1、北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是A B1 C 2 D 32、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线的一条渐近线的方程是（A） （B） （C） （D） 3、（东城区2016届高三上学期期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，如果，那么的值为 （D） 4、（丰台区2016届高三上学期期末）若F（c,0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A,B两点，线段AB的中点在直线上，则椭圆的离心率为（A） （B） （C） （D）5、（海淀区2016届高三上学期期末）抛物线的准
2、线与轴的交点的坐标为 A. B. C. D.6、（石景山区2016届高三上学期期末）若曲线上只有一个点到其焦点的距离为1，则的值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 参考答案1、C2、C3、A4、B5、B6、C二、填空题1、（昌平区2016届高三上学期期末）双曲线的渐近线方程为_；某抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为_.2、（海淀区2016届高三上学期期末）已知双曲线的一条渐近线过点,则其离心率为3、（西城区2016届高三上学期期末）双曲线C：的渐近线方程为_；设为双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，且，则_.参考答案1、2、3、三、解答题1、（昌平区2016届
3、高三上学期期末） 已知椭圆C的离心率为,点在椭圆C上直线过点，且与椭圆C交于，两点，线段的中点为（I）求椭圆C的方程； （）点为坐标原点，延长线段与椭圆C交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说明理由2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知圆的切线与椭圆相交于，两点（）求椭圆的离心率；（）求证：；（）求面积的最大值.3、（大兴区2016届高三上学期期末）已知椭圆上的点到两焦点的距离之和等于.（）求椭圆的方程；（）经过椭圆右焦点的直线(不经过点)与椭圆交于两点，与直线：相交于点，记直线的斜率分别为.求证：为定值.4、（东城区2016届高三上学期期末）已知椭圆（）的焦
4、点是，且，离心率为（）求椭圆的方程；（）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围5、（丰台区2016届高三上学期期末）已知定点和直线上的动点，线段MN的垂直平分线交直线 于点，设点的轨迹为曲线. （）求曲线的方程； （）直线交轴于点，交曲线于不同的两点，点关于x轴的对称点为点P.点关于轴的对称点为，求证：A，P，Q三点共线.6、（海淀区2016届高三上学期期末）已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（）求椭圆的方程；（）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为. 是否存在点，使得? 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 7、（石景山区2016届高三上学期期末）已知椭圆的焦距
5、为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（）求椭圆的标准方程；（）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，.证明：经过线段的中点(其中为坐标原点) 8、（西城区2016届高三上学期期末）已知椭圆C:的离心率为，点在椭圆C上. （）求椭圆C的方程；（）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线， 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.参考答案1、解：（I）由题意得 解得.所以椭圆的方程为 .5分（）四边形能为平行四边形法一：（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为 满足题意
6、；（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然.，将代入得，故，于是直线的斜率，即由直线，过点，得，因此的方程为设点的横坐标为由得，即四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是由，得满足所以直线的方程为时，四边形为平行四边形 综上所述：直线的方程为或 . .13分法二：（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为 满足题意；（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然，将代入得，故，.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即则. 由直线，过点，得.则，则 .则 满足所以直线的方程为时，四边形为平行四边形 综上所述：直线的方程为或 . .13分2、解：（）由题意可知，所以所以所以椭圆的离心率为 3
7、分（）若切线的斜率不存在，则 在中令得不妨设，则所以 同理，当时，也有 若切线的斜率存在，设，依题意，即由，得显然设，,则，所以.所以 所以综上所述，总有成立 9分（）因为直线与圆相切，则圆半径即为的高， 当的斜率不存在时，由（）可知则.当的斜率存在时，由（）可知， 所以 （当且仅当时，等号成立）所以此时, .综上所述，当且仅当时，面积的最大值为14分3、（）由椭圆定义知：，所以 1分 所以，椭圆，将点的坐标代入得。3分 所以，椭圆的方程为 4分 （）右焦点 由题意，直线有斜率，设方程为 1分 令，得点，所以； 3分 又由消元得：，显然， 设，则 5分 所以， 7分 9分 所以，即为定值。 1
8、0分方法二： 7分 9分 所以，即为定值。 10分4、解（）因为椭圆的标准方程为，由题意知解得所以椭圆的标准方程为5分（）因为，当直线的斜率不存在时，则，不符合题意.当直线的斜率存在时，直线的方程可设为由 消得 （*） 设，则、是方程（*）的两个根，所以， 所以，所以所以 当时，取最大值为，所以 的取值范围.又当不存在，即轴时，取值为 所以的取值范围. 13分5、（）有题意可知：，即点到直线和点的距离相等.根据抛物线的定义可知：的轨迹为抛物线，其中为焦点.设的轨迹方程为：，所以的轨迹方程为：. 5分（）由条件可知，则.联立,消去y得，.设，则，.因为 ，所以 ,三点共线 . 13分6、解：（）
9、因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以.1分又离心率为，所以，所以,.2分所以,.3分所以的方程为.4分（）法一：设点，设直线的方程为，.5分与椭圆方程联立得,化简得到,.6分因为为上面方程的一个根，所以，所以.7分所以.8分因为圆心到直线的距离为，.9分所以,.10分因为，.11分代入得到.13分显然，所以不存在直线，使得. .14分法二：设点，设直线的方程为，.5分与椭圆方程联立得化简得到,由得. .6分显然是上面方程的一个根，所以另一个根，即.7分由，.8分因为圆心到直线的距离为，.9分所以.10分因为，.11分代入得到,.13分若，则，与矛盾，矛盾，所以不存在直线，使得. .14分法三：
10、假设存在点，使得，则，得. .5分显然直线的斜率不为零，设直线的方程为，.6分由，得,由得，.7分所以.9分同理可得，.11分所以由得，.13分则，与矛盾，所以不存在直线，使得. .14分7、（）解：由已知可得， 2分解得， 所以椭圆的标准方程是. 4分（）证明：由（）可得，的坐标是，设点的坐标为，则直线的斜率. 5分当时，直线的斜率.直线的方程是.当时，直线的方程是，也符合的形式设，将直线的方程与椭圆的方程联立， 消去，得， 8分其判别式. 所以， . 10分设为的中点，则点的坐标为. 12分所以直线的斜率，又直线的斜率， 所以点在直线上，即经过线段的中点. 14分8、（）解：由题意，得，
11、2分 又因为点在椭圆上， 所以， 3分 解得， 所以椭圆C的方程为. 5分 （）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为. 6分 证明如下： 假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.当直线的斜率存在时，设的方程为. 7分 由方程组 得， 8分 因为直线与椭圆有且仅有一个公共点， 所以，即. 9分 由方程组 得， 10分 则. 设，则， 11分 设直线， 的斜率分别为， 所以 ， 12分 将代入上式，得. 要使得为定值，则，即，验证符合题意. 所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值. 13分 当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 此时，圆与的交点也满足.综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值. 14分
