1、多面体及球体的概念、性质、计算典型例题： 例1. （2012年全国课标卷理5分）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为【 】 【答案】。【考点】三棱锥的性质。【解析】的外接圆的半径，点到面的距离。 又为球的直径，点到面的距离为。 此棱锥的体积为。故选。例2. （2012年全国课标卷文5分）平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为 【 】（A） （B）4 （C）4 （D）6【答案】B。【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。【解析】由勾股定理可得球的半径为，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为：。故选B。例
2、3. （2012年江西省理5分）如下图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为【 】【答案】A。【考点】棱锥的体积公式，线面垂直，函数的思想。【解析】对于函数图象的识别问题，若函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，可采用定性排它法：观察图形可知，当时，随着的增大， 单调递减，且递减的速度越来越快，不是的线性函数，可排除C，D。当时，随着的增大， 单调递减，且递减的速度越来越慢，可排除B。只有A图象符合。故选A。如求解具体的解析式，方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃，并
3、且作为选择题也没有太多的时间去解答。我们也解答如下：连接AC，BD，二者交于点O，连接SO，过点E作底面的垂线EH。 当E为SC中点时，SBSDBCCD，SEBE，SEDE。SE面BDE。当时，截面为三角形EBD，截面下面部分锥体的底为BCD。又SASC1，AC，SO。此时。当时，截面与AD和AB相交，分别交于点F、D，设FG与AC相交于点I，则易得。由EHSO，得，即。由EISA，得，即。易知是等腰直角三角形，即。当时，截面与DC和BC相交，分别交于点M、N，设MN与AC相交于点J，则易得。由EHSO，得，即。由EJSA，得，即。易知是等腰直角三角形，即。综上所述，。结合微积分知识，可判定A
4、正确。例4. （2012年湖北省理5分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159.判断，下列近似公式中最精确的一个是【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考点】球的体积公式以及估算。【解析】由球的体积公式得，由此得。对选项逐一验证： 对于A. 有，即；对于B. 有，即；对于C. 有，即；对于D. 有，即；中的数值最接近。故选D。例5. （2012年重庆市理5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱
5、与长为的棱异面，则的取值范围是【 】（A） （B） （C） （D）【答案】A。【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。【分析】如图所示，设四面体的棱长为，取中点P，连接，所以，在中，由勾股定理得=。在中，。，。故选A。例6. （2012年上海市理4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .【答案】。【考点】空间几何体的体积公式和侧面展开图。【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为，母线长为，根据条件得到，解得母线长，所以该圆锥的体积为：。例7. （2012年上海市文4分）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 【答案】。【考点】圆柱的表面积。【
6、解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：。例9. （2012年上海市理4分）如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 .【答案】。【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。【解析】作于，连接，则，平面。又平面，。 由题设，与都在以为焦距的椭球上，且、都垂直于焦距所在直线。=。 取中点，连接，。四面体的体积。显然，当在中点，即是短轴端点时，有最大值为。例10. （2012年山东省理4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1。E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为 。【答案】【考点】三棱锥的面积。【解
7、析】三棱锥与三棱锥表示的是同一棱锥，。 又的底DD1E的面积是正方形面积的一半，等于；底DD1E上的高等于正方形的棱长1， 。例11. （2012年安徽省文5分）若四面体的三组对棱分别相等，即，则 _.(写出所有正确结论编号) 四面体每组对棱相互垂直四面体每个面的面积相等从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【答案】。【考点】四面体的性质。【解析】四面体每组对棱不相互垂直，命题错误；四面体每个面是全等三角形，面积相等，命题正确； 从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于，命题错误； 连
8、接四面体每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分，命题正确；例12. （2012年辽宁省文5分）已知点是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若,则OAB的面积为 .【答案】。【考点】组合体的的位置关系，转化思想的应用。【解析】点是球O表面上的点，PA平面ABCD， 点为球O内接长方体的顶点，球心O为长方体对角线的中点。 OAB的面积是该长方体对角面面积的。 ，。例13. （2012年江苏省5分）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱锥的体积为。
