1、3.2导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf (x)在区间(a，b)上可导f(x)0f (x)在(a，b)内单调递增f(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f(x)0，则f (x)在此区间内没有单调性()(2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f(x)0，则f (x)在此区间内单调
2、递增()(3)在(a，b)内f(x)0且f(x)0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内是减函数()题组二教材改编2.如图是函数yf (x)的导函数yf(x)的图象，则下列判断正确的是()A在区间(2,1)上f (x)是增函数B在区间(1,3)上f (x)是减函数C在区间(4,5)上f (x)是增函数D在区间(3,5)上f (x)是增函数答案C解析在(4,5)上f(x)0恒成立，f (x)是增函数3函数f (x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减 B先减后增C增函数 D减函数答案D解析因为在(0，)上恒有f(x)sin x10，解得x0，故其单调递增区间是(0，)；由f(x)0
3、，解得x0)在2，)上是增函数，则a的取值范围是_答案(0,2解析由y10，得xa或xa.yx的单调递增区间为(，a，a，)函数在2，)上单调递增，2，)a，)，a2.又a0，0a2.7已知函数f (x)x2(xa)(1)若f (x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是_；(2)若f (x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是_答案(1)(，3(2)解析由f (x)x3ax2，得f(x)3x22ax3x.(1)令f(x)0，得x0或x，若f (x)在(2,3)上单调递减，则有3，解得a；若f (x)在(2,3)上单调递增，则有2，解得a3，所以若f (x)在(2,3)上单调，实数a的
4、取值范围是(，3.(2)若f (x)在(2,3)上不单调，则有可得3a0)，当x(0,1)时，f(x)0，f (x)为增函数2函数f (x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)答案D解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.3函数f (x)x2的单调递增区间是_；单调递减区间是_答案(，0)(0,1)解析f (x)的定义域为x|x1，f(x)1.令f(x)0，得x0.当0x1时，f(x)0.当x0.f (x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0,1)4已知定义在区间(，)上的函数f (x)xsin
5、xcos x，则f (x)的单调递增区间是_答案和解析f(x)sin xxcos xsin xxcos x.令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为，即f (x)的单调递增区间为和.思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间(4)解不等式f(x)0，试讨论函数yf (x)的单调性解函数的定义域为(0，)，f(x)ax(a1).当0a1，x(0,1)和时，f(x)0；x时，f(x)1时，00；x时，f(x)0，函数f (x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减综上，当0a1时，函数f (
6、x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减若将本例中参数a的范围改为aR，其他条件不变，试讨论f (x)的单调性？解a0时，讨论同上；当a0时，ax10；x(1，)时，f(x)0，函数f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减综上，当a0时，函数f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a1时，函数f (x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点跟踪训练1(2020重庆一中模拟)已知函数f (x)x3ax2
7、b(a，bR)，试讨论f (x)的单调性解f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20，所以函数f (x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f (x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0，x时，f(x)0时，f (x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当af (1)fBf (1)ffCff (1)fDfff (1)答案A解析因为f (x)xsin x，所以f (x)(x)sin(x)xsin xf (x)，所以函数f (x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数
8、f (x)在上是增函数，所以ff (1)f (1)f，故选A.(2)已知定义域为R的偶函数f (x)的导函数为f(x)，当x0时，xf(x)f (x)0.若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Abac Bacb Cabc Dcab答案D解析设g(x)，则g(x)，又当x0时，xf(x)f (x)0，所以g(x)0，即函数g(x)在区间(，0)内单调递减因为f (x)为R上的偶函数，所以g(x)为(，0)(0，)上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，)内单调递减由0ln 2e3，可得g(3)g(e)g(ln 2)，即cab，故选D.命题点2根据函数单调性求参数例3已知函数f (x)ln x
9、ax22x(a0)在1,4上单调递减，求a的取值范围解因为f (x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，f(x)ax20恒成立，即a恒成立设G(x)，x1,4，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，)本例中，若f (x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解因为f (x)在1,4上存在单调递减区间，则f(x)有解，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)本例中，若f (x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解因为f (x)在1,4上单调
10、递增，所以当x1,4时，f(x)0恒成立，所以当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，1思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练2(1)已知函数f (x)x32xex，其中e是自然对数的底数，若f (
11、a1)f (2a2)0，则实数a的取值范围是_答案解析由f (x)x32xex，得f (x)x32xexf (x)，所以f (x)是R上的奇函数，又f(x)3x22ex3x2223x2，当且仅当x0时取等号，所以f(x)0，所以f (x)在其定义域内单调递增，所以不等式f (a1)f (2a2)0f (a1)f (2a2)f (2a2)a12a2，解得1a，故实数a的取值范围是.(2)(2020安徽毛坦厂中学模拟)已知函数f (x)x23x4ln x在(t，t1)上不单调，则实数t的取值范围是_答案(0,1)解析函数f (x)x23x4ln x(x0)，f(x)x3，函数f (x)x23x4ln x在(t，t1)上不单调，f(x)x3在(t，t1)上有变号零点，0在(t，t1)上有解，x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)，1(t，t1)，t(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)
