 y=-x2+5x+2，E 1，2，F 5，2，EH=EF=FG=4，H 1，6，G 5，6，当 x=1 时，y=-12+5 1+2=6，抛物线 y=-x2+5x+2 恰好经过 H 1，6；抛物线对称轴为直线 x=52，由对称性可知抛物线经过 4，6，点 4，6
72、时抛物线与正方形的一个交点，又 点 F 与点 D 重合，抛物线也经过点 F 5，2；综上所述，正方形 EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标为 1，6，4，6，5，2；如图 3-1 所示，当抛物线与 GH、GF 分别交于 T、D，当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52，点 T 的纵坐标为 2+2.5=4.5，5-1a+a+1=4.5，a2+1.5a-1=0，解得 a=-2(舍去)或 a=0.5；如图 3-2 所示，当抛物线与 GH、EF 分别交于 T、S，当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为
73、52，37 5-1a=2.5，解得 a=0.4(舍去，因为此时点 F 在点 D 下方)如图 3-3 所示，当抛物线与 EH、EF 分别交于 T、S，当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52，-a 1a2+5a 1a+2=a+1+2.5，7-1a=a+3.5，a2-3.5a+1=0，解得 a=7+334或 a=7-334(舍去)；当 x=52 时，y=-ax2+5ax+2=6.25a+2，当 a=7+334时，6.25a+2 7-1a，a=7+334不符合题意；综上所述，a=0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方
74、形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键6(2023河南新乡统考二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2-2ax+a-1 经过原点(1)求抛物线的解析式及顶点坐标(2)将该抛物线在 y 轴右侧的部分记作 W，将 W 绕原点 O 顺时针旋转 180 得到 W，W 与 W 组成一个新的函数图像，记作 G点 M，N 为图像 G 上两点(点 M 在点 N 的左侧)，且到 y 轴的距离分别为 2 个单位长度和 3 个单位长度，点 Q 为图像 G 上点 M，N 之间(含点 M，N)的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围；38若点(m,y1)，(m+1,y2)在图
75、像 G 上，且 y1 y2，请直接写出 m 的取值范围【答案】(1)y=x2-2x，(1,-1)(2)当点 M 的坐标为(-2,0)，点 N 的坐标为(3,3)时，点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围为-1 yQ 3；当点M 的坐标为(2,0)，点 N 的坐标为(3,3)时，点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围为 0 yQ 3；m 12【分析】(1)先根据抛物线经过原点，可求得 a，进而求得抛物线解析式；然后再化成顶点式即可确定顶点坐标；(2)先画出函数图像，再根据点 M 的位置解答即可；分点在抛物线当点在抛物线 W 和 W 两种情况分别求解即可【详解】(1)解：抛物线 y=ax2-2ax+a-1 经
76、过原点 0=a-1，即 a=1.抛物线的解析式为 y=x2-2x.y=x2-2x=(x-1)2-1 抛物线的顶点坐标为(1,-1)(2)解：根据题意，画出图像 G，如图所示：点 M，N 为图像 G 上两点，且到 y 轴的距离分别为 2 个单位长度和 3 个单位长度，点 M 的坐标为(-2,0)或(2,0)，点 N 的坐标为(3,3)或(-3,-3).又 点 M 在点 N 的左侧，点 M 的坐标为(-2,0)或(2,0)，点 N 的坐标为(3,3).当点 M 的坐标为(-2,0)，点 N 的坐标为(3,3)时，点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围为-1 yQ 3.当点 M 的坐标为(2,0)，点 N
77、 的坐标为(3,3)时，点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围为 0 yQ 3当两点均在 y 轴右侧时，即点在抛物线 y=x2-2x 上 点(m,y1)，(m+1,y2)在图像 G 上，且 y1 m2-2m，解得：m 12当两点均在 y 轴左侧时，将 W 绕原点 O 顺时针旋转 180 得到 W 抛物线 W 的解析式为 y=-x2-2x 点(m,y1)，(m+1,y2)在图像 G 上，且 y1-m2-2m，解得：m-32 综上，出 m 的取值范围 m 12【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、求抛物线的顶点坐标、二次函数的增减性等知识点，灵活运用所学知识成为解答本题的关键7(2023湖南永州统考二
