1、2.1函数及其表示1函数函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应法则f：AB如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应名称称yf(x)，xA为从集合A到集合B的一个函数函数记法函数yf(x)，xA2.函数的三要素(1)定义域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域(2)值域对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域(3)对应法则f：AB.3函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法4分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别
2、用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数概念方法微思考1分段函数f(x)的对应法则用两个式子表示，那么f(x)是两个函数吗？提示分段函数是一个函数2请你概括一下求函数定义域的类型提示(1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型3请思考以下常见函数的值域：(1)ykxb(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域：当a0时，值域为；当a0且a1)的值域是(0，)(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.题组一思考辨析1判断下列结论是否
3、正确(请在括号中打“”或“”)(1)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的函数()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)已知f(x)5(xR)，则f(x2)25.()(4)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()题组二教材改编2以下属于函数的有_(填序号)y；y2x1；y；yx22(xN)答案3函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4下列图形中可以表示以Mx|0x1为定义域，Ny|0y1为值域的函数的图象是()答案C解析A选项
4、中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确5(多选)(2019山东省济南市历城第二中学月考)下列各组函数是同一函数的是()Af(x)x22x1与g(s)s22s1Bf(x)与g(x)xCf(x)与g(x)Df(x)x与g(x)答案AC6函数y的定义域是_答案2，)7已知f()x1，则f(x)_.答案x21(x0)解析令t，则t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)8(2019湖北黄石一中模拟)已知函数f(x)则f(f(0)的值为_；方程f(x)1的解是_答案10或1解析f(0)1，f(f(0)f(1)1.当x0时，f(x)
5、x11，解得x0；当x0时，f(x)2x11，解得x1.第1课时函数的概念及表示法函数的概念1下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()答案C2(2019武汉模拟)下列五组函数中，表示同一函数的是_(填序号)f(x)x1与g(x)；f(x)lg x2与g(x)2lg x；f(x)x2，xR与g(x)x2，xZ；f(u)与f(v)；yf(x)与yf(x1)答案3已知Ax|xn2，nN，给出下列关系式：f(x)x；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x4；f(x)x21，其中能够表示函数f：AA的是_答案解析对于，当x1时，x21A，故错误，由函数定义可知均正确思维升华(1)函数的
6、定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素(2)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同 求函数的解析式例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1sin x)cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx4，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(4)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求f(x)的解析式解(1)(换元法)设1sin xt，t0,2，则sin x1t，f(1si
7、n x)cos2x1sin2x，f(t)1(1t)22tt2，t0,2即f(x)2xx2，x0,2(2)(配凑法)f22，f(x)x22，x2，)(3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f (x)axb(a0)，3a(x1)b2a(x1)b2x17.即ax(5ab)2x17，解得f(x)的解析式是f(x)2x7.(4)(消去法)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法(2)换元法：已知复合函数f
8、(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F (x)，可将F (x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)跟踪训练1(1)(2020济南月考)若f，则当x0，且x1时，f(x)等于()A. B. C. D.1答案B解析f(x)(x0且x1)(2)已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.答案x2x2解析设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(
