1、第24讲 函数与方程的综合问题1考题展望函数与方程综合问题，除了需要借助于方程的理论解决问题外，常还需涉及到函数图象，函数的单调性以及函数的极值和最值等问题由于函数的零点是新课标中新增内容，因此，它是新课标高考重点考查内容之一，小题，大题均有可能出现2高考真题考题1(2012 福建)对于实数 a 和 b，定义运算“*”：a*ba2ab，abb2ab，ab，设 f(x)(2x1)*(x1)，且关于 x 的方程 f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 x1x2x3 的取值范围是_【解析】填(1 316，0)由新定义得 f(x)（2x1）2（2x1）（x1），2x1x1（x
2、1）2（2x1）（x1），2x1x1 2x2x，x0 x2x，x0，所以可以画出草图，若方程 f(x)m 有三个根，则 0m14，且当 x0 时方程可化为x2xm0，易知x2x3m；当 x0 时方程可化为 2x2xm0，可 解 得 x1 1 18m4，所 以 x1x2x3 m1 18m4，又易知当 m14时 m1 18m4有最小值，所以141 34m1 18m40，即1 316x1x2x30.【命题立意】本题属于新定义的创新型试题，主要考查分段函数解析式、二次函数的图象、方程的根与函数的零点、不等式的性质等知识及数形结合的思想和推理与计算能力又易知当 m14时 m1 18m4有最小值，所以14
3、1 34m1 18m40，即1 316x1x2x30.【命题立意】本题属于新定义的创新型试题，主要考查分段函数解析式、二次函数的图象、方程的根与函数的零点、不等式的性质等知识及数形结合的思想和推理与计算能力考题2(2012 江苏)若函数 yf(x)在 xx0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 yf(x)的极值点已知 a，b 是实数，1 和1 是函数 f(x)x3ax2bx 的两个极值点(1)求 a 和 b 的值；(2)设函数 g(x)的导函数 g(x)f(x)2，求 g(x)的极值点；(3)设 h(x)f(f(x)c，其中 c2，2，求函数yh(x)的零点个数【解析】(1)由 f(x)
4、x3ax2bx，得 f(x)3x22axb.1 和1 是函数 f(x)x3ax2bx 的两个极值点，f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得 a0，b3.(2)由(1)得，f(x)x33x，g(x)f(x)2x33x2(x1)2(x2)，令 g(x)0，解得 x1x21，x32.当 x2 时，g(x)0；当2x0，x2 是 g(x)的极值点 当2x1 时，g(x)0，x1 不是 g(x)的极值点 g(x)的极值点为2.(3)令 f(x)t，则 h(x)f(t)c.先讨论关于 x 的方程 f(x)d 根的情况，d2，2 当|d|2 时，由(2)可知，f(x)2 的两个不同的根为 1 和2，注
5、意到 f(x)是奇函数，f(x)2 的两个不同的根为1 和 2.当|d|0，f(1)df(2)d2d0，于是 f(x)是单调增函数，从而 f(x)f(2)2，此时 f(x)d 在(2，)无实根 当 x(1，2)时，f(x)0，于是 f(x)是单调增函数 又f(1)d0，yf(x)d 的图象不间断，所以 f(x)d 在(1，2)内有唯一实根 同理，f(x)d 在(2，1)内有唯一实根 当 x(1，1)时，f(x)0，f(1)d0，yf(x)d 的图象不间断，f(x)d 在(1，1)内有唯一实根 因此，当|d|2 时，f(x)d 有两个不同的根 x1，x2 满足|x1|1，|x2|2；当|d|2
6、时，f(x)d 有三个不同的根 x3，x4，x5，满足|xi|2，i3，4，5.现考虑函数 yh(x)的零点：()当|c|2 时，f(t)c 有两个根 t1，t2，满足|t1|1，|t2|2，而 f(x)t1 有三个不同的根，f(x)t2 有两个不同的根，故 yh(x)有 5 个零点()当|c|2 时，f(t)c 有三个不同的根 t3，t4，t5，满足|ti|2，i3，4，5，而 f(x)ti(i3，4，5)有三个不同的根，故 yh(x)有 9 个零点 综上所述，当|c|2 时，函数 yh(x)有 5 个零点；当|c|2 时，函数 yh(x)有 9 个零点【命题立意】本题主要考查函数的概念和性
