1、8.4直线、平面垂直的判定与性质最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成角等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号
2、语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角(2)范围：.3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交
3、，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l概念方法微思考1若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面2两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个
4、平面吗？提示垂直在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若，a，则a.()(4)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()题组二教材改编2下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面
5、，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案D解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的3在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP
6、，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心题组三易错自纠4若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“m”是“ml”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由l且m能推出ml，充分性成立；若l且ml，则m或者m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要条件，故选A.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD
7、，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A与AC，MN均垂直B与AC垂直，与MN不垂直C与AC不垂直，与MN垂直D与AC，MN均不垂直答案A解析因为DD1平面ABCD，所以ACDD1，又因为ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1，因为OM平面BDD1B1，所以OMAC.设正方体的棱长为2，则OM，MN，ON，所以OM2MN2ON2，所以OMMN.故选A.6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()AMNABB平面VAC平面VBCCMN与BC所成的角为45D
8、OC平面VAC答案B解析由题意得BCAC，因为VA平面ABC，BC平面ABC，所以VABC.因为ACVAA，所以BC平面VAC.因为BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC.故选B.直线与平面垂直的判定与性质例1(2019全国)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积(1)证明由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面EB1C1，所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BE
9、B190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V36318.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：判定定理垂直于平面的传递性面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点当CF2时，证明：B1F平面ADF.证明因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.在直三棱柱A
10、BCA1B1C1中，因为BB1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因为BCB1BB，BC，B1B平面B1BCC1，所以AD平面B1BCC1.因为B1F平面B1BCC1，所以ADB1F.方法一在矩形B1BCC1中，因为C1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90，所以B1FFD.因为ADFDD，AD，FD平面ADF，所以B1F平面ADF.方法二在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，所以B1F.在RtDCF中，CF2，CD1，所以DF.显然DF2B1F2B1D2，所以B1FD90.
11、所以B1FFD.因为ADFDD，AD，FD平面ADF，所以B1F平面ADF.平面与平面垂直的判定与性质例2(2020栖霞模拟)如图，多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，ABC60，FA平面ABCD，EDFA，且ABFA2ED2.(1)求证：平面FAC平面EFC；(2)求多面体ABCDEF的体积(1)证明连接BD交AC于O，设FC中点为P，连接OP，EP，O，P分别为AC，FC的中点，OPFA，且OPFA，OPED且OPED，四边形OPED为平行四边形，ODEP，即BDEP，FA平面ABCD，BD平面ABCD，FABD，四边形ABCD是菱形，BDAC，FAACA，FA，AC平面FAC，BD平面
12、FAC，即EP平面FAC，又EP平面EFC，平面FAC平面EFC.(2)解VFABCSABCFA42，FA平面ABCD，FA平面ADEF，平面ADEF平面ABCD，作CGAD于点G，又平面ADEF平面ABCDAD，CG平面ADEF，C到平面ADEF的距离CGCD，VCADEF，VABCDEFVFABCVCADEF.思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直跟踪训练2(2019河南省八市重点高中联盟“领军考试”测评)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，平
13、面ACC1A1平面ABC，AA1AC，ACB90.(1)求证：平面AB1C1平面A1B1C；(2)若A1AC60，AC2CB2，求四棱锥ABCC1B1的体积(1)证明平面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1平面ABCAC，BC平面ABC，ACB90，BC平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，BCA1C，B1C1BC，A1CB1C1，四边形ACC1A1是平行四边形，且AA1AC，四边形ACC1A1是菱形，A1CAC1，AC1B1C1C1，AC1，B1C1平面AB1C1，A1C平面AB1C1，又A1C平面A1B1C，平面AB1C1平面A1B1C.(2)解四边形ACC1A1是菱形，A1AC6