78、模)在平面直角坐标系中，二次函数 y=-x2+2mx-m2+9 的图象与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)(1)求 A、B 两点的坐标(用含 m 的式子表示)；(2)将该二次函数图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象若当-3 x-1 时，这个新函数 G 的函数值 y 随 x 的增大而减小，结合函数图象，求 m 的取值范围；(3)已知直线 l：y=1，点 C 在二次函数 y=-x2+2mx-m2+9 的图象上，点 C 的横坐标为 2m，二次函数 y=39-x2+2mx-m2+9 的图象在 C、B 之间的部分记为 M(包括点 C，B)，图
79、象 M 上恰有一个点到直线 l 的距离为 2，直接写出 m 的取值范围【答案】(1)A m-3,0，B m+3,0(2)m 2 或-4 m-3(3)-6 10【分析】(1)当 y=0 时，-x2+2mx-m2+9=0，解方程即可求解；(2)画出函数图象，当-4 m-3 时，新函数 G 的函数值 y 随 x 的增大而减小；当 m 2 时，新函数 G 的函数值 y 随 x 的增大而减小；(3)由题可知，到直线 y=1 的距离为 2 的点在直线 y=-1 和 y=3 上，分别求出 C 2m，9-m2，B m+3，0，画出函数图象，分当 C 点在 B 点左侧，同时 C 点在直线 y=3 上方时；当 C
80、 点在 B 点右侧，且在 y=-1 的下方时，两种情况讨论【详解】(1)解：二次函数 y=-x2+2mx-m2+9 的图象与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)当 y=0 时，-x2+2mx-m2+9=0即 x-m2=9解得：x1=m+3,x2=m-3 A m-3,0，B m+3,0(2)解：当 x=-1 时，-1-2m-m2+9=0，解得 m=2 或 m=-4，y=-x2+2mx-m2+9=-x-m2+9，抛物线的对称轴为直线 x=m，如图 1，当-4 m-3 时，新函数 G 的函数值 y 随 x 的增大而减小；如图 2，当 m 2 时，新函数 G 的函数值 y 随 x 的
81、增大而减小；40 综上所述：m 2 或-4 m-3 时，新函数 G 的函数值 y 随 x 的增大而减小；(3)解：由题可知，到直线 y=1 的距离为 2 的点在直线 y=-1 和 y=3 上，当 x=2m 时，y=9-m2，C 2m，9-m2，如图当 C 点在 B 点左侧，同时 C 点在直线 y=3 上方时，都符合题意，如图所示，当 C 2m，9-m2在 y=3 上时，9-m2=3解得：m=6 或 m=-6-6 m 6如图所示，当 C 点在 y=-1 上或者 y=-1 的下方时，且在对称轴的右侧时，9-m2=-1解得：m=10 或 m=-10(舍去)综上所述，-6 m 6 或 m 10 时，图
82、象 M 上恰有一个点到直线 l 距离为 2；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的41关键8(2023河北统考二模)如图，函数 y1=-a x+12+3 x 0的图象过原点，将其沿 y 轴翻折，得到函数 y2的图象，把函数 y1与 y2的图象合并后称为函数 L 的图象.(1)a 的值为；函数 y2的解析式为(注明 x 的取值范围)；(2)对于函数 L，当函数值 y 随 x 的增大而减小时，x 的取值范围是；(3)当直线 y=x+b 与函数 L 的图象有 3 个公共点时，求 b 的值.【答案】(1)3，y2=-3 x-12+3 x 0；(2
83、)-1 x 1；(3)b=0 或 2512【分析】(1)根据函数 y1=-a x+12+3 x 0的图象过原点，即可求出 a 的值，求出函数 y1的解析式，求出抛物线 y1对称轴，顶点坐标；令-3 x+12+3=0，解出 x，把点 2,0代入 y2=a x-12+3，即可求出 y2的解析式，即可；(2)根据函数图象的增减性，即可；(3)结合图象，b=0 时，直线与函数 L 有三个公共点，当直线与抛物线 y2=-3 x-12+3 相切时，直线与函数 L 有三个公共点，结合图象，确定有 3 个公共点的条件，即可【详解】(1)函数 y1=-a x+12+3 x 0的图象过原点，0=-a 0+12+3
84、，a=3；y1=-3 x+12+3 对称轴 x=-1，抛物线的顶点为：-1,3，令 0=-3 x+12+3，整理得：x+12=1，解得：x1=0，x2=-2；抛物线 y1=-3 x+12+3 x 0与 x 轴的交点为：0,0，-2,0，函数 y1=-3 x+12+3 沿 y 轴翻折，得到函数 y2的图象，函数 y2的图象与 x 轴的交点为：0,0，2,0，顶点坐标为：1,3，y2=a x-12+3，把 2,0代入函数 y2中，得 0=a 2-12+3，a=-3，y2=-3 x-12+3 x 0，抛物线 y2的解析式为：y2=-3 x-12+3 x 0(2)由函数图象可知，y1的对称轴为：直线
85、x=-1；y2的对称轴为：直线 x=1，在 y1=-3 x+12+3 x 0中，当-1 x 1 时(即 F 的右侧)，y 随 x 的增大而减小，函数 L，当函数值 y 随 x 的增大而减小时，x 的取值范围为：-1 x 1 (3)当 b=0 时，y=x 与函数 L 有三个交点，y=x+b 与 y=x 平行，当直线 y=x+b 与抛物线 y2=-3 x-12+3 x 0相切时，直线 y=x+b 与函数 L 也有 3 个交点，-3 x-12+3=x+b，=-52-4 3 b=0，解得：b=2512；直线 y=x+b 与函数 L 的图象有 3 个公共点时，b 的值为：b=0 或 b=2512【点睛】
