1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理定向训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三
2、角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A1B2021C2020D20192、如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（）A160B150C140D1303、若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（）A1个B2个C3个D4个4、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A11cmB2cmC（8+2）cmD（7+3）cm
3、5、有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A1B2020C2021D20226、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开4 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A7 mB7.5
4、mC8 mD9 m7、九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（）ABCD8、如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为（）ABCD无法确定9、一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（）A4.5B4.6C4.8D510、九章算术被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？如图，
5、大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（）（1尺=10寸）A12寸B13寸C24寸D26寸第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于点DE为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B落在CD的延长线上若AB=10，BC=8，则ACE的面积为_2、我国古代数学著作九章算术中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，根据
6、题意，可列出关于 x 方程为:_. 3、如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为_长4、如图所示，数轴上点A所表示的数为_5、把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上若，则_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中ABAC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH
7、，测得CB3千米，CH2.4千米，HB1.8千米（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长2、勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BDCD，AEBD于点E，且ABEBCD求证：AB2BE2+AE23、如图，高速公路上有A，B两点相距10km，C，D为两村庄，已知DA4
8、km，CB6km，DAAB于点A，CBAB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求BE的长4、如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题5、设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，求证：-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面
9、积+正方形C的面积=1，“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故选：B【考点】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c22、A【解析】【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点
10、B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在中，根据勾股定理得，即PA+PB的最小值是；如图所示，延长AB交MN于点，当点P运动到点时，最大，过点B作，则， ，在中，根据勾股定理得，即，故选A【考点】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系3、B【解析】【详解】分析：x可为斜边也可为直角边，因此解本题时要对x的取值进行讨论解答：解：当x为斜边时，x2=22+42=20，所以x=2；当4为斜边时，x2=16-4=12，x=2故选B点评：本题
11、考查了勾股定理的应用，注意要分两种情况讨论4、B【解析】【详解】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果解：将长方体展开,连接AB，则AB最短.AA=3+2+3+2=10cm，AB=6 cm，AB=cm.故选B.5、D【解析】【分析】根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和【详解】解：如图，由题意得：SA=1，由勾股定理得：SBSC=1，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所
12、有正方形的面积和为4，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，故选：D【考点】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键6、B【解析】【分析】根据题意，画出图形，设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米，在RtABC中，根据勾股定理的方程（x+1）2=x2+42，解方程求得x的值即可.【详解】如图所示：设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米，在RtABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42，解得：x=7.5故选B【考点】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的基本思路是是画出示意图，利用勾股定理列方程求解7、D【解析】【分析】先画出三角形，根据勾股定理
13、和题目设好的未知数列出方程【详解】解：如图，根据题意，设折断处离地面的高度是x尺，即，根据勾股定理，即故选：D【考点】本题考查勾股定理的方程思想，解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程8、C【解析】【分析】根据每个小网格都为正方形，设每个网格为1，由勾股定理可以求出AD、AC、 CD的长，再由勾股定理的逆定理得到ACD为等腰直角三角形，同理可得ABC为等腰直角三角形，即BAC= DAC【详解】解：如图，设正方形每个网格的边长都为1，连接CD、BC，则，为等腰直角三角形，同理：，为等腰直角三角形，故选：C【考点】本题考查勾股定理的性质、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定，解本题的关键要掌
14、握勾股定理及逆定理的基本知识9、C【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高【详解】解：设斜边长为c，高为h由勾股定理可得： c2=62+82 ，则 c=10 ，直角三角形面积 S=68=ch ，可得 h=4.8 ，故选：C【考点】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的关键10、D【解析】【分析】连接OA、OC，由垂径定理得ACBCAB5寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在RtOAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求【详解】解：连接OA、OC，如图：由题意得：C为AB的中点，则O、C、D三点共线，O
15、CAB，ACBCAB5（寸），设圆的半径为x寸，则OC（x1）寸在RtOAC中，由勾股定理得：52+（x1）2x2，解得：x13圆材直径为21326（寸）故选：D【考点】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键二、填空题1、【解析】【分析】求出AC=6，面积法求出CD=，在RtBCD中，用勾股定理得BD=，即可得BD=BC-CD=，设BE=BE=x，则DE=BD-BE=-x，在RtBDE中，用勾股定理可得BE=4，即可得到答案【详解】解：ACB=90，AB=10，BC=8，AC=6，CDAB，2SABC=ABCD=ACBC，CD=，在RtB
16、CD中，BD=，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B落在CD的延长线上，BC=BC=8，BE=BE，BD=BC-CD=8-=，设BE=BE=x，则DE=BD-BE=-x，在RtBDE中，BD2+DE2=BE2，（）2+（-x）2=x2，解得x=4，BE=4，AE=AB-BE=6，ACE的面积为AECD=6=，故答案为：【考点】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理2、【解析】【分析】设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：故答案为：【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题
17、的关键3、20m【解析】【分析】试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理【详解】将圆柱表面按一周半开展开呈长方形，圆柱高16m，底面周长8m，设螺旋形登梯长为xm，x2=（18+4）2+162=400， 登梯至少=20m故答案为：20m【考点】本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键4、【解析】【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，结合勾股定理求出斜边长，即可求出-1和A之间的线段的长，即可知A所表示的数【详解】图中直
18、角三角形的两直角边为1，2，所以斜边长为，那么-1和A之间的距离为，那么数轴上点A所表示的数为：故答案为：【考点】本题考查实数与数轴之间的对应关系以及勾股定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边的长是解答本题的关键5、【解析】【分析】如图，先利用等腰直角三角形的性质求出 ，再利用勾股定理 求出 DF，即可得出结论【详解】如图，过点作于，在中，两个同样大小的含角的三角尺，在中，根据勾股定理得，故答案为【考点】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题 的关键三、解答题1、（1）是，理由见解析；（2）2.5米【解析】【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得RtCHB是直角三角
19、形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设ACABx，则AHx1.8，在RtACH中，根据勾股定理列方程求得x即可【详解】（1），即，RtCHB是直角三角形，即CHBH，CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设ACABx，则AHx1.8，在RtACH，即 ，解得x2.5，原来的路线AC的长为2.5米【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键2、证明见解析【解析】【分析】连接AC，根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解【详解】解：连接AC，ABEBCD，AB=BC，AE=BD，
20、BE=CD，BAE=CBD，ABE+BAE=90，ABE+CBE=90，ABC=90，S四边形ABCD=，又S四边形ABCD=，AB2=AE2+BDBE-BEDE，AB2=AE2+（BD-DE）BE，即AB2=BE2+AE2【考点】本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质3、4km【解析】【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可【详解】解：设BExkm，则AE（10x）km，由勾股定理得：在RtADE中，DE2AD2+AE242+（10x）2，在RtBCE中，CE2BC2+BE262+x2，由题意可知：DECE，所以：62+x2
21、42+（10x）2，解得：x4所以，EB的长是4km【考点】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键4、水池里水的深度是15尺【解析】【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可【详解】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，解得：xl5，答：水池里水的深度是15尺【考点】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键5、见解析【解析】【分析】设斜边为c，根据勾股定理即可得出c，再由三角形的面积公式即可得出结论【详解】证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c，abch，abh，即a2b2a2h2+b2h2，即【考点】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键