14、0，AC2，22sin 120，B1C1BC，B1C1BC，BC平面ACC1A1，BC1，B1C11，即四棱锥ABCC1B1的体积为.垂直关系的综合应用例3如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点(1)证明：PBC是直角三角形；(2)若PAAB2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值(1)证明AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点BCAC，PA平面ABC，BCPA，又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC，BCPC，BPC是直角三角形(2)解如图，过A作AHPC于H，BC平面PAC，BCAH，又
15、PCBCC，PC，BC平面PBC，AH平面PBC，ABH是直线AB与平面PBC所成的角，PA平面ABC，PCA即是PC与平面ABC所成的角，tanPCA，又PA2，AC，在RtPAC中，AH，在RtABH中，sinABH，即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.思维升华(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解跟踪训练3如图所示，在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则
16、下列结论中正确的结论个数是()ACBD；BAC90；CA与平面ABD所成的角为30；四面体ABCD的体积为.A0 B1 C2 D3答案B解析ABADCD1，BD，ABAD，平面ABD平面BCD，BDCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，取BD的中点O，连接OA(图略)，ABAD，AOBD.又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，AO平面BCD.BDCD，OC不垂直于BD.假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，故错误；CDBD，平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，AB平面ABD，CDAB.ABAD1，BD，
17、ABAD，又CDADD，CD，AD平面ACD，AB平面ACD，又AC平面ACD，ABAC，故正确；CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，故错误；VABCDVCABDSABDCD，故错误故选B.1已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn答案C解析因为l，所以l，又n，所以nl.2(2019宁波模拟)已知直线l，m与平面，l，m，则下列命题中正确的是()A若lm，则必有B若lm，则必有C若l，则必有D若，则必有m答案C解析对于选项A，平面和平面还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B，平面和平面还有可能相交或平行，所以选项B错误；对于
18、选项C，因为l，l，所以.所以选项C正确；对于选项D，直线m可能和平面不垂直，所以选项D错误3已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B. C. D.答案B解析如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，则PAO是PA与平面ABC所成的角因为底面边长为，所以AD，AOAD1.三棱柱的体积为()2AA1，解得AA1，即OPAA1，所以tanPAO，因为直线与平面所成角的范围是，所以PAO.4(2019昆明适应性检测)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则(
19、)AMNC1D1 BMNB1CCMN平面ACD1 DMN平面ACC1答案D解析如图所示，连接C1D交CD1于N，连接BD，在BDC1中，M，N分别为BC1，C1D的中点，MNBD，BD与CD相交，BD不与C1D1平行，MN不与C1D1平行，故A不正确；易知B1D1C为等边三角形，D1B1C60，B1D1与B1C所成的角为60，又BDB1D1，且MNBD，MN与B1C所成的角为60，故B不正确；同理MN与CD1所成的角为60.MN不与CD1垂直，MN不垂直于平面ACD1，故C不正确；易证BD平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，故D正确5.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑
20、”在如图所示的四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PDCD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有()A2个 B3个 C4个 D5个答案C解析由题意，因为PD底面ABCD，所以PDDC，PDBC，又四边形ABCD为正方形，所以BCCD，因为PDCDD，所以BC平面PCD，BCPC，所以四面体PDBC是一个鳖臑，因为DE平面PCD，所以BCDE，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC，因为PCBCC，所以DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，同理可得，四面体PABD和FABD都是鳖臑，故选C.6(2020淄博
21、模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持APBD1，则动点P的轨迹为()A线段B1CB线段BC1CBB1的中点与CC1的中点连成的线段DBC的中点与B1C1的中点连成的线段答案A解析如图，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有BD1平面ACB1，因为APBD1，所以AP平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，故点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.故选A.7(2019贵州省凯里市第一中学模拟)已知直线a，b表示两条不同的直线，表示一个平面，有下列几个命题：若在直线a上存在不同的两点到的距