86、本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，函数的平移，二次函数和一次函数的交点问题9(2023江苏苏州统考一模)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a 0)交 x 轴于A 1，0、B 3，0两点，交 y 轴于 C 0，3，将该抛物线位于直线 y=m(m 为常数，m 0)下方的部分沿直线 y=m 翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像 W”(1)求该抛物线的解析式；(2)若 m=0 时，直线 y=x+n 与图像 W 有三个交点，求 n 的值；(3)若直线 y=x 与图像 W 有四个交点，直接写出 m 的取值范围【答案】(1)抛物线的解析式为 y=x
87、2-4x+3；(2)n 的值为-1 或-34；(3)38 m 0，解得 m 38，当 x=y 时，有 x=x2-4x+3，解得 x=5 132，故 m 5-132，即 38 m 5-132【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、不等式的应用等，其中(2)、(3)，要注意分类求解，避免遗漏题型 04二次函数旋转问题1(2023安徽校联考模拟预测)如图，已知抛物线 y=ax2+bx-3 与 x 轴交于 A-3,0，B 1,0两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴为直线 l，点 P 是直线 l 上一点44 (1)求抛物线的表达式；(2)求 PBC 周长的最小值；(3)将线段 PC
88、 绕点 P 旋转 90，得到线段 PQ，点 C 的对应点为点 Q，当点 Q 在抛物线上时，求点 Q 的坐标【答案】(1)y=x2+2x-3(2)3 2+10(3)点 Q 的坐标为-2,-3和 1,0【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)因为 BC 为定值，所以当 PB+PC 最小时，PBCPBC 的周长最小如图 1 所示，连接 AC 交 l 于点 P，由轴对称性质可知，此点 P 即为所求；(3)分点 Q 在直线 l 的左侧和右侧，构造全等三角形即可得出结论【详解】(1)由题意可知：9a-3b-3=0a+b-3=0，解得：a=1b=2，抛物线的解析式为：y=x2+2x-3(2)y
89、=x2+2x-3，C 0,-3 PBC 的周长为：PB+PC+BC，BC 是定值，当 PB+PC 最小时，PBC 的周长最小 如图 1 所示，点 A、B 关于对称轴 l 对称，连接 AC 交 l 于点 P，则点 P 为所求的点 AP=BP，PBC 周长的最小值是：PB+PC+BC=AC+BC A-3,0，B 1,0，C 0,-3，AC=3 2，BC=10 PBC 周长的最小值是：3 2+10；(3)如图 2，当点 Q 在直线 l 左侧时，抛物线 y=ax2+bx-3 与 x 轴交于 A-3,0，B 1,0两点，对称轴为直线 x=-3+12=-1，将线段 PC 绕点 P 旋转 90，得到线段 P
90、Q，PQ=PC，QPC=90，C 与 Q 关于直线 l 对称，45 PCQ=45，PD=CD=1，C 0,-3，Q-2,-3；如图 3，当点 Q 在直线 l 的右侧时，过点 Q 作 OF l 于 F，CE l 于 E，由旋转知，PQ=PC，CPQ=90，CPE+QPF=90，CPE+PCE=90，PPF=PCE，PFQ CEP AAS，PF=CE=1，PE=QF，设 P-1,m，则 PE=QF=3+m，点 Q 的坐标为 2+m,m+1，代入 y=x2-2x-3 中，解得，m=-1 或 m=-4(舍)，Q 的坐标为 1,0，综上，点 Q 的坐标为-2,-3和 1,0【点睛】本题是二次函数压轴题，
91、综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形周长计算、轴对称-最短路线等知识点，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解本题的关键2(2023辽宁沈阳统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=13 x2+bx+c 的图象经过点 A 0,2，与 x 轴的交点为点 B3,0和点 C (1)求这个二次函数的表达式；(2)点 E，G 在 y 轴正半轴上，OG=2OE，点 D 在线段 OC 上，OD=3OE以线段 OD，OE 为邻边作矩形 ODFE，连接 GD，设 OE=a连接 FC，当 GOD 与 FDC 相似时，求 a 的值；当点 D 与点 C 重合时，将线段 GD 绕点 G 按逆时针方
92、向旋转 60 后得到线段 GH，连接 FH，FG，将GFH 绕点 F 按顺时针方向旋转(0 180)后得到 GFH，点 G，H 的对应点分别为 G、H，连接DE当 GFH 的边与线段 DE 垂直时，请直接写出点 H 的横坐标【答案】(1)y=13 x2-3x+2(2)43 或 65；2 3+3 或 2 3+3 77或3【分析】(1)利用待定系数法解答即可；46(2)利用已知条件用含 a 的代数式表示出点 E，D，F，G 的坐标，进而得到线段 CD 的长度，利用分类讨论的思想方法和相似三角形的性质，列出关于 a 的方程，解方程即可得出结论；利用已知条件，点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，旋
