1、单元质检卷六数列(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018全国卷1,理4)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.122.(2019宁夏高三联考)已知等比数列an的前n项和为Sn,若1a1+1a2+1a3=2,a2=2,则S3=()A.8B.7C.6D.43.(2019福建联考,12改编)在数列an中,a1=2,且an+an-1=nan-an-1+2(n2),令bn=(an-1)2,则b10=()A.50B.55C.60D.654.(2019贵州遵义模拟)已知等差数列
2、an的前n项和为Sn,a9=12a12+6,a2=4,若数列1Sn的前k项和为1011,则k=()A.11B.10C.9D.85.(2019湖南长郡中学适应考试一,7)已知在等比数列an中,an0,a22+a42=900-2a1a5,a5=9a3,则a2 019的个位数字是()A.6B.7C.8D.96.(2019北京房山一模)九章算术中有如下问题:今有浦生一日,长三尺,莞生一日,长一尺,蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍,若蒲、莞长度相等,则所需时间为()(结果精确到0.1,参考数据:lg
3、2=0.301 0,lg 3=0.477 1)A.2.2天B.2.4天C.2.6天D.2.8天二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019浙江温州中学模拟)已知等比数列an的前n项和Sn=3n+r,则a3-r=.8.(2018全国1,理14)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019湖北八校联考一,17)已知等比数列an的前n项和为Sn,且an+1=2+Sn对一切正整数n恒成立.(1)求a1和数列an的通项公式;(2)求数列Sn的前n项和Tn.10.(15分)(2019安徽宣城八校联考)已知数列a
4、n满足a1=2,an+1=2an2(nN*).(1)证明:数列1+log2an为等比数列;(2)设bn=n1+log2an,求数列bn的前n项和Sn.11.(15分)已知数列an满足a1=1,an+1=1-14an,其中nN*.(1)设bn=22an-1,求证:数列bn是等差数列,并求出an的通项公式;(2)设cn=4ann+1,数列cncn+2的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn1cmcm+1对于nN*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.参考答案单元质检卷六数列(B)1.B因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差
5、为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.2.A因为等比数列an的前n项和为Sn,且1a1+1a2+1a3=2,a2=2,则1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2,则S3=8.故选A.3.Ban+an-1=nan-an-1+2(n2),an2-an-12-2(an-an-1)=n,整理得(an-1)2-(an-1-1)2=n,由累加法得(an-1)2-(a1-1)2=n+(n-1)+2,又a1=2,bn=(an-1)2=n(n+1)2,可得b10=55.故选B.4.B设等差数列an的公差为d,则a1+8d=
6、12(a1+11d)+6,a1+d=4,解得a1=2,d=2.Sn=2n+n(n-1)22=n2+n,1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1,1S1+1S2+1Sk=1-12+12-13+1k-1k+1=1-1k+1=1011,解得k=10.故选B.5.D设等比数列an的公比q,首项为a1,由a22+a42=900-2a1a5,得a22+a42+2a2a4=900,解得a2+a4=30,即a1q+a1q3=30.由a5=9a3,得q=3,所以a1=1,所以an=3n-1,所以a1=30=1,a2=31=3,a3=32=9,a4=33=27,a5=34=81,a6=35=243,所以an的个位数
7、是以4为周期重复出现的.所以a2 019的个位数字是a3的个位数字9,故选D.6.C设蒲的长度组成等比数列an,其a1=3,公比为12,其前n项和为An,则An=3(1-12n)1-12.莞的长度组成等比数列bn,其b1=1,公比为2,其前n项和为Bn,则Bn=2n-12-1,由题意可得3(1-12n)1-12=2n-12-1,整理得2n+62n=7,解得2n=6,或2n=1(舍去).n=log26=lg6lg2=1+lg3lg22.6.估计2.6日蒲、莞长度相等.故选C.7.19等比数列前n项和公式具有特征Sn=aqn-a,据此可知,r=-1,则Sn=3n-1,a3=S3-S2=(33-1)
8、-(32-1)=18,a3-r=19.8.-63Sn=2an+1,Sn-1=2an-1+1(n2).-,得an=2an-2an-1,即an=2an-1(n2).又S1=2a1+1,a1=-1.an是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S6=-1(1-26)1-2=-63.9.解 (1)当n2时,an=2+Sn-1,与an+1=2+Sn相减得an+1=2an(n2).数列an是公比q=2的等比数列,a2=2a1,又a2=2+S1=2+a1,a1=2,an=2n.(2)由an+1=2+Sn得Sn=2n+1-2,Tn=(22+23+2n+1)-2n=22(1-2n)1-2-2n=2n+2-2n-4.
9、10.(1)证明 由an+1=2an2,两边取以2为底的对数,得log2an+1=1+2log2an,则log2an+1+1=2(log2an+1),所以1+log2an是首项为2,公比为2的等比数列.且log2an+1=(log2a1+1)2n-1=2n.(2)解 由(1)得bn=n2n.因为Sn为数列bn的前n项和,所以Sn=12+222+n2n,则12Sn=122+223+n2n+1.两式相减得12Sn=12+122+12n-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1,所以Sn=2-n+22n.11.(1)证明 bn+1-bn=22an+1-1-22an-1=22(1-14an)-1-22an-1=4an2an-1-22an-1=2(常数),数列bn是等差数列.a1=1,b1=2,因此bn=2+(n-1)2=2n,由bn=22an-1得an=n+12n.(2)解 存在.由cn=4ann+1,an=n+12n得cn=2n,cncn+2=4n(n+2)=21n-1n+2,Tn=21-13+12-14+13-15+1n-1n+2=21+12-1n+1-1n+23,依题意要使Tn1cmcm+1对于nN*恒成立,只需1cmcm+13,即m(m+1)43,解得m3或m-4,又m为正整数,m的最小值为3.
