1、云南省文山州2021届高三数学10月教学质量检测试题 理（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷第1页至第2页，第卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，
2、则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合、，再求即可判断选项AB是否正确，再检验CD是否正确即可.【详解】由已知得，或，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，以及子集的概念，涉及解一元二次不等式，属于基础题.2. 已知，其中，是实数，为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题中条件，由复数的乘法运算，得到，求出，再由复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】，所以，即，所以，解得，.故选：A.【点睛】本题主要考查求复数的模，考查复数的乘法运算，以及由复数相等求参数，属于基础题型.3. 直线与圆有两个不同交点的一个充分
3、不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得直线与圆相交，利用圆心到直线的距离与半径的关系求解的取值范围，再根据充分不必要条件的定义即可得答案.【详解】解：已知，即圆心，半径，当直线与圆有两个不同的交点，直线与圆的位置关系是相交关系，所以圆心到直线的距离为，解得，由于要求使得直线与圆相交的充分不必要条件，故只需要满足是的子集的取值范围即可满足.故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，充分不必要条件等，属于基础题型.4. 2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德
4、五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位：）和燃料质量M（单位：），火箭质量m（单位：）的函数关系是：，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为；）（ ）A. 13.8B. 9240C. 9.24D. 1380【答案】B【解析】【分析】根据已知数据和函数关系式直接计算【详解】，故选：B.【点睛】本题考查函数的应用，属于基础题5. 执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量值
5、，裂项可求和，可得答案【详解】，故选:C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于中档题6. 在的展开式中，常数项为（ ）A. B. 15C. D. 60【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式计算即可求解.【详解】，令，即，常数项为60，故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，属于中档题.7. 若a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）A. 2B. C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由于，故展开利用基本不等式求解即可得答案.【详解】解：因为a，b为正实数，所以，当且仅当时，即时，“=”成立.故选：A
6、.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查运算能力，是基础题.8. 对于奇函数，若对任意的，且，则当时，实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性，可将不等式转化为，根据函数的单调性，可列出不等式组，求解即可.【详解】是奇函数，可转化为，又对任意的，且，在上为单调递增函数，解得.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.9. 已知的内角，的对边分别为，若，则的面积为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】A【解析】分析】根据题意，先求出，再由余弦定理，求出，进而可求出三角形的面积.【详解】由得
7、，则，又为三角形内角，又，所以，则，.故选：A.【点睛】本题主要考查求三角形的面积，考查余弦定理的应用，属于基础题型.10. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比较大小即可得答案.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以，由于函数和函数在第一象限为增函数，所以，故.故选：A.【点睛】本题考查利用指数函数与幂函数的单调性比较大小，考查运算能力，是基础题.11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）A. 的一条对称轴为B. C. 的对称中心为D. 的最大值为【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数与余弦函数的图象与性质逐项检验即可求解.【详解】由
8、已知得：对于选项A，正确；对于选项B，正确；对于选项C，错误；对于选项D，令，当时，正确，故选：C【点睛】本题考查三角函数图象与性质，涉及三角函数的单调性和值域以及周期性，属基础题.12. 已知双曲线上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段的中点为E，直线交x轴于，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线的对称性及题意可知M为的重心可得的值，进而可得解.【详解】由已知得M为的重心，又，即.故选:D.【点睛】此题考查双曲线的性质及基本量计算，属于基础题.第卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题
9、考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知、满足约束条件，则目标函数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得直线在轴上的截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案：.【点睛】本题考查线性目标函数最值的计算，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14. 已知，且，则_.【答案
10、】【解析】【分析】由得，可求出，即可由坐标求出.【详解】，即，.故答案为：.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，考查由坐标计算向量的模，属于基础题.15. 在正三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】作出图形，找出外接球球心的位置，根据几何体的结构特征列等式可求三棱锥外接球的半径，进而可求球的表面积.【详解】设点为的外心，则平面，则三棱锥的外接球球心在直线上，设其外接球的半径为，由正弦定理得， ，在中，由勾股定理得，即，解得， 故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，关键求外接球半径，解题时要分析几何体的结构特征，找出球心的位置，利用几何体的结构特征列等式求