7、质、导数的运算及应用、方程的根与函数的零点，考查运算能力、数形结合和分类讨论思想1函数零点的几个等价关系方程 f(x)0 有实根函数 yf(x)的图象与x 轴有交点函数 yf(x)有零点2零点存在定理：如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点3用二分法求函数零点的近似值的方法与步骤第一步：确定区间a，b，验证：f(a)f(b)0，给定精确度；第二步：求区间(a，b)的中点 x1；第三步：计算 f(x1)若 f(x1)0，则 x1 就是函数的零点，若 f(a)f(x1)0，则令 bx1，若 f(x1)f
8、(b)0，则令 ax1；第四步：判断是否达到精确度，即若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)，否则重复第二、三、四步1函数零点的判定及应用例1(1)若函数 f(x)axx2(a0，a1)的零点 x0(0，1)，则 g(x)loga(x1)的图象是()C【解析】由 f(x)axx2 的零点 x0(0，1)得 f(0)f(1)(a02)(a11)0，a1，因此 g(x)loga(x1)是(1，)上的增函数，故选 C.(2)已知函数 f(x)log3(a3x)x2，若 f(x)存在零点，则实数 a 的取值范围是()A6，)B9，)C(，66，)D(，99，)【解析】由题意知 log3(a3x)x
9、20，即 log3(a3x)2x，即 a3x32x 有解，则 a3x 93x6.故选 A.A(2)已知函数 f(x)log3(a3x)x2，若 f(x)存在零点，则实数 a 的取值范围是()A6，)B9，)C(，66，)D(，99，)【解析】由题意知 log3(a3x)x20，即 log3(a3x)2x，即 a3x32x 有解，则 a3x 93x6.故选 A.(3)若 x1 满足 2x2x5，x2 满足 2x2log2(x1)5，则 x1x2()A.52 B3 C.72 D4C【解析】由题意 2x12x15 2x22log2(x21)5 所以 2x152x1，x1log2(52x1)即 2x1
10、2log2(52x1)令2x172t，代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1)52t2log2(t1)与式比较得tx2，于是2x172x2.故选C.【点评】函数的零点即相应方程的根，其判定方法常有零点存在定理法和数形结合法两种2根的分布与二分法及应用例2(1)已知函数 f(x)x2ax2b 的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上，则 2a3b 的取值范围是(2，9)【解析】由题可得f（0）0f（1）0f（2）0，即b0a2b10，ab20 作出二元一次不等式组表示的可行域，如图中阴影部分可得 22a3b9，即 2a3b 的取值范围是(2，9)(2)为了求方程
11、 lgx3x 的近似解，设计了如图所示的程序框图，其输出的结果为2.5【解析】当 a2，b3 时，x02.5，此时 f(a)lgaa3lg223lg 2100，f(x0)lgx0 x03lg2.52.53lg 2.5100，此时 f(a)f(x0)0，进行替换赋值 a2.5，此时不满足|ab|0.25，进行循环；当 a2.5，b3 时，x02.75，此时 f(a)lgaa3lg2.52.53lg 2.5100，f(x0)lgx0 x03lg2.752.753lg2.754 100，此时不满足 f(a)f(x0)0，进行替换赋值 b2.75，此时 a2.5，满足|ab|0.25，输出 a 的值为
