1、第二章等式与不等式本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知xR,A=2x2+2x,B=x2+x-1,则A与B的大小关系是()A.A=BB.ABC.A1B.x|x1C.x|x1或x=-2D.x|x-2或x=13.已知a,b,c是ABC的三条边的长,且满足a2+bc=b2+ac,则ABC一定是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.若不等式组x+51的解集是x|x1,则m的取值范围是()A.m1B.m1C.m0D.m05.若ab0,则下列不等式中一定
2、成立的是()A.bab+1a+1B.a+1ab+1bC.a+1bb+1aD.2a+ba+2bab6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件7.若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y4m2-3m有解,则实数m的取值范围是()A.(-1,4)B.(-,-1)(4,+)C.(-4,1)D.(-,0)(3,+)8.已知正数a,b满足a+b=4,则1a+1+1b+3的最小值为()A.1B.2
3、C.4D.12二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.已知ab1b B.ab1C.a2b2D.a2ab10.若x2+xy-2y2=0,则x2+3xy+y2x2+y2的值可以为()A.-52B.-15C.15D.5211.给出下列四个条件:xt2yt2;xtyt;x2y2;01xy的充分条件的是()A.B.C.D.12.若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是()A.ab14B.a+b2C.1a+1b4D.a2+b212三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
4、案填在题中横线上)13.关于x的不等式ax-b0的解集是.14.阅读理解:(1)特例运算:(x+1)(x+2)=,(x+3)(x-1)=;(2)归纳结论:(x+a)(x+b)=x2+()x+;(3)尝试运用:直接写出计算结果(m+99)(m-100)=;(4)解决问题:根据你的理解,把下列多项式因式分解:x2-5x+6=,x2-3x-10=;(5)拓展延伸:若x2+px-8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是.15.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60x120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x-k+4500x L,其中k为常数
5、.当汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为.16.在实数集R中定义一种运算“*”,具有性质:(1)对任意a,bR,a*b=b*a;(2)对任意aR,a*0=a;(3)对任意a,bR,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c.则函数y=x*1x(x0)的最小值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积.例如,由图1可得等式:(a+2
6、b)(a+b)=a2+3ab+2b2.(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形,试用不同的形式表示这个大正方形的面积,你能发现什么结论?请用等式表示出来;(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;(3)如图3,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的面积.18.(12分)解关于x的不等式x2+(a-2)x-2a0.19.(12分)已知不等式ax2-3x+20的解集为A
7、=x|1x412ab,即a2+b22ab;若a=b,可以拼成如图的正方形,从而得到a2+b2=412ab,即a2+b2=2ab.于是我们可以得到结论:a,b为正数时,总有a2+b22ab,且当a=b时,代数式a2+b2取得最小值2ab.另外,我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论.(a-b)2=a2-2ab+b20,a2+b22ab,对于任意实数a,b,总有a2+b22ab,且当a=b时,代数式a2+b2取得最小值2ab.(1)探究方法:仿照上面的方法,对于正数a,b,试比较a+b和2ab的大小关系;(2)类比应用:利用上面所得到的结论,完成填空:x2+1x2,代数式x2+1x2有最值,为
8、;当x0时,x+9x,代数式x+9x有最值,为;当x2时,x+5x-2,代数式x+5x-2有最值,为;(3)问题解决:若一个矩形的面积固定为n,则它的周长是否会有最值呢?若有,求出周长的最值及此时矩形的长和宽;若没有,请说明理由,由此你能得到怎样的结论?22.(12分)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律,计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为x(单位:m)
9、,三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位:m2).(1)求S关于x的函数关系式;(2)求S的最大值.答案全解全析第二章等式与不等式本章达标检测1.B2.C3.A4.D5.C6.B7.B8.D9.CD10.BD11.AD12.CD一、单项选择题1.BA-B=(2x2+2x)-(x2+x-1)=x2+x+1=x+122+340,AB.2.C当x=-2时,00成立;当x-2时,原不等式等价于x-10,即x1.故原不等式的解集为x|x1或x=-2.3.A等式变形为(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+b-c)=0,a+b-c0,a-b=0,即a=b,ABC一定是等腰三角形.无法判
10、断其是不是等边三角形或等腰直角三角形.故选A.4.Dx+51可化为x1,x1+m,因为不等式组x+51的解集是x|x1,所以1+m1,解得m0.5.C对于A,ba-b+1a+1=b-aa(a+1),因为ab0,所以b-aa(a+1)0,即bab+1a+1,故A错误;对于B,取a=12,b=15,则a+1a=52b0,所以(a-b)(ab+1)ab0,即a+1bb+1a,故C正确;对于D,2a+ba+2b-ab=(b-a)(b+a)b(a+2b),因为ab0,所以(b-a)(b+a)b(a+2b)0,故2a+ba+2bab,故D错误.6.B若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是800x