9、x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，即2axabx1，即f(x)x2x2.(3)已知f(x)满足2f(x)f3x1，求f(x)解已知2f(x)f3x1，以代替中的x(x0)，得2ff (x)1，2，得3f(x)6x1，故f(x)2x(x0) 分段函数命题点1求分段函数的函数值例2 (1)已知函数f(x)若f6，则实数a的值为_，f(2)_.答案56解析由题意得，f313，所以ff(3)93a6，所以a5，f(2)4526.(2)已知f(x)则f(2)_.答案3解析f(2)f(1)1f(0)2cos2123.命题点2分段函数与方程、不等式问题例3设函数f(x)则使f(x)的x
10、的集合为_答案解析由题意知，若x0，则2x，解得x1；若x0，则|log2x|，解得x 或x.故所求x的集合为.本例中，则使f(x)的x的集合为_答案解析当x0时，由2x得10时，由|log2x|得0x.综上，所求x的集合是.思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来跟踪训练2(1)设函数f(x)则f(f(1)_.答案3解析f(1)2，f(f(1)f(
11、2)3.(2)(2018全国改编)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是_答案(，0)解析方法一当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)方法二f(x)函数f(x)的图象如图所示由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)2x.此时x1.当2x0时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x)此时1x0.综上，不等式f(x1)f(
12、2x)的解集为(，1(1,0)(，0)第2课时函数的定义域与值域 函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylg cos x；(3)ylog2(4x2)；(4)y(2x5)0.解(1)由得所以函数的定义域为x|x1或x1且x2(2)由得所以函数的定义域为.(3)要使函数有意义，必须解得2x0或1x2，函数的定义域为(2,0)1,2)(4)由得函数的定义域为.思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等(2)求函数的定义域往往归结
13、为解不等式组的问题在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值 函数的值域例1(2019长沙月考)求下列函数的值域：(1)yx22x3，x0,3)；(2)y；(3)y2x；(4)y.解(1)(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象(如图所示)，可得函数的值域为2,6)(2)(分离常数法)y2，显然0，y2.故函数的值域为(，2)(2，)(3)(换元法)设t，则xt21，且t0，y2(t21)t22，由t0，再结合函数的图象(如图所示)，可得函数的值域为.(4)函数的定义域为1，)，y与y在1，)上均为增函数，y在1，)上为单调递增函数，当x1时，
14、ymin，即函数的值域为，)结合本例(4)求函数y的值域解函数的定义域为1，)，y，由本例(4)知函数y的值域为，)，0，0，函数的值域为(0，思维升华求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法跟踪训练1求下列函数的值域：(1)y；(2)yx4；(3)y.解(1)方法一y1，因为x20，所以x211，所以02.所以111.即函数的值域为(1,1方法二由y，得x2.因为x20，所以0.所以1，所以x0，所以x2，当且仅当x，即x时取等号所以y，即原函数的值域为. 定义域与值域的应用例2(1)(20
15、20广州模拟)若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_答案解析函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2，所以解得所以ab3.(2)已知函数y的值域为0，)，求a的取值范围解令tg(x)x2ax12a，要使函数y的值域为0，)，则说明0，)y|yg(x)，即二次函数的判别式0，即a24(2a1)0，即a28a40，解得a42或a42，a的取值范围是a|a42或a42思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解跟踪训练2(1)若函数f(x)在2
16、021，)上有意义，则实数a的取值范围为_答案1，)解析由于函数f(x)在2 021，)上有意义，即ax2 0210在2 021，)上恒成立，即a在2 021，)上恒成立，而01)，则实数b_.答案3解析f(x)(x1)21，x1，b且b1，则f(1)1，f(b)(b1)21，f(x)在1，b上为增函数，函数值域为.由已知得(b1)21b，解得b3或b1(舍)我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用yf(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体一、抽象函数的函数值例1(
17、1)设函数yf(x)的定义域为(0，)，f(xy)f(x)f(y)，若f(8)3，则f()_.答案解析因为f(8)3，所以f(24)f(2)f(4)f(2)f(22)f(2)f(2)f(2)3f(2)3，所以f(2)1.因为f(2)f()f()f()2f()，所以2f()1，所以f().(2)设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x1，x2，都有f(x1)f(x2)2ff，f()1，则f(0)_.答案1解析令x1x2，则f()f()2f()f(0)，f(0)1.二、抽象函数的定义域例2(1)(2019皖南八校模拟)已知函数f(x)ln(xx2)，则函数f(2x1)的定义域为_答案解析由题意知，xx20，1x0，即f(x)的定义域为(1,0)12x10，则1x.(2)若函数f(2x)的定义域是1,1，则f(log2x)的定义域为_答案，4解析对于函数yf(2x)，1x1，212x2.则对于函数yf(log2x)，21log2x2，x4.故yf(log2x)的定义域为，4
