1、高考资源网（） 您身边的高考专家第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理知识梳理一、归纳推理与类比推理1归纳推理：由某类事物的具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理；或者由概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称）特征：归纳推理是由到，由到的推理.2类比推理：由两类对象具有和其中一类对象的，推出另一类对象也具有的推理称为类比推理，（简称）.特征：类比推理是由到的推理.二、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过、，再进行、，然后提出的推理，我们统称为合情推理，通俗的说，合情推理是指“合乎情理”的推理，合情推理得到的结论不一定正确.知识点题号实际问题的归纳
2、1，11,14代数问题的归纳2，3,7,8,9,10，13类比4,5，6,12基础达标1如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()观察下式：2461224682024681030由上述具体事实可以得出的一般结论为（）A24682B2468C2462D2462观察下列各式：,，则等于（）A28B76C123D199由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“”类比得到“”；“”类比得到“”；“”类比得到“”；“”类比得到“”；以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A0B1C2D3已知，若（均为正实数），类比以上等式，可推测的
3、值，则.已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程为，类比上述性质，可以得到过椭圆上一点的切线方程为.五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2015个被报出的数为.已知数列中，则可归纳猜想的通项公式为.9，先分别求，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明1观察下表：1，2,34,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第行的最后一个数是多少？(2)此表第行的各个数之和是多少？(3)是第几行的第几个数？能力提升1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研
4、究数比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()ABCD在中，若，则外接圆半径.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为则其外接球的半径_.观察下式：，则得出一般结论：_.14某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形(1)求出的值；(2)归纳出与之间的关系式，并根据你得
5、到的关系式求出的表达式；(3)求的值2.1.2演绎推理知识梳理1演绎推理：从出发，推出某个下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理的结论一定是正确的.特点：演绎推理是由到的推理演绎推理常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性书写格式的规范性.2三段论：三段论是演绎推理的一般模式，包括：（1）已知的（）（2）所研究的（）（3）根据一般原理，对做出的判断（）应用三段论解决问题时，首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必是正确的，如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的.知识点题号演绎推理的定义1,12三段论2,3,4,5,11,13演绎推
6、理的应用6，7，8，9，10，14基础达标1下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，由此若是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则B某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C由平面正三角形的性质，推测空间正四面体的性质D在数列中，由此归纳出的通项公式2.“因为指数函数是增函数(大前提)，而是指数函数(小前提)，所以是增函数(结论)”，上面推理的错误是()A大前提错导致结论错B小前提错导致结论错C推理形式错导致结论错D大前提和小前提都错导致结论错3 正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理()
7、A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确4推理“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；三角形不是矩形”中的小前提是()A BC D和5.把“函数的图象是一条抛物线”作为结论,用三段论表示为:大前提:_,小前提:_,结论_.6设，若恒成立，则的最大值为.7在等差数列中，且，则的最大值等于.8设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号为（写出所有真命题的序
8、号）9如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，且，为的中点(1)求证：平面平面 (2)求证：平面.10.数列的前项和记为，已知，证明：(1)数列是等比数列；(2).能力提升11. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误12.下面说法正确的有_ （1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式； （4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。13
9、“由，得”的推理过程中，其大前提是.14已知函数.（1）若在上是增函数，求的取值范围.（2）若，证明：2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法知识梳理1直接证明中和是最基本的两种证明方法。2一般地，利用和某些数学、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的成立，这种证明问题的方法叫做。3综合法可用框图表示为：（P表示，已有的、等，Q表示.）知识点题号利用定义证明结论1、7、8、9利用定理、公理证明结论4、6、10、12、13、14通过计算得到结论2、3、5、11基础达标1命题“如果数列的前项和，那么数列一定是等差数列”是否成立（）A不成立B成立C不能断定D能断定2设，则与大小