12、 2.5.【点评】一元二次方程根的分布问题求解实质是将方程的根的问题转化为函数的零点问题，利用二次函数的图象通过数形结合进行探求；而二分法求零点的近似解即依据解的精确度，通过不断缩小零点的存在区间而找到3含参变量的函数零点(方程的根)问题研究例3已知函数 f(x)asinxcosx12cos2x(a0)，其定义域为(0，)，f(x)为 f(x)的导函数(1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调增区间；(2)若方程 f(x)4f2(x)0 的一个实根为 x0，且 x0(6，4)，求非零实数 a 的取值范围【解析】(1)a1，f(x)sinxcosx12cos2xsin2x42cos2x f(x)
13、2cos2x（42cos2x）sin2x（4sin2x）（42cos2x）2 8cos2x4cos22x4sin22x（42cos2x）28cos2x4（42cos2x）2 由 f(x)0，且 x(0，)得 cos2x12，可求得 02x23 或43 2x2，则 0 x3 或23 x.故 f(x)的单调增区间是(0，3)和(23，)(2)f(x)a（8cos2x4）（42cos2x）2 f(x0)4f(x0)2a（8cos2x04）4a2sin22x0（42cos2x）20 a0 则 a8cos2x044sin22x0 2cos2x011cos22x0，令 tcos2x0(0，12)，g(t)
14、2t11t2 g (t)2（1t2）（2t1）（2t）（1t2）22（t2t1）（1t2）2，对于 t(0，12)，恒有 g(t)0，即 g(t)在(0，12)为递增函数 g(0)g(t)g(12)即 1g(t)83，故 a(1，83)，【点评】本例的第(2)小问是已知方程的根的存在范围求参变量的取值范围问题，求解时一般先分离变量，然后依据范围相同则能相等解决4函数零点的探究性问题例4已知函数 f(x)lnx，g(x)x2ax.(1)当 a0 时，过函数 g(x)图 象 上 位 于 第 一 象 限 内 一 点B(6，g(6)作 x 轴的垂线，垂足为 A，函数 g(x)在点 M(t，g(t)(0
15、t6)处的切线交 AB 于 P，交x 轴于 Q(如图所示)，若三角形 APQ 的面积为 S(t)，求 S(t)的最大值；(2)设函数 F(x)2f(x)g(x)，其导数为 F(x)，若函数 F(x)的图象交 x 轴于 C(x1，0)，D(x2，0)两点，且线段 CD 的中点为 N(x0，0)，试问 x0 是否是方程F(x)0 的根，请说明理由【解析】(1)由已知及 a0 得 g(x)x2，则 g(x)2x，从而函数 g(x)在点 M(t，g(t)处的切线方程为yt22t(xt)，即 y2txt2，令 y0 得，Q(t2，0)，令 x6 得 P(6，12tt2)，则三角形 APQ 的面积 S(t
16、)12(6t2)(12tt2)14t36t236t，其中 0t6.S(t)34t212t3634(t4)(t12)又 0t6，令 S(t)0 得 4t6，S(t)0 得 0t4.即当 t(0，4)时，S(t)递增，t(4，6)时，S(t)递减 故当 t4 时，S(t)的最大值 S(t)12(642)(12442)64.(2)由于 F(x)2lnxx2ax，所以 F(x)2x2xa，假设 x0 是方程 F(x)0 的根，即 F(x0)0 成立，且 0 x1x2.则2lnx1x12ax10 2lnx2x22ax20 x1x22x0 2x02x0a0 由得 2lnx1x2(x12x22)a(x1x2
17、)0，从而 a2lnx1x2x1x22x0，由得 a 2x02x0，所以lnx1x2x1x2 1x0，即lnx1x2x1x22x1x2，即 lnx1x22（x1x2）x1x22x1x22x1x21 令 nx1x2，设 h(n)lnn2n2n1(0n1)，由于 h(n)1n4（n1）2（n1）24nn（n1）2（n1）2n（n1）20，可知 h(n)在(0，1)上是单调递增函数，所以 h(n)h(1)0，即lnn2n2n1，从而lnx1x22x1x22x1x21与式矛盾，故假设不成立，即 F(x0)0.所以 x0 不是方程 F(x)0 的根【点评】探究函数的零点或方程的根时，先依题设情境利用数形