93、转的性质，全等三角形的判定与性质求得FH=OD=2 3，GOD=GFH=90 和 GH 的长，利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答利用旋转的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得相应线段的长度即可得出结论；【详解】(1)二次函数 y=13 x2+bx+c 的图象经过点 A 0,2，与 x 轴的交点为点 B3,0，c=2,1+3b+2=0解得：b=-3c=2 此抛物线的解析式为 y=13 x2-3x+2(2)令 y=0，则 13 x2-3x+2=0解得：x=3 或 x=2 3，C(2 3,0)OC=2 3 OE=a,OG=2OE,OD=3OE,OG=2a,OD=3a 四边形 ODFE
94、为矩形，EF=OD=3a,FD=OE=a E(0,a),D(3a,0),F(3a,a),G(0,2a)CD=OC-OD=2 3-3a当 GOD FDC 时，OGOD=FDCD 2a3a=a2 3-3a a=43当 GOD CDF 时，OGOD=CDFD 2a3a=2 3-3aa a=65综上，当 GOD 与 FDC 相似时，a 的值为 43 或 65；点 D 与点 C 重合，OD=OC=2 3 OE=2,OG=2OE=4,EF=OD=2 3,DF=OE=2 EG=OE=2 EG=DF=2,EG DF,四边形 GEDF 为平行四边形，47 FG=DE=OE 2+OD2=22+(2 3)2=4,G
95、FE=30,EGF=60,DGH=60,EGF=DGH,OGD=FGH.在 GOD 和 GFH 中，GO=GF=4OGD=FGH,GD=GH GOD GFH(SAS),FH=OD=2 3,GOD=GFH=90.GH=GF 2+FH 2=42+(2 3)2=2 7.、当 GF 所在直线与 DE 垂直时，如图，GFH=90,GF DE,GFH=90,G，F，H 三点在一条直线上，GH=GF+FH=FG+FH=4+2 3.过点 H 作 HK y 轴于点 K，则 HK FE KHG=EFG=30,HK=HG cos30=32 (4+2 3)=2 3+3,此时点 H 的横坐标为 2 3+3当 GH 所在
96、直线与 DE 垂直时，如图，GF DE，GH GF，设 GF 的延长线交 GH 于点 M，过点 M 作 MP EF，交 EF 的延长线于点 P，过点 H 作 HN MP，交PM 的延长线于点 N，则 HN PF x 轴，PFM=EFG=30 SFGH=12 GH FM=12 FH FG，4 2 3=2 7FM，FM=4 217 FP=FM cos30=4 21732=6 77，PE=PF+EF=2 3+6 77 HM=FH2-FM 2=6 77，HN=HM sin30=3 77，此时点 H 的横坐标为 PE-HN=2 3+6 77-3 77=2 3+3 77；当 FH 所在直线与 DE 垂直时
97、，如图，HFG=90，GF DE，48 GFH=90，H，F，H 三点在一条直线上，则 HFD=30，过点 H 作 HL DF，交 FD 的延长线于点 L，HL=HF sin30=2 3 12=3，此时点 H 的横坐标为 EF-HL=2 3-3=3综上，当 GFH 的边与线段 DE 垂直时，点 H 的横坐标为 2 3+3 或 2 3+3 77或3【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度和正确利用分类讨论的思想方法是解题的关
98、键3(2023河南周口校联考二模)如图 1，抛物线 y1=ax2+bx+c 分别交 x 轴于 A-1,0，B 3,0两点，且与 y 轴交于点 C 0,-3 (1)求抛物线的表达式及顶点 P 的坐标(2)如图 2，将该抛物线绕点 4,0旋转 180求旋转后的抛物线的表达式旋转后的抛物线顶点坐标为 Q，且与 x 轴的右侧交于点 D，顺次连接 A，P，D，Q，求四边形 APDQ 的面积【答案】(1)y=x2-2x-3，1,-4(2)y=-x-72+4；40【分析】(1)根据函数的交点式设二次函数的表达式为 y=a x+1x-3，将点 C 0,-3代入即可求解，再把二次函数变换成顶点式即可求出点 P
99、的坐标；(2)根据旋转的特点，设旋转后抛物线的顶点坐标为 m,n，可知 4,0为顶点 P 1,-4和 Q m,n的中点，根据中点坐标公式可求旋转后函数的顶点坐标，由此即可求解；根据题意求出点 D 的坐标，由 A,P,D,Q 的坐标，图形结合得 S四边形 APDQ=SAQD+SAPD，由此即可求解【详解】(1)解：由题意可设二次函数的表达式为 y=a x+1x-3，将点 C 0,-3代入得 a=1，二次函数表达式为 y=x2-2x-3=x-12-4，顶点 P 的坐标为 1,-4(2)解：设旋转后抛物线的顶点坐标为 m,n，4,0为顶点 P 1,-4和 Q m,n的中点，即 m+12=4，n-42
100、=0，点 Q 的坐标为 7,4，旋转前后图形的形状不变，开口相反，a=-1，49故旋转后的抛物线表达式为 y=-x-72+4；由得 Q 点坐标为 7,4，A，D 点关于点 4,0对称，D 点坐标为 9,0，A-1,0，P 1,-4，D 9,0，Q 7,4，AD=9-(-1)=10，点 Q 到 x 轴的距离为 4，点 P 到 x 轴的距离为 4，S四边形 APDQ=SAQD+SAPD=12 10 4+12 10 4=40【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，函数图像旋转的性质，中点坐标，几何图形的特点等知识的综合运用是解题的关键4(2023广东东莞东莞市东
