1、北师大版选修2-2 创设问题，导入新课前面我们已经学习了基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则，对于简单函数求导，关键是将函数关系式转化为能够直接利用基本初等函数的导数公式.那么，对于非简单函数，例如，如何求其导数呢?本节课我们一起来研究简单复合函数的求导法则.312yx 理解复合函数的概念，分清复合函数的复合关系，会将一个复合函数分解为两个（或多个）基本函数；掌握复合函数的求导法则，会求简单复合函数的导数，并能解决一些简单的相关问题.学习目标1.复合函数的概念问题1：你能给出复合函数的定义吗?对于函数x2siny,若uufsin)(yxxu2)(,则这三个函数之间具有怎样的关系呢?解决
2、问题，构建新知给定 x 的一个值,通过对应法则 ,就得到了一个u的值，再通过对应法则 f,就唯一确定了 的值，这样 是 x 的函数.函数x2siny 是由函数uufsin)(y和xxu2)(复合而成的.我们把函数x2siny 称为函数uufsin)(y和xxu2)(的复合函数.yy抽象概括，形成概念一般地，对于两个函数和，给定 的一个值，就得到了的值，进而确定了 的值，这样 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数,记作.其中 为中间变量.)(yufbaxxu)(xux)(xu)(yxf u注：对复合函数进行分解时，由外向内，层层分解.1yxe例如：函数是由和复合而成的.1yxeue
3、y1 xu)(yufyy指数位置看作一个整体，引入中间变量u2.复合函数的求导法则问题2：如何求简单复合函数的导数呢？如何求复合函数的导数呢？x2siny xx2cos)2(siny成立吗？由于函数不是基本初等函数，所以不能直接利用基本初等函数的导数公式进行求导，因此得出不成立.x2siny xx2cos)2(siny，uucosy 22uxx讨论结果：xxxcossin22sinyxxxcossin2 xxxxcossincossin2xx22sincos2x2cos2易知，uyxuxu2cos2cos2xu uyyx故复合而成的，请同学们求出，和,并分析三者之间具有怎样的关系呢？xyuyx
4、u函数x2siny 是由uufsin)(y和xxu2)(已知函数213yx，显然函数213yx是由函数2yu和13 xu复合而成的.请求出xyuy,和，xu并分析各导数之间的关系.讨论结果：，uu2y 3u x16913y22xxx618yxx易知，61813632uxxuyxu因此，xu uyyx抽象概括，揭示法则如果复合函数 xf y是由函数)(yuf和)(xu复合而成的，那么复合函数 xf y的导数xy 和函数、)(yuf)(xu的导数、uyxu 之间具有如下关系：xuxuyxfy xufxfxy即这就是复合函数的求导法则，即 y对 x 的导数等于y对 u 的导数与 u对x 的导数的乘积
5、.对于复合函数的求导法则可以推广到复合关系为两层以上的情形.3.复合函数的求导步骤问题3：你能总结出简单复合函数的求导步骤吗？第一步：由外向内将复合函数分解成两个(或多个)基本函数，用到中间变量，即“分解”；第二步：将分解成的基本函数进行求导，即“求导”；第三步：将第二步所得各导数相乘，即“相乘”；第四步：将中间变量还原成原来自变量的函数，即“回代”.简记为：分解求导相乘回代.典例透析，发展思维例1 指出下列函数的复合关系.32y1x)4(siny2x)1ln(y3x)23(cosy42x分析：将复合函数进行分解时，从外向内，一层一层地分析，把复合函数分解为两个（或多个）基本函数.解（1）函数
6、32yx是由函数21yuu 与32 xu复合而成的.正确分解复合关系，关键在于把哪一部分看作一个整体，合理引入中间变量，由外向内，层层分解，从而知道复合函数是由哪些基本函数复合而成的.（2）函数)4(sinyx是由函数usiny 与4xu复合而成的.（3）函数)1ln(yx是由函数ulny 与1 xu复合而成的.（4）函数)23(cosy2x是由函数、2yuvucos与23 xv复合而成的.例2 求下列函数的导数.312y1x 13y2x分析：本例题中的函数都是复合函数，求复合函数的导数时，关键先要分清复合函数的复合关系，再根据复合函数的求导法则进行求导，注意最后一定要“回代”.解（1）函数是
7、由函数复合而成的.根据复合函数的求导法则，得312yx12y3xuu 和xu uyxy 2231262312xuxu是由函数（2）函数复合而成的.根据复合函数的求导法则，得13yx21yuu 与13 xuxu uyxy1321xu32121uu231323x求复合函数的导数时，关键在于分清复合关系，引入中间变量，明确复合层次，由外向内，将复合函数分解为两个（或多个）基本函数，再对分解成的基本函数进行求导，一定要明确是哪个变量对哪个变量求导，最后根据复合函数的求导法则求导.在熟练掌握复合函数的求导法则后，不必再写出复合函数的分解过程，中间步骤可以省略，直接运用求导法则，由外向内，逐层求导，直到关
8、于自变量求导.例如本例中（2）的解题过程可以写成13231313211313y2121xxxxxx例3 求曲线1yxxe 在点（1,1）处的切线方程.分析：解决本题的关键是求曲线的切线的斜率，由导数的几何意义，先求出切线斜率，再根据点斜式方程可写出切线方程.解11yxxexe111xxeexx11 xxxee所以曲线在点（1,1）处的切线斜率为21 xyk故所求切线方程为121-yx即12y x实践运用，巩固新知1.求下列函数的导数.312y1x）（364lny2x）（13ln52siny3xx）（3.求曲线xx31y2 在点214，处的切线方程.2.已知函数 1axxf且 11 f,求实数a 的值.4.一做简谐振动的小球相对于平衡点的距离s与运动的时间t 满足,求小球在3t时的瞬时速度.)32sin(10tts课堂小结，知识整合1.复合函数的概念知识要点：数学思想方法：2.复合函数的求导法则3.复合函数的求导步骤2.算法的思想1.特殊到一般的思想3.转化与化归的思想4.整体的思想