18、结合思想进行存在性或存在范围的推测与猜想，建立推导目标，然后进行严格的运算求解和推理论证完成探究备选题例5已知函数 g(x)ax3bx2cx(aR且 a0)，g(1)0，且 g(x)的导函数 f(x)满足f(0)f(1)0.设 x1、x2 为方程 f(x)0 的两根(1)求ba的取值范围；(2)若当|x1x2|最小时，g(x)的极大值比极小值大43，求 g(x)的解析式【分析】第(1)问由 g(1)0 得 cba，代入 f(0)f(1)0，得到一个关于 a、b 的不等式，可求出ba的取值范围 第(2)问先由|x1x2|取最小值得到 ab，然后求 g(x)的极大、极小值，再由 g(x)极大值g(
19、x)极小值43求出 a 值，得到 g(x)的解析式【解析】(1)g(x)ax3bx2cx，g(1)abc0，即 cba.又 f(x)g(x)3ax22bxc，由 f(0)f(1)0，得 c(3a2bc)0，即(ba)(3b2a)0.a0，(ba1)(3ba2)0，解得23ba1.又方程 f(x)3ax22bxc0(a0)有两根，0.而(2b)243ac4b212a(ba)4(b32a)23a20 恒成立，于是，ba的取值范围是23，1(2)x1、x2 是方程 f(x)0 的两根，即 3ax22bxc0 两根为 x1、x2，x1x22b3a，x1x2 c3aba3a b3a13，|x1x2|2(
20、x1x2)24x1x2(2b3a)24(b3a13)49(ba)243ba4349(ba32)213.23ba1，当且仅当ba1，即 ab 时，|x1x2|2 取最小值，即|x1x2|取最小值 此时，g(x)ax3ax2，f(x)3ax22axax(3x2)令 f(x)0，得 x123，x20.由上表可知，g(x)的极大值为 g(23)427a，极小值为 g(0)0，由题设知 427a043，解得 a9，此时 g(x)9x39x2.由上表可知，g(x)的极大值为 g(0)0，极小值为 g(23)427a，由题设知 0 427a43，解得 a9，此时 g(x)9x39x2.【点评】本题的难点是第
21、(2)问，有两处值得思考：|x1x2|取得最小值时，会有怎样的结论？怎样求出 g(x)的极大、极小值？在问题的求解过程中，由韦达定理建立|x1x2|2 关于ba的函数关系式，由第(1)问中ba23，1求得|x1x2|2 取最小值，即|x1x2|取得最小值时的条件是ab.然后在求 g(x)的极大、极小值时，需要对 a 分 a0、a0 进行讨论，得到相应的极大、极小值1求函数的零点(方程的根)除充分利用方程的理论外，还要注意数形结合或利用“二分法”求其的近似解2判断含参数较复杂的函数零点的个数时，应利用导数作为工具，研究函数的单调性，甚至求出其极值和最值，作出其大致图象，再根据图象判断零点的个数此
22、外，含参问题，还要注意分类讨论1函数 f(x)(13)x x的零点所在区间为()A(0，13)B(13，12)C(12，1)D(1，2)B【解析】f(13)(13)13(13)120，f(12)(13)12(12)120，f(13)f(12)0，故零点所在区间为(13，12)【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理 的 应用，应 用零点 定 理解题 时 要注意，由f(a)f(b)0f（1）0b01a2b0，此时，问题转化为线性规划问题 如图，易得满足此不等式组的点(a，b)在三角形ABC 的内部，其中 A(3，1)，B(1，0)，C(2，0)，而|a2b3|5|a2b3|5，由于|a2b3|
23、5表示点(a，b)到直线 l：a2b30的距离，由图象可知 A 点、B 点到 l 的距离分别为最远和最近距离，即|1203|5|a2b3|5|3213|5，得 4|a2b3|8，故|a2b3|的取值范围为(4，8)5已知 f(x)|x21|x22x，则函数 f(x)0的所有零点是x1 32或 x12【解析】f(x)|x21|x22x0.分两种情况讨论：当 x210，即 x1 或 x1 时，方程化为 2x22x10，解得 x1 32.因为 01 321，舍去，所以 x1 32.当 x210，即1x1 时，方程化为 12x0，解得 x12.综上得：函数 f(x)0 的所有零点是 x1 32或x12