101、莞中学初中部校考三模)孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 y=ax2 a 0的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O，两直角边与该抛物线交于 A、B 两点，请解答以下问题：(1)如图 1，若测得 OA=OB=2 2，求 a 的值；(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BF x 轴于点 F，测得 OF=1，求此时点 A、B 的坐标；(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标【答案】(1)a=-12(2)A-
102、4,-8，B 1,-12(3)不论 k 为何值，直线 AB 恒过点 0,-2，见解析【分析】(1)设线段 AB 与 y 轴的交点为 C，由抛物线的对称性可得 C 为 AB 中点，根据等腰直角三角形的性质即可得到 AC=OC=BC=2，从而求出 B 2,-2，再将 B 2,-2代入y=ax2 a 0，建立方程，解方程即可求出 m 的值，即可得到答案；(3)设 A-m,-12 m2m 0，B n,-12 n2n 0，设 y=kx+b，将 A、B 代入一次函数建立方程组，根据 n+m 建立等式，化简等式即可得到 b=-12 mn，再结合相似三角形的性质，可推算出 b=-12 4=-2，从而得到不论
103、k 为何值，直线 AB 恒过点 0,-2的结论50【详解】(1)解：设线段 AB 与 y 轴的交点为 C，由抛物线的对称性可得 C 为 AB 中点，OA=OB=2 2，AOB=90，AC=OC=BC=2，B 2,-2 将 B 2,-2代入抛物线 y=ax2 a 0，则 OE=m，AE=12 m2，12 m2=2m m=4，-12 m2=-8，即点 A 的坐标为-4,-8(3)解：设 A-m,-12 m2m 0，B n,-12 n2n 0，设 y=kx+b，则-mk+b=-12 m2nk+b=-12 n2 n+m 得，m+nb=-12 m2n+mn2=-12 mn m+n，b=-12 mn由图可
104、得 AEO OFB，AEOF=OEBF，0.5m2n=m0.5n2，mn=4，b=-12 4=-2；由此可知不论 k 为何值，直线 AB 恒过点 0,-2【点睛】本题考查二次函数的性质、旋转的性质和相似三角形的性质，解题的关键是灵活运行相似三角形的相似比建立等式题型 05二次函数折叠问题511(2023山西大同校联考模拟预测)如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=34 x-9 与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点，抛物线 y=14 x2+bx+c 经过 B，C 两点，与 x 轴的另一个交点为 A (1)求 B，C 两点的坐标及抛物线的解析式，并直接写出点 A 的坐标；(2)如图 1，点
105、D 在线段 OB 上运动，连接 CD，沿直线 CD 折叠 BCD 得到 BCD，当 BD x 轴时，求BDC 的度数及点 D 的坐标；(3)如图 2，连接 AC，作 COE=ACO，OE 交 ABC 的边于点 E，请直接写出 CE 的长【答案】(1)B(12,0)，C(0,-9)，抛物线的解析式为 y=14 x2-94 x-9，A(-3,0)(2)BDC 的度数为 135，D(9,0)(3)CE 的长为 3 102或 3【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)利用翻折的性质可得：BD=BD，SBCD=SBCD；设 D(m,0)，利用点的坐标表示出线段 BD，BD，OC，OD 的长度，再利用
106、三角形的面积公式列出关于 m 的方程，解方程即可得出结论；(3)利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：当点 E 在 AC 边上时，利用直角三角形的性质和直角三角形的斜边上的中线，勾股定理解答即可；当点 E 在 BC 边上时，利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论【详解】(1)解：令 x=0，则 y=-9，C(0,-9)，令 y=0，则 34 x-9=0，x=12，B(12,0)，抛物线 y=14 x2+bx+c 经过 B，C 两点，14 144+12b+c=0c=-9，解得：b=-94c=-9，抛物线的解析式为 y=14 x2-94 x-9令 x=0，则
107、14 x2-94 x-9=0，x=-3 或 x=12，A(-3,0)；(2)解：沿直线 CD 折叠 BCD 得到 BCD，52 BCD BCD，BD=BD，SBCD=SBCD设 D(m,0)，m 0，OD=m，C(0,-9)，B(12,0)，OC=9，OB=12 BD=BD=12-m SBCD=12 BD OC，SBCD=12 BD OD，12(12-m)9=12(12-m)m解得：m=9 或 m=12(不合题意，舍去)，m=9，D(9,0)OD=9，OD=OC=9，OCD=ODC=45，BDC 的度数=180-ODC=135；(3)解：当点 E 在 AC 边上时，如图，AOC=90，ACO+