10、关系为（）A BCD无法确定3在面积为（为定值）的扇形中，当扇形中心角为，半径为时，扇形周长最小，这时的值分别是（）A，BC，D4在中，则是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定5点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是.6在中，已知，则的形状一定是.7若平面四边形满足，则该四边形一定是.8已知定义在R上的函数，对任意满足，则是（奇、偶）函数.9已知是正数组成的数列，且点在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求证：.10已知，且，求证：.能力提升11若钝角三角形三内角的度数成等差数列且最大边与最小边的比为，则的取值范围是（）AB（0,2）CD12设，则，三者
11、的大小关系.13如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别是的中点，则与面的位置关系是（填“相交”或“平行”）14若是不全相等的正数，求证：.第2课时分析法知识梳理1一般地，从要证明的，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定，一个明显成立的条件（已知条件，、等）。这种证明的方法叫。2分析法可用框图表示为：（表示要）.得到一个明显成立的条件知识点题号结论利用定义判定1、2、6结论利用定理、公理判定3、5、8、9、10、13、14通过计算进行判定4、7、11、12基础达标1要证：，只要证明（）ABCD2分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设，且，求证”索的因应是（）ABCD3 欲证成
12、立，只需证（）ABCD4设甲：函数有四个单调区间，乙：函数的值域为R，那么甲是乙的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D以上均不对5将下面分析法证明的步骤补充完整：要证，只需证：，也就是证：，即证：，由于显然成立，所以原不等式成立.6设，则的大小关系是.7如果，则实数应满足的条件是.8设，若，则的最小值为.9已知，求证：.10已知不相等的两向量满足，求证：.能力提升11当时，使不等式恒成立的的取值范围是（）ABCD12，且恒成立，则的最大值为.13如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直）中，当底面四边形满足条件时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）14设，求证：
13、.2.2.2反证法知识梳理1反证法是的一种方法.2一般地，假设原命题（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了，这样的证明方法叫做反证法。3反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾，或与矛盾，或与、矛盾等.4用反证法证明数学命题的步骤：反设归谬存真假设命题的结论不成立，则假定原结论的反面为真从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立知识点题号反设练习1、2、3、5、6与已知矛盾7、9、10、11、13与定理、公理矛盾4、8、14应用反面进行求解12基础达标1应用反证法推出矛盾的推
14、导过程中，要把下列哪些作为条件使用（）结论的否定即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论.ABCD2用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程没有实根B方程至多有一个实根C方程至多有两个实根D方程恰好有两个实根3用反证法证明命题：“已知，若可被5整除，则中至多有一个能被5整除”时，要做的假设是（）A都不能被5整除B都能被5整除C中有一个不能被5整除D中有一个能被5整除4设大于0，则三个数：的值（）A都大于2B至少有一个不大于2C都小于2D至少有一个不小于25用反证法证明：命题“任意多面体的面至少有一个是三角形”时，应假设为.6用反证法证明命题
15、“若，则全为0（为实数）”时，应假设为.7设是两个实数，给出下列条件：；.其中能推出“中至少有一个大于1”的条件是（填序号）.8用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：，这与三角形内角和为180相矛盾，则不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设中 有两个角是直角，不妨设.正确顺序的序号排列为.9已知成等差数列且公差，求证：不可能成等差数列.10已知，且，求证：中至少有一个是负数.能力提升11已知直线为异面直线，直线平行于直线，那么与的位置关系为（）A一定是异面直线B一定是相互直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线12若下列两个方程，中至少有一个方程有实根
16、，则实数的取值范围是.13设实数满足，则中至少有一个数不小于.14已知.求证：不能都大于.章末复习知识梳理推理与证明推理合情推理归纳类比实验、观察概括、推广猜测一般性结论观察、比较联想、类比猜测新的结论演绎推理大前提小前提结论证明直接证明间接证明数学归纳法综合法分析法从条件入手从结论入手反证法与正整数 有关的命题三段论知识点题号合情推理1,6,7,11，演绎推理5，10，13，直接证明和间接证明2,3，8,9,10,12数学归纳法4, 14基础达标1按照下列三种化合物的结构及分子式规律，写出后一种化合物的分子式是（ ），AB C D2用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60”时，
17、应假设()A三角形的三个内角都不大于60B三角形的三个内角都大于60C三角形的三个内角至多有一个大于60D三角形的三个内角至少有两个大于603.已知，若为异面直线，则()A都与相交B中至少有一条与相交C中至多有一条与相交D都不与相交4用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上()A. B C. D.5在上定义运算若不等式对任意实数都成立，则()A B CD6.下面几种推理是合情推理的是_由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180；由，满足，推出是奇函数；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，
18、由此得凸多边形内角和是.7在中，为的中点，则，将命题类比到三棱锥中得到的命题为_8已知均为正数，且，则与的大小关系是_9已知，求证：.10由下列不等式：， ，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明能力提升11已知数列的前项和，而，通过计算，猜想等于()A. B. C. D.12在中，则为 _三角形13若函数有两个零点，并且不等式恒成立，则实数的取值范围为_ 14如图，平面，分别为的中点(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值章末检测一、选择题1.观察下列数：1,3,2,6,5,15,14, 122,其中的值依次是（）A.42,41,123B.13,39,123C.24,23,123D.