22、离相等，则a；若ab，b，则a；若a，b，则ab；若a与所成的角和b与所成的角相等，则ab；若ab，b，则a.其中正确命题的序号是_答案解析中a与可以相交；中a可能在平面内或a；中a与b可以平行，也可以异面；中a与b可以平行，也可以异面、相交；正确8.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线_上答案AB解析ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上9.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上点
23、P到直线CC1的距离的最小值为_答案解析点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值当PCDE时，PC的长度最小，此时PC.10(2019新乡模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为_答案解析设AB6，则AF3，DE2.由面面平行的性质知BFGE，则，即，则DG1，D1G5.因为平面ABCD平面A1B1C1D1，所以B1G与平面ABCD所成角即为B1G与平面A1B1
24、C1D1所成角，因为GD1平面A1B1C1D1，所以D1B1G即为B1G与平面ABCD所成的角在RtB1D1G中，tanD1B1G，所以B1G与平面ABCD所成角的正切值为.11.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，(1)中已证AB
25、EF，所以ABAF.由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.12.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABBC，ADCD1，ADC120，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PNPB.(1)证明：MN平面PDC；(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值(1)证明因为ABBC，ADCD，所以BD垂直平分线段AC.又ADC120，所以MDAD，AM.所以AC.又ABBC，所以ABC是等边三角形，所以BM，所以3，又因为PNPB，所以3，所以MNPD.又MN平面P
26、DC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(2)解因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，故DPM即为所求的角在RtPAD中，PD2，所以sinDPM，所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.13如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有()AAG平面EFH BAH平面EFHCHF平面A
27、EF DHG平面AEF答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，AG，GH平面HAG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAG平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；由条件证不出HG平面AEF，D不正确故选B.14.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M为BC的中点(1)求证：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求点F到平面BDE的距离(1)证明取BD的中点O，连接OM，OE，
28、因为O，M分别为BD，BC的中点，所以OMCD，且OMCD.因为四边形ABCD为菱形，所以CDAB，又EFAB，所以CDEF，又ABCD2EF，所以EFCD，所以OMEF，且OMEF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以MFOE.又OE平面BDE，MF平面BDE，所以MF平面BDE.(2)解由(1)得FM平面BDE，所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离取AD的中点H，连接EH，BH，因为EAED，四边形ABCD为菱形，且DAB60，所以EHAD，BHAD.因为平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD，因为BH平面ABCD，所以EH
29、BH，因为EHBH，所以BE，所以SBDE.设点F到平面BDE的距离为h，连接DM，则SBDMSBCD4，连接EM，由V三棱锥EBDMV三棱锥MBDE，得h，解得h，即点F到平面BDE的距离为.15(2019河北省衡水中学模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点E为下底面半圆弧上一点(异于点B，C)，则关于该几何体的说法正确的是()ABEAC BDEAECCE平面ABE DBD平面ACE答案C解析由三视图可知，该几何体是如图所示的半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，若BEAC，因为BEAB，ABACA，所以BE平面ABC，又因为BC平面ABC，所以BEBC，与BECE矛盾，所以A不
30、正确；因为DE2AE222CE222BE212AD2，因此AED90，即DE与AE不垂直，所以B不正确；因为BC为半圆的直径，所以BECE，又因为CEAB，ABBEB，所以CE平面ABE，所以C正确；假设BD平面ACE，则BDCE，又CEDC，BDDCD，所以CE平面ABCD，所以CEBC，与CEB90矛盾，所以D不正确故选C.16.如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_(写出所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN平面DEC；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，
31、都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAB；在折起过程中，一定不会有ECAD.答案解析由已知，在未折叠的原梯形中，易知四边形ABCE为矩形，所以ABEC，所以ABDE，又ABDE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD，折叠后如图所示过点M作MPDE，交AE于点P，连接NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NPEC.又MPNPP，DECEE，所以平面MNP平面DEC，故MN平面DEC，正确；由已知，AEED，AEEC，所以AEMP，AENP，又MPNPP，所以AE平面MNP，又MN平面MNP，所以MNAE，正确；假设MNAB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE平面MNBA，AD平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，错误；当ECED时，ECAD.因为ECEA，ECED，EAEDE，所以EC平面AED，AD平面AED，所以ECAD，不正确