108、CAO=90，EOA+COE=90，COE=ACO，CAO=EOA，EA=EO，COE=ACO，EO=EC，AE=CE=12 AC A(-3,0)，C(0,-9)，OA=3，OC=9，AC=OA2+OC2=3 10，CE=12 AC=3 102；当点 E 在 BC 边上时，如图，COE=ACO，OE AC，BOE BAC，BOBA=BEBC OA=3，OB=12，AB=OA+OB=15 BC=OB2+OC2=122+92=15，1215=BE15，BE=12，53 CE=BC-BE=3综上，当 COE=ACO，OE 交 ABC 的边于点 E，CE 的长为 3 102或 3【点睛】本题主要考查了
109、二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，折叠的性质，垂直的性质，平行线的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键2(2023安徽芜湖校考一模)已知抛物线 y=ax2+2x+c a 0与 x 轴交于点 A-1,0和点 B 3,0，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 O 与点 D 关于线段 BC 对称 (1)求抛物线的解析式(2)如图 1，P 为 AD 上方的抛物线上的一个动点，连接 PB 交 AD 于点 E当 ABD 的面积被直线 BP 分成 1:3 的两部分时，求点 P 的坐标(3)如图 2，若直线 AD
110、沿过点 D 的直线 m 折叠后恰好经过点 M214,0，请直接写出直线 m 与抛物线的交点 Q 的坐标【答案】(1)y=-x2+2x+3(2)P-34,1516或 P 54,6316(3)y=7x-18，Q109-52,7 109-712或 Q-109-52,-7 109-712【分析】(1)待定系数法求出解析式即可；(2)根据 ABD 的面积被直线 BP 分成 1:3 的两部分，得到 AE=13 DE 或 AE=3DE，求出 E 点坐标，进而得到直线 BE 的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出 P 点坐标即可；(3)求出直线 DM 的解析式，进而求出点 A 的对应点 A 的坐标，进而求出
111、 A,A 的中点坐标，该点在直线 m上，进而求出直线 m 的解析式，联立直线 m 和抛物线的解析式，求出点 Q 的坐标即可【详解】(1)解：抛物线 y=ax2+2x+c a 0与 x 轴交于点 A-1,0和点 B 3,0，a-2+c=09a+6+c=0，解得：a=-1c=3，y=-x2+2x+3；(2)y=-x2+2x+3，当 x=0 时，y=3，C 0,3，OC=3，B 3,0，OB=3=OC，54 OBC 是等腰直角三角形，点 O 与点 D 关于线段 BC 对称，BC 是 OD 的垂直平分线，设 OD 交 BC 于点 F，则 OF BC，F 为 BC 的中点，F32,32，又 F 为 OD
112、 的中点，D 3,3，ABD 的面积被直线 BP 分成 1:3 的两部分时，有两种情况：SABE=13 SDBE，SABE:SDBE=AE:DE，AE:DE=1:3，AE:AD=1:4，点 E 为点 A,D 的中点与点 A 的中点，A,D 的中点坐标为：1,32，E 0,34，设 BE 的解析式为：y=kx+b，b=343k+b=0，解得：b=34k=-14，y=-14 x+34，联立 y=-14 x+34y=-x2+2x+3，解得：x=3y=0或x=-34y=1516，P-34,1516，当 SABE=3SDBE时，同法可得：点 E 为点 A,D 的中点与点 D 的中点，E 2,94，设直线
113、 BE 的解析式为：y=mx+n，2k+b=943k+b=0，解得：b=274k=-94，y=-94 x+274，联立 y=-94 x+274y=-x2+2x+3，解得：x=3y=0或x=54y=6316，P 54,6316；综上：P-34,1516或 P 54,631655(3)设直线 DM 的解析式为：y=k1x+b1，则：3k1+b1=3214 k1+b1=0，解得：k1=-43b1=7，y=-43 x+7，设点 A 关于直线 m 的对称点为 A，则：A 在直线 DM 上，DA=DA，设 A t,-43 t+7，DA=DA，D 3,3,A-1,0，3+12+32=t-32+-43 t+7
114、-32，解得：t=6 或 t=0(舍掉)，A 6,-1，点 A 关于直线 m 的对称点为 A，A,A 的中点52,-12在直线 m 上，设直线 m 的解析式为：y=k2x+b2，D 3,3，点52,-12在直线 m 上，3k2+b2=352 k2+b2=-12，解得：k2=7b2=-18，直线 m 的解析式为：y=7x-18，联立 y=7x-18y=-x2+2x+3，解得：x=109-52y=7 109-712或x=-109-52y=-7 109-712，Q109-52,7 109-712或 Q-109-52,-7 109-712【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数