19、28,27,1232.下列推理是归纳推理的是（）A.A，B为定点，动点P满足，得P的轨迹为椭圆B.由，求出，猜想出数列的前项和的表达式C.由圆的面积，猜出椭圆的面积D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇3.若有一段演绎推理：“大前提：对任意做实数；都有，小前提：已知是实数；结论：”.这个结论显然错误，是因为（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误4.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化简得，类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为（）A.B.C.D
20、.5.用反证法证明命题“若，则全为0（）”，其反设正确的是（）A.至少有一个不为0B.至少有一个为0C.全不为0D.中只有一个为06.下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法，其中正确的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个7.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中有白色地面砖的块数是（）第1个第2个第3个A.B.C.D. 8.下列不等式中一定成立的是（）A.B. C.D.9.在等差数列中，若，公差，则有，类比上述性质，在等比数列中，若，公比，则的一个不等关系是（）A.B.C.D.10.观察下列数的特点：1
21、,2,2,3,3,3,4,4,4,4,则第100项是（）A.10B.13C.14D.100二、填空题11.观察：（1）；（2）由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论12.设是两个实数，给出下列条件：；其中能推出：“中至少有一个大于1”的条件是。（填序号）13.在算式“”中的，中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对（，）应为14观察下列不等式，照此规律，第五个不等式为.15.已知，试用分析法证明：.16.已知.（1）求；（2）求证：中至少有一个不小于.17.点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N。（
22、1）求证：CC1MN.（2）在任意DEF中有余弦定理，DE2DF2+EF22DFEFcosDFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明。18.（1）已知：均是正数，且，求证：.（2）当均是正数，且时，对真分数，给出类似上小题的结论，并予以证明。（3）证明：ABC中，.(可直接应用第（1）、（2）小题结论).2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理答案知识梳理一、1部分对象；全部对象；个别事实；归纳部分；整体；个别；一般2某些类似特征；某些已知特征；这些特征；类比特殊；特殊二、观察；分析；比较；联想；归纳；类比；猜想基础达
23、标. A解析：该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.C解析：上述事实分别叙述如下：前2个正偶数的和等于23，前3个正偶数的和等于34，前4个正偶数的和等于45，由此猜想前个正偶数的和等于，所以选C C解析：从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则. B解析：正确；错误向量的数量积满足交换律，不满足结合律，消去律， 41解析：8故猜测与满足：，又，从而 解析：类比圆的切线方程可得椭圆切线方程为8解析：由题中所述知同学们报出的数依次为：2,3，6,8，8,4，2,8，6,8，8,4，2
24、,8，观察这些数的特征，从第三个数开始，6个数为一个周期，故第2015个数为8 解析：猜想解，同理可得：.由此猜想.证明：.解(1)第行的第1个数是，第行的最后一个数是.(2).(3)，在第11行，该行第1个数是，由，知是第11行的第个数能力提升 C解析观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为，则，观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为，则.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得都为正整数的只有. 解析：(构造法)通过类比可得.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径解析各等