11、元,仓储费用是x8 元,总的费用是800x+x82800xx8=20元,当且仅当800x=x8,即x=80时取等号.7.B不等式x+y4m2-3m有解,x+y4min0,y0,且1x+4y=1,x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+224xyy4x+2=4,当且仅当4xy=y4x,即x=2,y=8时取等号,x+y4min=4,m2-3m4,即(m+1)(m-4)0,解得m4,故实数m的取值范围是(-,-1)(4,+).8.D因为a+b=4,所以(a+1)+(b+3)=8,所以1a+1+1b+3=181a+1+1b+3(a+1)+(b+3)=182+b+3a+1+a+1b+3182+2b
12、+3a+1a+1b+3=18(2+2)=12,当且仅当a+1=b+3且a+b=4,即a=3,b=1时,等号成立,所以1a+1+1b+3的最小值为12.二、多项选择题9.CD易知A、B不正确;由ab|a|,可知0|b|a|,由不等式的性质可知|b|2b2,故C正确;a|a|,a0,aab,故D正确.故选CD.10.BD由x2+xy-2y2=0得(x+2y)(x-y)=0,得x=-2y或x=y.当x=-2y时,x2+3xy+y2x2+y2=4y2-6y2+y24y2+y2=-15;当x=y时,x2+3xy+y2x2+y2=y2+3y2+y2y2+y2=52.11.AD由xt2yt2可知,t20,所
13、以xy,因此xt2yt2是xy的充分条件.由xtyt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小关系,故xtyt不是xy的充分条件.令x=-2,y=1,则x2y2,但xy2不是xy的充分条件.由01x0,y0,1x-1y0,即y-xxy0,所以y-xy.因此01xy的充分条件.故选AD.12.CDa0,b0,且a+b=1,1=a+b2ab,ab14,A错误;(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab1+1=2,a+b2,B错误;1a+1b=a+bab=1ab4,C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-214=12,D正确.故选CD.三、填空题13.答案x|-1x3解析因为不等式ax
14、-b0的解集是(1,+),所以a0且ba=1,故a=b0.所求不等式可化为(x+1)(x-3)0,解得-1x0,由均值不等式可得y=1+x+1x3当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,所以y=x*1x(x0)的最小值为3.四、解答题17.解析(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.(3分)(2)a+b+c=11,ab+bc+ac=38,a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=121-76=45.(5分)(3)a+b=10,ab=20,S阴影=a2+b2-12(a+b)b-12a2=12a2+12b2-12ab=12(a+b)2-32ab=1210
15、2-3220=50-30=20.(10分)18.解析x2+(a-2)x-2a0可化为(x+a)(x-2)0.(1分)当-a=2,即a=-2时,(x-2)20,此时xR;(4分)当-a2,即a-2时,解得x-a或x2;(7分)当-a-2时,解得x2或x-a.(10分)综上所述,当a-2时,x(-,-a2,+);当a=-2时,xR;当a-2时,x(-,2-a,+).(12分)19.解析(1)不等式ax2-3x+20的解集为A=x|1x1,解得a=1,b=2.(6分)(2)由(1)得y=4x+9x236=12,(8分)当且仅当4x=9x,即x=32时,等号成立,(10分)函数的最小值为12.(12分
16、)20.解析(1)设方程x2+mx+n=0(n0)的两个根分别是x1,x2,则x1+x2=-m,x1x2=n,(1分)则1x1+1x2=x1+x2x1x2=-mn,1x11x2=1x1x2=1n,(2分)若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,则这个一元二次方程是y2+mny+1n=0,整理得ny2+my+1=0.(4分)(2)分两种情况讨论:当ab时,a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,a,b是x2-15x-5=0的两个根,a+b=15,ab=-5,ab+ba=a2+b2ab=(a+b)2-2abab=152-2(-5)-5=-47.(6分)当a=b时,ab+b
17、a=2.综上所述,ab+ba的值为-47或2.(8分)(3)a+b+c=0,abc=16,a+b=-c,ab=16c,a,b是方程x2+cx+16c=0的两个根,=c2-416c0,即c2-43c0.(10分)c是正数,c3-43=(c-4)(c2+4c+16)0,c2+4c+16=(c+2)2+120,c4,正数c的最小值是4.(12分)21.解析(1)当a,b均为正数时,(a-b)2=a+b-2ab0,a+b2ab,当且仅当a=b时,取等号.(1分)(2)结合探究方法中得出的结论可知,x2+1x22x1x=2,所以代数式x2+1x2有最小值,为2.故答案为2x1x;小;2.(3分)结合探究
18、方法中得出的结论可知,当x0时,x+9x2x9x=6,代数式x+9x有最小值,为6.故答案为2x9x;小;6.(6分)结合探究方法中得出的结论可知,当x2时,x+5x-2=x-2+5x-2+22(x-2)5x-2+2=25+2,代数式x+5x-2有最小值为25+2.故答案为2(x-2)5x-2+2;小;25+2.(9分)(3)设该矩形的长为a,宽为b(ab0),根据题意知,周长C=2(a+b)4ab=4n,且当a=b时,代数式2(a+b)取得最小值为4n,此时a=b=n.(11分)故若一个矩形的面积固定为n,则它的周长有最小值,周长的最小值为4n,此时矩形的长和宽均为n.(12分)22.解析(1)由题得S=(x-8)900x-2=-2x-7200x+916,x(8,450).(6分)(2)因为8x450,所以2x+7200x22x7200x=240,当且仅当x=60时,等号成立,(8分)所以S676.(10分)故当矩形温室的室内长为60 m时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,为676 m2.(12分)