24、.6函数 f(x)x2（x0）4sinx（0 x），则集合Ax|f(f(x)0中元素的个数有个5【解析】当 x0 时，f(f(x)0 总成立；当 x0 时，f(f(x)f(x2)0，则 4sinx20，x2(0，此时 x；当 0 x时，f(f(x)f(4sinx)0，则 4sinx0 或 4sinx，即 x或 sinx4(此处有两解)，故 A 中共有 5 个元素7设函数 f(x)表示数轴上的整数点与实数 x 对应点之间距离的最小值如：当 x12，12时，x 与 0 的距离最小，此时 f(x)|x0|x|；当 x52，72时，x 与 3 的距离最小，此时 f(x)|x3|.(1)当 xk12，k
25、12(kZ)时，写出用绝对值符号表示的 f(x)的解析式；(2)试问 f(x)的图象是否具有对称性？若具有对称性，试举例说明；若不具有对称性，请说明理由；(3)若 e12a1，求证：关于 x 的方程 f(x)loga x0 有且只有一实根【解析】(1)当 xk12，k12(kZ)时，由定义可知；k 为与 x 最近的整数，当 f(x)|xk|，xk12，k12(kZ)(2)对任何 xR，函数 f(x)都存在，且存在kZ，满足 xk12，k12，f(x)|xk|；由 xk12，k12可得出xk12，k12(kZ)由(1)的结论可知 f(x)|x(k)|xk|f(x)；所以对任意 xR 函数 f(x
26、)是偶函数，故 f(x)的图象具有关于 y 轴对称的对称性(3)f(x)loga x0，即|xk|12logax0，xk12，k12(kZ)当 x1 时，|xk|012logax，所以|xk|12logax0 没有大于 1 的实根；容易验证 x1 为方程|xk|12logax0 的实根；(此时 k1)12x1 时，方程|xk|12logax0 可化为1x12logax0，设 g(x)1x12logax，(12x1)，则 g(x)(12xlna1)(12xlne121)1x10.所以当12x1 时，g(x)为增函数，g(x)g(1)0，0 x12时，方程|xk|12logax0 可化为x12lo
27、gax0；设(x)x12logax，(0 x12)，显然(x)为增函数，所以(x)(12)0 所以当 0 x12时，(x)0 无实根，即|xk|12logax0 在 0 x12无实根；综上可得 f(x)loga x0 有且只有一个实根为 x1.8已知函数 f(x)2lnx，g(x)12ax23x.(1)设直线 x1 与曲线 yf(x)和 yg(x)分别相交于点 P、Q，且曲线 yf(x)和 yg(x)在点 P、Q 处的切线平行，求实数 a；(2)在(1)的条件下，若方程12f(x21)g(x)3xk有四个不同的实根，求实数 k 的取值范围；(3)设函数 F(x)满足 F(x)xf(x)g(x)
28、3x2(a6)x1.其中 f(x)，g(x)分别是函数f(x)与 g(x)的导函数；试问是否存在实数 a，使得当 x(0，1时，F(x)取得最大值，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由【解析】(1)f(1)2，且 P(1，0)l 方程为 y2(x1)即 2xy20 又 g(1)a32，a1.(2)由(1)可知 g(x)12x23x，则方程12f(x21)g(x)3xk 可化为 ln(x21)12x2k.令 y1ln(x21)12x2，则 y1 2xx21xx（x1）（x1）x21 且(y1)极大值ln212，(y1)极小值0.又方程有四个不同实数根，函数 yln(x21)12x2 为
29、偶函数，且当 x21e3(x e311)时，ln(x21)12x2312(e31)7212e30(y1)极小值所以 0kln212.(3)F(x)xf(x)g(x)3x2(a6)x1.F(x)(a3)x2(a3)x1 当 a3 时，F(x)6x1 在(0，1上是减函数，可知 F(x)取不到最大值 当 a3 时，F(x)的对称轴为 xa32（a3），若 x(0，1时，F(x)取得最大值则a32（a3）0解得 a3 或 a3，从而 a3.当 a3 时，若 x(0，1时，F(x)取得最大值，则a32（a3）12时，此时，a 综上所述，存在实数 a(，3)(3，)，使得当 x(0，1时，F(x)取得最大值