115、形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键3(2023江苏苏州校考二模)如图，二次函数 y=12 x2+bx+c 与 x 轴交于 O 0,0，A 4,0两点，顶点为 C，连接 OC、AC，若点 B 是线段 OA 上一动点，连接 BC，将 ABC 沿 BC 折叠后，点 A 落在点 A 的位置，线段 AC 与 x 轴交于点 D，且点 D 与 O、A 点不重合 (1)求二次函数的表达式；(2)求证：OCD ABD；DBBA 的最小值；56(3)当 SOCD=8SABD时，求直线 AB 的解析式【答案】(1)y=12 x2-2x(2)证明见解析；22(3)y=-43 x+4【分析】(1)利用待定系数
116、法直接求解即可得出二次函数的表达式；(2)根据两角相等的两个三角形相似即可证明；由 OCD ABD 得出 OCAB=CDBD，则 BDAB=CDOC，所以 CD 最小，BDAB 的值最小，求出此时 CD=2，即可得出答案；(3)先求出点 A 和 B 的坐标，再利用待定系数法求解即可【详解】(1)二次函数 y=12 x2+bx+c 与 x 轴交于 O 0,0，A 4,0两点，c=08+4b+c=0，解得：b=-2c=0，二次函数的表达式 y=12 x2-2x(2)由翻折得：OAC=A，二次函数 y=12 x2+bx+c 与 x 轴交于 O 0,0，A 4,0两点，顶点为 C，点 O、A 关于对称
117、轴对称 OC=AC COA=CAO=A CDO=ADB，OCD ABD OCD ABD，OCAB=CDBD AB=AB，BDAB=CDOC BDAB 的最小值就是 CDOC 的最小值 y=12 x2-2x=12 x-22-2，C 2,-2 OC=2 2 当 CD OA 时，CD 最小，BDAB 的值最小此时 D 2,0，CD=2，BDAB 的最小值是22 2=22(3)连接 AA，过点 A 作 AG OA 于 G，延长 CB 交 AA 于点 H，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 F，如图所示：OCD ABD，SOCD=8SABD，57 SOCDSABD=OCAB2=8 OC=2 2，AB=AB
118、=1 OB=OA-AB=4-1=3，BF=2-1=1 B 3,0由翻折知，CH AA，CFB=AHB=90，FBC=HBA，BCF=BAH tanBCF=BFCF=12，tanBAH=AGAG=12 设 AG=a，则 AG=2a，BG=2a-1，在 RtAGB 中，由勾股定理得：BG2+AG2=AB2，2a-12+a2=12解得：a1=0(舍去)，a2=45，AG=45，AG=85 OG=OA-AG=125 A 125,45设直线 AB 的解析式为 y=kx+b1，把 A 125,45和 B 3,0代入得：125 k+b1=453k+b1=0，解得：k=-43b1=4，直线 AB 的解析式为
119、y=-43 x+4【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，抛物线的对称性，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键4(2023浙江湖州统考一模)一张矩形纸片 ABCD(如图 1)，AB=6，AD=3点 E 是 BC 边上的一个动点，将 ABE 沿直线 AE 折叠得到 AEF，延长 AE 交直线 CD 于点 G，直线 AF 与直线 CD 交于点 Q初步探究58(1)求证：AQG 是等腰三角形；(2)设 FQ=m，当 BE=2CE 时，计算 m 的值；深入探究(3)将矩形纸片放入平面直角坐标系中(如图 2 所示)，点 B 与点重合
120、，边 OC、OA 分别与 x 轴、y 轴正半轴重合点 H 在 OC 边上，将 AOH 沿直线 AH 折叠得到 APH当 AP 经过 CD 的中点 N 时，求点 P 的坐标；在的条件下，已知二次函数 y=-x2+bx+c 的图象经过 A、D 两点若将直线 AH 右侧的抛物线沿AH 对折，交 y 轴于点 M，请求出 AM 的长度【答案】(1)见详解(2)m=1(3)P 3 2,6-3 2；AM=4 2【分析】(1)由题意易得 AB CD，然后根据折叠的性质及平行线的性质可进行求证；(2)过点 F 作 FK CD，交 AD,BC 于点 K、L，由题意易证 AKF FLE，则有 ELKF=FLAK=E
121、FFA=13，设 DK=CL=x，则有 AK=3+x,EL=1+x，然后利用勾股定理可建立方程求解；(3)过点 P 作 PJ CD，交 x 轴于点 J，交 AD 于点 T，由题意易得 AD=DN=3，则有 OAP=DAN=45，然后根据矩形的性质及等腰直角三角形的性质可求解；设 AP 与抛物线 y=-x2+bx+c 的交点为M，连接 MM，根据折叠性质可知点 M 与点 M 关于 AH 对称，由及折叠的性质可知 OAH=MAH=22.5，则有 MAM=45，把点 A、D 的坐标代入求得二次函数解析式，过点 M 作 MR y 轴于点 R，则 MR=AR，设点 M a,-a2+3a+6，然后根据折叠
122、的性质及等腰直角三角形的性质可进行求解【详解】(1)解：四边形 ABCD 是矩形，AB CD，BAG=G，由折叠的性质可知 BAG=QAG，G=QAG，AQ=GQ，AQG 是等腰三角形；(2)解：过点 F 作 FK CD，交 AD,BC 于点 K、L，如图所示：四边形 ABCD 是矩形，ADC=BCD=B=90，AD=BC=3，BE=2CE，BE=2,CE=1，FK CD，K=L=KDC=DCL=90，四边形 DKLC 是矩形，DK=CL，由折叠的性质可知 B=AFE=90,AB=AF=6，BE=EF=2，AFK+FAK=AFK+EFL=90，FAK=EFL，AKF FLE，ELKF=FLAK
