1、2.3 互 斥 事 件 第1课时 互 斥 事 件 必备知识自主学习 导思 什么是互斥事件?什么是对立事件?怎样理解概率加法公式?1.互斥事件与对立事件(1)互斥事件:在一个随机试验中,我们把一次试验下_的两个事件 A与B称作互斥事件.(2)对立事件:一般地,在一次试验中,不能同时发生且_的两个事 件称为对立事件.事件A的对立事件记作_,对立事件也称为_.不能同时发生 必有一个发生 A逆事件【思考】(1)互斥事件与对立事件的区别与联系是什么?(2)如何理解互斥事件?提示:如果事件A与事件B是互斥事件,反映在集合上,是指A,B这两个事件所含结果所组成的集合是同一个全集下交集为空集的两个非空子集;n
2、个事件互斥,反映在集合上,是各个事件所含结果组成的集合彼此的交集为空集.2.互斥事件至少有一个发生(事件A+B)的概率和对立事件的概率公式(1)事件A+B发生的含义:给定事件A,B,我们规定A+B为一个事件,事件A+B发生是 指事件A 和事件B_.至少有一个发生(2)互斥事件的概率加法公式:一般地,如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率等于事件A,B分别发生的 概率的和,即_;P(A+B)=P(A)+P(B)如果随机事件A1,A2,A3,An中任意两个是互斥事件,那么事件“A1+A2+A3+An”发生(即事件A1,A2,A3,An中至少有一个发生)的概率,等于这几个事件分别发生的概率的_
3、,即P(A1+A2+A3+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(An).对立事件的概率公式在每一次试验中,相互对立的事件A和 不会同时发生,但 一定有一个发生,即_.和 AP(A)1 P(A)【思考】如何理解概率加法公式?提示:(1)公式P(A+B)=P(A)+P(B)中的事件A与事件B必须是互斥事件,否则公式不成立;(2)求某些复杂事件的概率时,可将其分解为一些概率易求的彼此互斥的事件,然后利用概率公式的推广公式求解即可.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)已知事件A与B,则P(A+B)=P(A)+P(B).()(2)若三个事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P
4、(B)+P(C)=1.()(3)袋子中装有白球3个,黑球4个,从中任取3个,“恰有一个白球”和“全是白球”是互斥事件.()2.一人在打靶中连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶【解析】选C.连续射击两次的结果有四种:两次都中靶;两次都不中靶;第一次中靶,第二次没有中靶;第一次没有中靶,第二次中靶.“至少有一次中靶”包含三种结果,因此互斥事件是.3.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为()A.至多有2件次品 B.至多有1件次品 C.至多有2件正品 D.至少有2件正品【解析】选B.至少有2
5、件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9种结果,故它的对立事件为含有1或0件次品,即至多有1件次品.关键能力合作学习 类型一 互斥事件、对立事件的判断(数学抽象、逻辑推理)【题组训练】1.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从110各10张)中,任意抽取1张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.2.判断下列每对事件是不是互斥事件,是不是对立事件.从装有5个红球,5个白球的袋中任意取出3个球.(1)“取出2个红球和1
6、个白球”与“取出1个红球和2个白球”;(2)“取出至少2个红球”与“取出至少2个白球”;(3)“至少1个白球”与“至少1个红球”.【解题策略】1.判断两个事件是否为互斥事件 能否同时发生是判断两个事件是否互斥的关键,若不能同时发生,则这两个事件是互斥事件,若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件.2.判断两个事件是否为对立事件(1)不能同时发生(即互斥事件).(2)必有一个发生(不是这个事件发生就是另一个事件发生).这两个条件同时成立,那么这两个事件就是对立事件,只要有一个条件不成立,那么这两个事件就不是对立事件.【补偿训练】某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名同学去参加比赛.(1)“恰有一
7、名男生”和“恰有两名男生”;(2)“至少有一名男生”和“至少有一名女生”;(3)“至少有一名男生”和“全是男生”;(4)“至少有一名男生”和“全是女生”.试判断以上各对事件是不是互斥事件,并说明理由.类型二 概率加法公式的应用(逻辑推理)角度1 两个互斥事件的应用 【典例】盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A表示“3个球中 有1个红球,2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知 P(A)=,P(B)=,求“3个球中既有红球又有白球”的概率.【思路导引】记事件C为“3个球中既有红球又有白球”,利用概率的加法公式 进行计算.31012角度2 多个互斥事件的应用
8、【典例】抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5 点、6点的概率都是 ,记事件A为“向上的一面出现奇数”,事件B为“向上的 点数不超过4”,求P(A+B).【思路导引】将A+B分为几个已知的互斥事件的和事件,应用概率加法公式求解.16【解题策略】(1)判断各个事件是否两两互斥.只有互斥事件才能用概率加法公式,如果事件不互斥,就不能用此公式.(2)求解各个事件分别发生的概率.(3)利用概率加法公式求解事件的概率.概率加法公式体现了化整为零、化难为易的思想,在复杂概率求解中占有很重要的地位.【题组训练】1.某市派出甲、乙两支足球队参加全省足球比赛,甲、乙两队夺取冠军的概率
9、分别为 ,则该市足球队夺得全省足球冠军的概率为_.【解析】甲队获冠军与乙队获冠军为互斥事件,所以该市足球队获冠军的概率 答案:3 1,7 43112719P.74282819282.不透明口袋内装有一些大小质地均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.38,摸出白球的概率是0.34,那么摸出黑球的概率是()A.0.42 B.0.28 C.0.36 D.0.62【解析】选B.1-0.38-0.34=0.28.3.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或9环
10、的概率;(2)至少射中7环的概率;(3)射中8环以下的概率.1.给出以下结论:互斥事件一定对立;对立事件一定互斥;互斥事件不一定对立;事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确的命题个数是()A.2 B.3 C.4 D.5 课堂检测素养达标 2.某部电话,当打进电话时,响第1声被接到的概率为0.2,响第2声被接到的概率为0.3,响第3声被接到的概率为0.3,响第4声被接到的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接到的概率是_.【解析】P=0.2+0.3+0.3+0.1=0.9.答案:0.9 3.甲乙两人进行围棋比赛,已知比赛中甲获胜的概率为0.45,两人平局的概率为0.1,则甲输的概率为_.【解析】记事件A=“甲胜乙”,B=“甲、乙战平”,C=“甲不输”,则C=A+B,而A,B是互斥事件,故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.55.由于甲输与甲不输为对立事件,故甲输的概率为1-P(C)=1-0.55=0.45.答案:0.45 4.某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:年降水量(单位:mm)100,150)150,200)200,250)250,300)概率0.120.250.160.14(1)求年降水量在100,200)(mm)范围内的概率;(2)求年降水量在150,300)(mm)范围内的概率.