1、第2讲圆锥曲线一、 填空题1. 抛物线x=y2的焦点坐标为.2. 双曲线-=1的焦距为.3. (2013南通二模)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆与双曲线y2-3x2=3共焦点,且经过点(,2),则该椭圆的离心率为.4. (2013南通三模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线x2=2py(p0)上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为.5. 椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则F1PF2的大小为.6. 若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是.7. (2013苏、锡、常
2、一模)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为.8. (2013宿迁一模)已知双曲线-=1(a0,b0),A,C分别是双曲线虚轴的上、下端点,B,F分别是双曲线的左顶点和左焦点.若双曲线的离心率为2,则与夹角的余弦值为.二、 解答题9. 已知椭圆C经过点A,两个焦点分别为(-1,0),(1,0).(1) 求椭圆C的方程;(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.10. (2012南京二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1
3、(ab0)的离心率为,以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1) 求椭圆C的方程;(2) 已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.(第10题)11. (2013徐州、宿迁三模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:+=1(ab0)的离心率e=,A1,A2分别是椭圆E的左、右两个顶点,圆A2的半径为a,过点A1作圆A2的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆E于点Q.(1) 求直线OP的方程;(2) 求的值;(3) 设a为常数,过点O作两条互相垂直的直线,分别交椭圆E于点B,C,分
4、别交圆A2于点M,N,记DOBC和DOMN的面积分别为S1,S2,求S1S2的最大值.(第11题)第2讲圆锥曲线1. (1,0)2. 43. 4. 45. 1206. +=17. +18. 9. (1) 由题意,c=1,可设椭圆方程为+=1(b0).因为点A在椭圆上,所以+=1,解得b2=3,b2=-(舍去).所以椭圆方程为+=1.(2) 设直线AE的方程为y=k(x-1)+,代入+=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0.设E(xE,yE),F(xF,yF).因为点A在椭圆上,所以xE=,yE=kxE+-k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代替k,可得
5、xF=,yF=-kxF+k.所以直线EF的斜率kEF=.所以直线EF的斜率为定值,其值为.10. (1) 由题意知b=.因为离心率e=,所以=.所以a=2.所以椭圆C的方程为+=1.(2) 由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=x+1,直线QN的方程为y=x+2.方法一联立解得x=,y=,即T. 由+=1,可得=8-4.因为+=1,所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上. 方法二设T(x,y).联立解得x0=,y0=.因为+=1,所以+=1,整理得+=(2y-3)2,所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1.所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.11. (1) 连接A2P,则A2PA1P,且A2P=a.又A1A2=2a,所以A1A2P=60.所以POA2=60,所以直线OP的方程为y=x. (2) 由(1)知,直线A2P的方程为y=-(x-a),A1P的方程为y=(x+a),联立解得xP=.因为e=,即=,所以c2=a2,b2=a2,故椭圆E的方程为+=1.由解得xQ=-,所以=.(3) 不妨设OM的方程为y=kx(k0),联立方程组解得B,所以OB=a.用-代替上面的k,得OC=a.同理可得,OM=,ON=.所以S1S2=OBOCOMON=a4.因为=,当且仅当k=1时等号成立,所以S1S2的最大值为.
