1、第三讲二项式定理ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测知识梳理知识点一二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN)这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(k0,1,2，n)叫做_二项式系数_，式中的_Cankbk_叫做二项展开式的_通项_，用Tk1表示，即通项为展开式的第_k1_项：Tk1_Cankbk_.知识点二二项展开式形式上的特点(1)项数为_n1_.(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_n_.(3)字母a按_降幂_排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按
2、_升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n.知识点三二项式系数的性质(1)0kn时，C与C的关系是_CC_.(2)二项式系数先增后减，中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大(3)各二项式系数的和：CCCC_2n_，CCCCCC_2n1_.重要结论1二项式定理中，通项公式Tk1Cankbk是展开式的第k1项，不是第k项2(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk1Cankbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时
3、，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值双基自测题组一走出误区1(多选题)下列结论错误的是(AD)ACankbk是二项展开式的第k项B(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关C(x1)n的展开式二项式系数和为2nD在(1x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项题组二走进教材2(P31例2(2)若(x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(B)A10B20C30D120解析二项式系数之和2n64，所以n6，Tk1Cx6k()kCx62k，当62k0，即当k3时为常数项，T4C20.3(P41B组T5)若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的
4、值为(B)A9B8C7D6解析令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.题组三考题再现4(2019天津)(2x)8的展开式中的常数项为_28_.解析二项展开式的通项公式为Tk1C(2x)8k()k(1)kC28k23kx84k(1)kC284kx84k，令84k0，得k2，即T3(1)2C20C28，故常数项为28.5(2017全国卷)(1)(1x)6展开式中x2的系数为(C)A15B20C30D35解析(1x)6展开式的通项Tr1Cxr，所以(1)(1x)6的展开式中x2的系数为1C1C30，故选CKAO DIAN TU PO HU DO
5、NG TAN JIU考点突破互动探究考点一二次展开式的通项公式的应用多维探究角度1求二项展开式中的特定项或特定项的系数例1 (1)(2018课标卷)(x2)5的展开式中x4的系数为(C)A10B20C40D80(2)(2019课标，4)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为(A)A12B16C20D24(3)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为(C)A10B20C30D60解析(1)Tr1C(x2)5r()rC2rx103r，当103r4时，解得r2，则x4的系数为C2240，选C(2)(1x)4的二项展开式的通项为Tk1Cxk(k0,1,2,3,4)，故(12x2)(1x)4的展
6、开式中x3的系数为C2C12.故选A(3)(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C另解：由乘法法则知5个因式中两个选y项，两个选x2项，一个选x项乘即可，x5y2的系数为CC30.角度2二项展开式中的含参问题例2 (1)(2019湖北模拟)若二项式(2x)7的展开式中的系数是84，则实数a(C)A2BC1D(2)(2019山东枣庄二模)若(x2a)(x)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(D)ABC1D2(3)(2019河北衡水中学模拟)已知二项式(2x)n的展开式中第2项与第3项
7、的二项式系数之比是25，则x3的系数为_240_.解析(1)Tr1C(2x)7r()r27rCar.令2r73，则r5.由22Ca584得a1，故选C(2)由题意得CaC30，解得a2，选D(3)由题意得：CC25，解得n6.所以Tr1C(2x)nr()rC26r(1)rx6r, 令6r3，解得：r2.所以x3的系数为C262(1)2240.名师点拨 求二项展开式中的特定项或其系数，一般是化为通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r，代回通项公式即可变式训练1(1)(角度1)(2018浙江，14)二项式()8的展开式的常数项是_7_.(2)(角
8、度2)(2019福州模拟)设n为正整数，(x)n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为(B)A112B112C60D60(3)(角度1)(2019重庆模拟)(xy)(xy)5的展开式中x2y4的系数为(B)A10B5C5D10解析(1)Tr1C()8r ()rCx，由84r0得r2，故常数项为T3C7.(2)依题意得，n8，所以展开式的通项Tr1Cx8r()rCx84r(2)r，令84r0，解得r2，所以展开式中的常数项为 T3C(2)2112.(3)(xy)5的展开式的通项公式为Tr1Cx5ryr，令5r1，得r4，令5r2，得r3，(xy)(xy)5的展开式中x2y4的