11、解，属于中档题.16. 已知函数（e为自然对数的底数），若有三个零点，则实数 的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】当时，显然只有一个零点；考虑当时函数有两个零点即可.【详解】设， 当时， ，单调减，当时， ，单调增，所以当时， ；又当时， ；而令 ， 综上： .故答案为: 【点睛】此题是利用导数解决函数零点问题，属于中档题.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得通项公式；
12、（2）由裂项相消法求和【详解】解：（1）因为是等比数列，所以，又，所以，设等差数列的公差为，由，两式相减得，所以，所以，而，所以（2）由（1）得，【点睛】本题考查求等比数列和等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和考查运算求解能力，属于中档题.18. 某中学高三年级组织了西南四省第一次联考，为了了解学生立体几何得分情况，现在在高三年级中随机抽取100名同学进行调查，其中男生和女生的人数之比为，满分为12分，得分大于等于8分为优秀，否则为知识点存在欠缺，已知男生优秀的人数为35人，女生得分在8分以下的有15人.（1）完成列联表，并回答能否有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”？优秀知识点欠缺
13、合计男生女生合计100（2）从被调查的优秀学生中，利用分层抽样抽取13名学生，再从这13名学生中随机抽取2名学生介绍答题经验，求被抽取的两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率.参考公式：.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.84250246.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析；不能有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”；（2）【解析】【分析】（1）求出被调查的学生中男生、女生人数，进而可完成列联表，求出的值，结合表格数据可得出答案；（2）计算可得抽取的13人中，男生7人，女生6人，记“两名学生中恰有一名男生与一名女
14、生”为事件A，可得.【详解】（1）被调查的学生中女生人数为，男生人数为，男生优秀的人数为35，知识点欠缺的人数为20，女生知识点欠缺的人数为15，优秀的人数为30.列联表如下：优秀知识点欠缺合计男生352055女生301545合计6535100，不能有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”.（2）抽取的13人中，男生人数为，女生人数为，记“两名学生中恰有一名男生与一名女生”为事件A，则，两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率为.【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、概率计算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点.（1）确定E的位置，使
15、平面；（2）设，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值.【答案】（1）E为的中点；（2）.【解析】【分析】（1）E为的中点，连接，使交于点O，可证，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）分别以，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）E为的中点，证明：连接，使交于点O，取的中点为E，连接，O，E分别为，的中点，.又平面，平面，平面.（2）分别以，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为.设平面的法向量为，由，令，则，二面角的平面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了证明线面垂直，考查了求二面角的余弦值，属于中档
16、题.20. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l与曲线交于A，B两点，设，则.（1）求曲线的方程；（2）设离心率为且长轴为4的椭圆的方程为.又曲线与过点且斜率存在的直线相交于M，N两点，已知，O为坐标原点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得，设直线l的方程为，然后直线方程与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系，结合已知可求出的值，从而可得抛物线的方程；（2）由已知条件可得椭圆的方程为，设直线的方程为，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元再利用根与系数的关系，然后利用三角形的面积列方程可求出的值，进而可求出直线的方程【详解】解：（1）由已
17、知得，设直线l的方程为，曲线的方程为.（2）由已知得，曲线的方程为，设直线的方程为，则.设，直线的方程为.【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查计算能力，属于中档题21. 已知函数，.（1）当在点处的切线与直线平行时，求实数a的值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求导，进而可得，即可求出的值；（2）代入，参变分离得恒成立，构造函数，利用导数求出最小值，令，即可求出答案.【详解】（1），因为，且直线的斜率为1，所以，即.（2）由已知得对任意的恒成立，整理得恒成立.令，则，令，则.，又，即恒成
18、立，在上单调递增，又，当时，即为减函数；当时，即为增函数，.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区堿指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 已知在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知，直线l与曲线C相交于
19、A，B两点，求值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）消去参数，可求出直线l的普通方程；将曲线C的极坐标方程展开，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可求出答案；（2）直线l的参数方程可化为标准形式，代入曲线的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义，可求出答案.【详解】（1）直线l的参数方程为（t为参数），两式相加得，即直线l的普通方程为，由，可得，即，曲线C的直角坐标方程为. （2）直线l的参数方程可化为（为参数），代入曲线的直角坐标方程，可得，所以，所以.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程间的转化，直线参数方程中参数的几何意义等知识，考查学生的
20、推理能力与计算求解能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且，求最小值.【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】（1）根据题中条件，分别讨论，三种情况，分别求解，即可得出结果；（2）先由（1）求得，得出，根据柯西不等式，即可求出最小值.【详解】（1）由已知得，当时，原不等式可化为，无解；当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，解得；综上所述，不等式的解集为；（2）由（1）可知，则，因为，由柯西不等式可得，所以，当且仅当，即时，“=”成立.【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，考查根据柯西不等式求最值，属于常考题型.
