1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元形成性评价(一)(第9章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1已知向量a(1，2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角为()A30 B60 C120 D150【解析】选C.设c(x，y)，则由(ab)c，得x2y.又cos ，即120.2已知两点A(2，1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是()A(1，2) B(9，3)C(1，2) D(4，8)【解析】选D.(32，11)(1，2)，因为(4，8)4(1，2)，所以(
2、4，8)满足条件3已知点A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A BC D【解析】选A.由已知得，(3，4)，所以|5，因此与同方向的单位向量是.4已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且ACCDDB.如果3e1，3e2，那么等于()Ae12e2 B2e1e2Ce1e2 De1e2【解析】选A.如图所示，()e12e2.5(2021浙江高考)已知非零向量a，b，c，则acbc是ab的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】选B.若ca且cb，则acbc0，但a不一定等于b，故充分性不成立若ab，则acbc，故必要性成立故
3、“acbc”是“ab”的必要不充分条件6O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若()(2)0，则ABC是()A以AB为底边的等腰三角形B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形D以BC为斜边的直角三角形【解析】选B.因为，2，所以()0，所以ABC为以BC为底边的等腰三角形7已知向量a，b(4，4cos )，若ab，则sin 等于()A B C D【解析】选B.由ab得ab0，即4sin 4cos 0，所以2sin 6cos ，sin ，所以sin sin .8如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为
4、()A. B C D3【解析】选A.以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD中，ABAD1，BAD120，所以A(0，0)，B(1，0)，D，设C(1，m)，E(x，y)，所以，因为ADCD，所以0，即0，解得m，即C(1，)，因为E在CD上，所以y，由C，E，D三点共线，得，即xy2，因为(x，y)，(x1，y)，所以(x，y)(x1，y)x2xy2(y2)2y2y24y25y6，令f(y)4y25y6，y.因为函数f(y)4y25y6在上单调递减，在上单调递增，所以f(y)min456.所以的最小值为.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对
5、的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9下列说法错误的是()A数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小【解析】选ABC.向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小10下列命题错误的是()A若ab，则a与b的方向相同或相反B若ab，bc，则acC若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D若ab，bc，则ac【解析】选ABC.由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a0，则对于任意的向量b，都有ab，A错误；取b0，则对于任意的向量a，c都有ab，bc，B错误；两个单位向量互相
6、平行，方向可能相反，C错误；由两个向量相等的概念可知D正确11已知向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为()A向量与向量一定同向B向量与向量一定共线C向量与向量一定相等D向量与向量一定共线【解析】选BD.根据共线向量的定义，可知，这三个向量一定为共线向量，B，D正确12已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成记Sx1y1x2y2x3y3x4y4x5y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值则下列说法正确的是()AS有5个不同的值B若ab，则Smin与|a|无关C若ab，则Smin与|b|无关D若|b|4
7、|a|，则Smin0【解析】选BD.由已知得，S的取值依据含a2的个数，分三类：有0个a2，有1个a2，有2个a2.分别得S的取值为S14|a|b|cos b2，S22|a|b|cos a22b2，S32a23b2(记为a，b的夹角).S至多有3个不同的值，故A错误；若ab，则90，易知SminS1b2|b|2，与|a|无关，故B正确；若ab，则S的三个值均与|b|有关，所以Smin一定与|b|有关，故C错误；若|b|4|a|，则S116a2|cos |16a216a2(1|cos |)0，S28a2|cos |a232a2a2(338|cos |)0，S30，所以Smin0，故D正确三、填空
8、题(每小题5分，共20分)13已知单位向量a，b的夹角为，则|ab|_【解析】单位向量a，b的夹角为，则|ab|a22abb2121111.答案：114(2020全国卷)设向量a(1，1)，b(m1，2m4)，若ab，则m_【解题指南】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果【解析】由ab可得ab0，又因为a(1，1)，b(m1，2m4)，所以ab1(m1)(1)(2m4)0，即m5.答案：515已知P为ABC所在平面内一点，且满足，则APB的面积与APC的面积之比为_【解析】由题意，得52，得222，得2()，如图所示，以PA，PB为邻边作PAEB，则C，P，
9、E三点共线，连接PE交AB于点O，则24.所以.答案：12【加固训练】 如图所示，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_【解析】设，则m(m1)，.因为与共线，所以(m1)0，所以m.答案：16已知点P(3，0)，M(1，2)，A(0，b)，Q(a，0)(a0)满足0，A，M，Q三点共线，则b_【解析】(3，b)，(a，b)，由0得3ab2，(1，b2)，(a1，2)，A，M，Q三点共线，所以，即(b2)(a1)2，由及a0得b1或b3.答案：1或3四、解答题(共70分)17(10分)已知|a|1，|b|.(1)若ab且同向，求ab；(2)若向量a，b的夹角为135，求|ab|.
10、【解析】(1)若ab且同向，则a与b的夹角为0，此时ab|a|b|.(2)|ab|1.18(12分)已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，3e1e2，3e15e2，求证A，B，D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值【解析】(1)因为e1e2，3e1e23e15e26(e1e2)6.所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为ke1e2与e1ke2共线，所以存在实数，使ke1e2(e1ke2)，即(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k1.19(12分)已知在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证： ().【证明
11、】证法一：如图1，首先建立平面直角坐标系设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则有(x2x1，y2y1)，(x3x4，y3y4).所以().又因为E，F分别是AD，BC的中点，所以E，F，所以，所以().证法二：如图2，与相加得，2，所以().【加固训练】 如图，在ABC中，2.(1)若xy(x，y为实数)，求x，y的值；(2)若AB3，AC4，BAC60，求的值【解析】(1)因为2，所以2()，.又因为xy(xy)y，所以(xy)y.因为与不共线，所以所以x1，y.(2)()22.20(12分)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|k
12、ab|akb|(k0).(1)用k表示数量积ab；(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角【解析】(1)由|kab|akb|，得(kab)23(akb)2所以k2a22kabb23a26kab3k2b2所以(k23)a28kab(13k2)b20.又a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，故|a|b|1，所以k238kab13k20，所以ab.(2)由(1)得ab.由函数单调性得f(k)在(0，1上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当k1时，f(k)minf(1)(11).设此时a与b的夹角为，则cos ，又0180，所以60.21(12分)已知向量a(1，)，b(2，0).
13、(1)求ab的坐标以及ab与a之间的夹角；(2)当t1，1时，求|atb|的取值范围【解析】(1)因为ab(1，)(2，0)(3，)，所以ab的坐标为(3，).设ab与a之间的夹角为，则cos ，而0，故.(2)因为atb(1，)t(2，0)(12t，)，所以|atb|，在上递减，在上递增，所以t时，|atb|的最小值为，t1时，|atb|的最大值为2，故|atb|的取值范围为，2.22(12分)已知向量a和向量b(1，f(x)，且ab. (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)已知ABC的三个内角分别为A，B，C，若有f，BC，sin B，求AC的长度【解析】由ab得f(x)sin xcos x所以f(x)sin xcos x2sin ，(1)f(x)的最小正周期为T2，当sin 1时，f(x)max2.(2)由f得2sin A，所以sin A，由，得AC2.v关闭Word文档返回原板块