25、式的左边是第个自然数到第个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：.解析(1).(2)因为，由上式规律，所以得出.因为 (3)当时，.2.1.2演绎推理答案知识梳理1一般性的原理；特殊情况；一般；特殊2（1）大前提；一般原理；（是）（2）小前提；特殊情况（是）（3）结论；特殊情况（是）基础达标1A解析：两条直线平行，同旁内角互补大前提，是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角小前提，结论故A是演绎推理，而是归纳推理，是类比推理故选A.2A解析： 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错3. C 解析：不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确4. B 解析：由演绎推理三段论可知，
26、是大前提；是小前提；是结论5 二次函数的图像是一条抛物线； 函数是二次函数； 函数的图象是一条抛物线68解析：由题可知的最大值即为的最小值，又，当且仅当，即时等号成立，730解析：等差数列的性质，若，由基本不等式89证明：(1)由底面知.又因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.(2)如图，取的中点，连结由为的中点，得为C的中位线，则，且.又因为，故，故，得，所以四边形为平行四边形，则.又因为平面，平面，所以平面.10思维启迪：在推理论证过程中，一些稍复杂的证明题常常要由几个三段论才能完成大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式证明(1)，即
27、，又，（小前提）故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知， (小前提)又 (小前提)对于任意正整数，都有.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)能力提升11A12（1）（3）13若，则解析：，14证明：（1）时，恒成立，即恒成立，（2）时令，在上单调递减2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法答案知识梳理1综合法；分析法2已知条件；定义；定理；公理；推理论证；结论；综合法3已知条件；定义、定理、公理；证明的结论基础达标1B解析：，（时，符合上式）又，是等差数列.2A解析：，3D解析：设扇
28、形的弧长为，则，所以，又，当且仅当，即时等号成立，此时.4A解析：因为，所以角，角只能都是锐角，所以，所以.所以是钝角，即角为锐角.5解析：点是曲线上任意一点，当过点的切线和直线平行时，点到直线的距离最小，直线的斜率为1，令的导数，得或（舍），所以切点坐标为（1,1），点（1,1）到直线的距离等于.6钝角三角形解析：（1）因为，所以.因为，所以.又，所以，即为钝角三角形.7菱形解析：，四边形为平行四边形，四边形为菱形8奇解析：的定义域为R，令，令，则，为奇函数9解析：（1）由已知得，则，又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.故.（2）证明：由（1）知，从而.因为，所以.10证明：，且，
29、能力提升11A解析：设三角形的三边从小到大依次为，因为三内角的度数成等差数列，所以.则，可得.根据余弦定理得，得，因三角形为钝角三角形，故，于是，即.又，即.12解析：，又，13 平行解析：四棱锥的底面是平行四边形，且又分别为的中点，且，四边形为平行四边形，又面，面，面.14解析：，又上述三个不等式中等号不能同时成立.成立.上式两边同时取常用对数，得，.第2课时分析法答案知识梳理1结论出发；充分条件；定理、定义、公理；分析法2证明的结论基础达标1D解析：由题意要证只要证：，所以选D2C解析：由题意知所以，选C3C解析：要证成立，只需证明：即证： 4A解析：对甲，要使有四个单调区间，只需要即可；
30、对乙，要使的值域为R，只需要的值域包含区域，只需要，即，所以甲是乙的充分不必要条件.5；.解析：由分析法从证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件即可.6解析：取，得，再用分析法证明：，显然成立.7解析：要使成立，只需，只需，即应满足89解析：根据条件可知，欲求的最小值，只需求的最小值，因为32229（当且仅当时取“”）.9证明：，所以要证原不等式成立，只需证，即证，即证而显然成立，故原不等式得证.10证明：，要证，只需证，只需证，只需证，即证，显然成立，故原不等式得证.能力提升11B解析：要使恒成立，只需恒成立.因为在（1,2）上单调递增，所以，所以.124解析：由，得，要使恒成立，只需恒
31、成立只需恒成立.显然（当且仅当时等号成立）.所以只需成立，即能取的最大值为4.13（答案不唯一）解析：可用分析法，要使，需使平面，即需使，或或或14证明：要证，只需证，即证，即证而当时，显然成立，2.2.2反证法答案知识梳理1间接证明2不成立；原命题成立3已知条件；假设；定义、定理、公理、事实基础达标1C解析：由反证法的定义知，可知作为条件使用，而原命题的结论是不可以作为条件使用的.2A解析：“方程至少有一个实根”的反面是“方程没有实根”故选A.3B解析：由反证法的定义得，反设即否定结论.4D解析：假设，都小于2.即：与相矛盾假设不成立，至少有一个不小于2.选D5任意多面体的面没有一个是三角形