123、=EFFA=13，设 DK=CL=x，则有 AK=3+x,EL=1+x，59 FL=13 AK=1+13 x，在 RtEFL 中，由勾股定理得 1+x32+1+x2=4，解得：x=35(负根舍去)，AK=185，cosFAK=AKAF=35，AQ=ADcosFAK=5，m=FQ=AF-AQ=1；(3)解：过点 P 作 PJ CD，交 x 轴于点 J，交 AD 于点 T，如图所示：在矩形 ABCD 中，AO=CD=6,AD=OC=3，OAD=ADC=OCD=90，同理(2)可得 ATP PJH，四边形 ATJO 是矩形，AT=OJ,AO=TJ=6，AP 经过 CD 的中点 N 时，AD=DN=3
124、，DAN=45，OAP=45，ATP 是等腰直角三角形，PJH 也为等腰直角三角形，AT=PT,PJ=HJ，由折叠的性质可得 AO=AP=6,OAH=PAH=12 OAP=22.5，AT=PT=22 AP=3 2,PJ=HJ=6-3 2，AT=OJ=3 2，P 3 2,6-3 2；设 AP 与抛物线 y=-x2+bx+c 的交点为 M，连接 MM，根据折叠性质可知点 M 与点 M 关于 AH 对称，如图所示：AM=AM，由 AO=6,AD=3 可得点 A 0,6,D 3,6，代入二次函数 y=-x2+bx+c 得：-9+3b+c=6c=6，解得：b=3c=6，y=-x2+3x+6，由可知 MA
125、M=45，过点 M 作 MR y 轴于点 R，ARM 是等腰直角三角形，AR=MR，设点 M a,-a2+3a+6，则 AR=MR=a,OR=-a2+3a+6，AR=AO-OR=a2-3a，a2-3a=a，解得：a1=4,a2=0(不符合题意，舍去)，AR=MR=4，60 AM=2AR=4 2=AM【点睛】本题主要考查折叠的性质、二次函数的综合、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握折叠的性质、二次函数的综合、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键5(2023山东枣庄校考模拟预测)已知：如图，抛物线 y=
126、-x2+bx+c 经过原点 O，它的对称轴为直线x=2，动点 P 从抛物线的顶点 A 出发，在对称轴上以每秒 1 个单位的速度向下运动，设动点 P 运动的时间为 t 秒，连接 OP 并延长交抛物线于点 B，连接 OA，AB(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)当三点 A，O，B 构成以为 OB 为斜边的直角三角形时，求 t 的值；(3)将 PAB 沿直线 PB 折叠后，那么点 A 的对称点 A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的 t 的值；若不能，请说明理由【答案】(1)y=-x2+4x；(2,4)(2)1 秒(3)能，(5-5)秒或 25 秒或(5+5)秒【分析】(1)根据
127、抛物线过原点，对称轴为直线 x=2，待定系数求解析式即可求解；(2)设 B(x，-x2+4x)三点 A，O，B 构成以为 OB 为斜边的直角三角形，勾股定理得出 OA2+AB2=OB2，B(52 ,154)继而得出直线 OB 的解析式为 y=3_2x，当 x=2 时，y=3，得出 AP=4-3=1，进而即可求解；(3)分三种情况讨论，点 A1在 x 轴正半轴上；点 A1在 y 轴负半轴上，点 A1在 x 轴负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解【详解】(1)解：由题意得c=0-b2 (-1)=2，解得 b=4c=0，抛物线的解析式为 y=-x2+4x；y=-x2+4x=-(
128、x-2)2+4，顶点 A 的坐标为(2,4)；(2)如图 1，设 B(x，-x2+4x)三点 A，O，B 构成以 OB 为斜边的直角三角形，OA2+AB2=OB2，即 22+42+(x-2)2+(-x2+4x-4)2=x2+(-x2+4x)2，61整理，得 2x2-9x+10=0，解得 x1=52，x2=2(舍去)，B(52 ,154)设直线 OB 的解析式为 y=kx，则 52 k=154，解得 k=3_2，y=3_2x当 x=2 时，y=3，AP=4-3=1，t=1 1=1(秒)；(3)分三种情况：若点 A1在 x 轴正半轴上，如图 2，可得 PD2+A1D2=PA21，即(4-t)2+(
129、25-2)2=t2，解得 t=5-5；若点 A1在 y 轴负半轴上，如图 3，连接 AA1交 OB 于 E可得 OA1=OA=2 5，OA1A=OAA1，OA1 AP，OA1A=A1AP，OAA1=A1AP，AA1 OP，OEA=PEA=90在 OAE 与 PAE 中，OAE=PAEAE=AEOEA=PEA，OAE PAE(ASA)，OA=PA=25，t=25；若点 A1在 x 轴负半轴上，如图 4.可得 PD2+A1D2=PA21，即(t-4)2+(2 5+2)2=t2，解得 t=5+5；综上所述，所有满足条件的 t 的值为(5-5)秒或 25 秒或(5+5)秒【点睛】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键