9、系数为C1(1)C5.故选B考点二二项式系数的性质与各项系数的和师生共研例3 (1)(2019河北衡水中学五调)已知(2x2)n(nN)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是(A)A84B84C24D24(2)(2019河北邯郸模拟)在(x)n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(C)A15B45C135D405(3)(2020辽宁省朝阳市质量检测)设(1x2)(2x)4a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5a6(x1)6，则a0a2a4a6_8_.解析(1)由题意知2n128，解得n7，Tr1C(2x2)7
10、r()r(1)r27rCx143r，由143r1，得r5，含项的系数为(1)522C84.选A(2)由题意64，n6，Tr1Cx6r()r3rCx6，令63，r2,32C135，选C(3)由题意，令x2得a0a1a2a3a4a5a60，令x0得a0a1a2a3a4a5a616，两式相加得2(a0a2a4a6)16，所以a0a2a4a68.故答案为8.引申在本例(3)中，(1)a0_2_；(2)a1a3a5_8_；(3)(a0a2a4a6)2(a1a3a5)2_0_；(4)a2_5_.解析记f(x)(1x2)(2x)4，则(1)a0f(1)2.(2)a1a3a58；(3)(a0a2a4a6)2(
11、a1a3a5)2f(2)f(0)0；(4)令x1t，则xt1，a2为(t22t2)(1t)4展开式中t2项的系数，又(1t)4的通项为C(t)r，a2C2(1)C2C5.名师点拨 赋值法的应用(1)形如(axb)n、(ax2bxc)m(a、b、cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可(2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.变式训练2(1)(2020黄冈质检)若(1xx2)6a0a1x
12、a2x2a12x12，则a2a4a12(C)A284B356C364D378(2)(2020湖南娄底期末)已知(x3)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为(C)A20B30C40D50解析(1)令x0，则a01；令x1，则a0a1a2a1236；令x1，则a0a1a2a121.，两式左、右分别相加，得2(a0a2a12)361730，所以a0a2a12365，又a01，所以a2a4a12364.(2)因为(x3)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，则2n32，解得n5，所以二项式为(x3)5.因为(x3)5展开式各项系数和为243，令x1，代
13、入可得(1a)524335，解得a2，所以二项式展开式的通项为Tr1C(x3)5r()r2rCx154r，所以当展开式为x7时，即x154rx7，解得r2，则展开式的系数为22C41040.故选C考点三二项式定理的应用多维探究例4 角度1整除问题(1)设aZ，且0a13，若512012a能被13整除，则a(D)A0B1C11D12(2)(2019安徽省安庆一中模拟)9C92C910C除以11所得的余数为(A)A0B1C2D1角度2近似计算(3)1.028的近似值是_1.172_.(精确到小数点后三位)解析(1)由于51521，(521)2012C522012C522011C5211，又由于13
14、整除52，所以只需13整除1a,0a13，aZ，所以a12，故选D(2)90C9C92C910C1(91)10110101(111)1011110C119C118C11111110C119C118C11，显然所得余数为0，故选A(3)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.引申若将本例(2)中“11”改为“8”，则余数为_7_.解析由题意原式10101(82)101810C892C8292101(810C892C8298278)7.余数为7.名师点拨 1整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，
15、关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断2求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.变式训练3(1)(2019江西联考)190C902C903C9010C除以88的余数是(C)A1B87C1D87(2)0.9986的近似值为_0.989_.(精确到0.001)解析(1)190C902C903C9010C(190)108910(881)10C8810C889C88C88k1(k为正整数)，所以可知余数为1.(2)0.9986(10.002)61C0.002C0.0022C0.0023C0.0024C0.0025C0.00261C0.002
16、C0.00220.988 60.989.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升二项展开式中系数最大项的问题例5 已知(x)n的展开式中前三项的系数成等差数列求n的值；求展开式中系数最大的项解析由题设，得CC2C，即n29n80，解得n8，n1(舍去)设第r1项的系数最大，则即解得r2或r3.所以系数最大的项为T37x5，T47x.名师点拨 求展开式中系数最大的项如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得变式训练4已知(x3x2)n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解析(1)易知n5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项所以T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x(2)设展开式中第r1项的系数最大Tr1C(x)5r(3x2)rC3rx，故有即解得r.因为rN，所以r4，即展开式中第5项的系数最大T5Cx(3x2)4405x