32、解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”.6不全为0解析：“全”的否定是“不全”.7解析：若，则，但，故不能推出，若，则，故不能推出.若，则，故不能推出.对于，即，则中至少有一个大于1.反证法：假设且，则与矛盾，因此假设不成立，故中至少有一个大于1.8解析：由反证法证明的步骤知，先反设即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.9证明：假设成等差数列，则，成等差数列，即，从而，这与矛盾不可能成等差数列.10证明：假设都是非负数，因为，所以又，所以，这与已知矛盾，所以中至少有一个是负数能力提升11C解析：两直线的位置关系有平行、相交、异面。假设，又因，由平行的传递性知：与已知为异面直
33、线矛盾，故假设不成立，故选C12解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有即解得，所以其补集即为所求的的取值范围.13解析：假设都小于，即，由不等式的同向可加性知：，与已知矛盾，故假设不成立.中至少有一个数不小于.14证明：假设都大于.因为，所以，由基本不等式，得.同理，将这三个不等式两边分别相加，得，即，这是不成立的，故不能都大于.章末复习答案基础达标1B 解析：下标关系：，,故第4个应为，2B 解析：其假设应是对“至少有一个角不大于60”的否定，即“都大于60”3B.解析：若都不与相交，则，与是异面直线矛盾所以中至少有一条与相交又由特例法，知A，C项不一定成立4C解析：当时，左侧，当时，左侧
34、5C解析：类比题目所给运算的形式，得到不等式的简化形式，再求其恒成立时的取值范围，即不等式恒成立的充要条件是即解得.故应选C.6解析：合情推理分为类比推理和归纳推理，是类比推理，是归纳推理，是演绎推理7在三棱锥中，为的重心，则8解析：，且，.9证法1(分析法)，要证，只需证，即证，也即证，即证，上式显然成立原命题成立证法2(综合法) ，即，即.证法3(反证法)假设，即，即，即，即，而，与相矛盾，原命题成立10解一般结论：，证明如下：(1)当时，由题设条件知命题成立(2)假设当时，猜想正确即.当时，.当时，不等式成立根据(1)、(2)可知，对.规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由时命题成立
35、证时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 11B解析：，.猜想.12直角解析: 所以三角形是直角三角形13 .解析：有两个零点，由得，即，的最大值为0，.14解(1)证明：分别为的中点，又.，而平面，平面，平面.(2)如图，连接，为的中点，且，.平面，平面.，故平面.由(1)知，又，四边形为平行四边形平面.故为与平面所成角在中，.因此与平面所成角的正弦值为.章末自测参考答案一、选择题1.A解析：观察各项我们可以发现：为前一项的3倍，即，为前一项减1，为前一项的3倍，故选A。2.B解析：A选项是定
36、义，C、D选项是类比推理，而B选项是由个别事实概括出一般结论的推理，为归纳推理。3A解析：当为偶数时，若有意义，则，故大前提错误.4.A解析：类比题干中所给的方法：平面方程：5.A解析：“全”的否定为“不全”，故至少有一个不为06.D解析：由本章所学证明问题的定义得到答案.7.A解析：观察可知，除第一个以外，每增加一个黑色地面砖，相应的白色地面砖就增加四个，因此第个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第项”。故第个图案中有白色地面砖的块数是.8.C解析：A项中，因为，所以；B项中只有在时才成立；C项中由不等式可知成立；D项中因为，所以.9.A解析：在等差数列中，由于
37、时有，所以在等比数列中，由于，所以应有或.因为，所以因为，所以10.C解析：由数列的特点得到：当时，当时，故应选C.11.若都不是90，且，则.12.解析：若，则但，故推不出；若，则，故推不出；若，则，故推不出；若，则，故推不出；对于，即，则中至少有一个大于1.反证法：假设且则与矛盾。因此假设不成立，故中至少有一个大于1.答案：13.解：设数对为则，所以，仅当时等号成立，即答案：（5，10）14解析：第一个不等式左边为两式之和，且分母为两个连续整数的平方；右边为；第二个不等式左边为三式之和，且分母为三个连续整数的平方；右边为；第三个不等式左边为四式之和，且分母为四个连续整数的平方；右边为；归纳
38、推理知：第五个不等式为：15.证明：要证上式成立，需证需证需证需证需证只需证因为显然成立，所以原命题成立16.（1）解：，（2）证明：假设、都小于则，这与矛盾。假设错误，即所证结论成立。17.解：（1）因为BB1，PNBB1，又PMPNP所以BB1平面PMN，所以BB1MN又CC1/BB1，所以CC1MN.（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角。证明如下：因为CC1平面PMN，所以上述的二面角的平面角为MNP在PMN中，因为PM2PN2+MN22PNMNcosMNP,所以由于，所以18.解析：（1）因为所以又，所以（2）因为，所以，应用第（1）小题结论，得，取倒数，得.（3）由正弦定理，原题ABC中，求证：证明：由（2）的结论得，且均小于1，所以，. - 40 - 版权所有高考资源网
