1、第二讲函数的基本性质1.多选题下列函数中,既是偶函数,又在(0,+)上单调递增的是()A.y=ln(1+9x2 - 3x)B.y=ex+e x C.y=x2+1D.y=cos x+32.原创题已知函数f (x)=x(x - a)+b,若函数y=f (x+1)为偶函数,且f (1)=0,则b的值为()A.-2B.-1C.1D.23.2020湖北华师一附中月考已知函数f (x)=(a-3)x+5,x1,2ax,x1,f (x)是R上的减函数,则a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,3C.(0,2)D.(0,24.2020宁夏银川一中模拟已知f (x)=x3+ln1+x1-x,且f (3a -
2、2)+f (a - 1)bc B.bac C.cabD.cba7.2019江西红色七校第一次联考设f (x)是定义在R上的周期为3的周期函数,该函数在区间( - 2,1上的图象如图2 - 2 - 1所示,则f (2 018)+f (2 019)=() 图2 - 2 - 1A.2B.1C.-1D.08.2020南昌市测试已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (2 - x)+f (x)=0,f (0)=3,则 f (10)=.9.2020江苏苏州初调若y=f (x)是定义在R上的偶函数,当x0,+)时,f (x)=f 则f ( - 6 - 5)=.10.多选题已知函数y=f (x)是R上的奇函数
3、,对任意xR,都有f (2 - x)=f (x)+f (2)成立,当x1,x20,1,且x1x2时,都有,则下列结论正确的有()A.f (1)+f (2)+f (3)+f (2 019)=0B.直线x= - 5是函数y=f (x)图象的一条对称轴C.函数y=f (x)在 - 7,7上有5个零点D.函数y=f (x)在 - 7, - 5上为减函数11.2020长春市第一次质量监测已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数,且满足f (2+x)+f (x)=0,当x - 2,0时,f (x)= - x2 - 2x,则当x4,6时,y=f (x)的最小值为()A. - 8B. - 1C.0D.112
4、.2020广东七校联考已知定义在R上的偶函数y=f (x+2),其图象是连续的,当x2时,函数y=f (x)是单调函数,则满足f (x)=f (1 - 1x+4)的所有x之积为()A.3B. - 3C. - 39D.3913.原创题设增函数f (x)=lnx,x1,-1+axx,0x1的值域为R,若不等式f (x)x+b的解集为x|cxe,则实数c的值为()A.e-e2-42 B.e+e2-42 C.ee2-42D.1214.2019郑州市第三次质量预测已知定义在R上的函数f (x)满足f ( - x)=f (x),且函数f (x)在( - ,0)上是减函数,若a=f ( - 1),b=f (
5、log214),c=f (20.3),则a,b,c的大小关系为()A.cba B.acbC.bca D.ab0时,g (x)0,所以g(x)=ex+e - x在(0,+)上单调递增,故B符合题意;对于C,易知y=x2+1是偶函数,且在(0,+)上单调递增,故C符合题意;对于D,易知y=cos x+3在(0,+)上不单调,故D不符合题意.故选BC.2.C解法一由f (x+1)=(x+1)(x+1 - a)+b=x2+(2 - a)x+1 - a+b为偶函数,得a=2.又f (1)= - 1+b=0,所以b=1,故选C.解法二由y=f (x+1)为偶函数,知y=f (x+1)的图象关于直线x=0对
6、称,而y=f (x+1)的图象是由y=f (x)的图象向左平移1个单位长度得到的,因而y=f (x)的图象关于直线x=1对称,故f (x)=x(x - a)+b图象的对称轴方程为x=a2=1,得a=2.又f (1)=0,故b=1,故选C.3.D因为函数f (x)=(a-3)x+5,x1,2ax,x1,f (x)是R上的减函数,所以a-30,(a-3)1+52a1,解得00,得 - 1x1,即函数f (x)的定义域为( - 1,1).因为f (x)=x3+ln1+x1-x=x3+ln(x+1) - ln(1 - x),所以函数f (x)在定义域( - 1,1)上为增函数.又f ( - x)= -
7、 x3+ln( - x+1) - ln(1+x)= - x3+ln(x+1) - ln(1 - x)= - f (x),所以函数f (x)为奇函数,所以由不等式f (3a - 2)+f (a - 1)0,得f (3a - 2)f (1 - a),所以-13a-21,-11-a1,3a-21-a,即13a1,0a2,a34,得13a0时,f (x)=ln(x2+1+x),此时函数f (x)单调递增.a=f (log30.2)=f (log35),b=f (3 - 0.2),c=f ( - 31.1)=f (31.1),因为31.1log353 - 0.20,所以cab,故选C.解法二令g(x)=
8、ln(x2+1 - x),则g( - x)+g(x)=ln(x2+1+x)+ln(x2+1 - x)=ln 1=0,所以g(x)为奇函数,y=f (x)=|g(x)|为偶函数.当x0时,函数f (x)=|ln(x2+1 - x)|=ln(x2+1+x),函数f (x)单调递增,又f (0)=ln 1=0,所以函数f (x)的大致图象如图D 2 - 2 - 1所示. 图D 2 - 2 - 1- 2log3 0.2=log315= - log35 - 1,03 - 0.2=130.21, - 31.1f (log3 0.2)f (3 - 0.2),即cab,故选C.7.C因为函数f (x)是定义在
9、R上的周期为3的周期函数,所以f (2 018)=f (2 018 - 6733)=f ( - 1),f (2 019)=f (2 019 - 6733)=f (0),由题中图象知 f ( - 1)= - 1,f (0)=0,所以f (2 018)+f (2 019)=f ( - 1)+f (0)= - 1.故选C. 8. - 3因为函数f (x)是偶函数,所以f (2 - x)= - f (x)= - f ( - x),所以f (x+2)= - f (x)=f (2 - x)=f (x - 2),所以f (x+4)=f (x),所以函数f (x)的周期为4,则f (10)=f (2)= -
10、f (0)= - 3.9.12因为y=f (x)是定义在R上的偶函数,所以f ( - 6 - 5)=f (6+5).因为6+51,6+41,6+31,6+21,6+11,所以f (6+5)=f (6+4)=f (6+3)=f (6+2)=f (6+1)=f (6).又060,所以f (x)在区间0,1上单调递增.根据以上信息可画出函数f (x)的大致图象如图D 2 - 2 - 2所示.图D 2 - 2 - 2对于选项A,易得f (1)+f (3)=f (2 017)+f (2 019)=0,f (2)=f (4)=f (2 018)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (2 019
11、)=0,A正确.对于选项B,直线x= - 5是函数y=f (x)的图象的一条对称轴,B正确.对于选项C,函数y=f (x)在 - 7,7上有7个零点,C不正确.对于选项D,易知函数y=f (x)在 - 7, - 5上为减函数,D正确.故选ABD.11.B由f (2+x)+f (x)=0,得f (4+x)+f (2+x)=0,以上两式相减,得f (x)=f (4+x),所以函数f (x)是以4为周期的周期函数.设x0,2,则 - x - 2,0,f ( - x)= - ( - x)2 - 2( - x)= - x2+2x.因为函数y=f (x)是定义在R上的奇函数,所以f (x)= - f (
12、- x)=x2 - 2x=(x - 1)2 - 1,当x=1时,f (x)取得最小值 - 1.由周期函数的性质知,当x4,6时,y=f (x)的最小值是 - 1,故选B.12.D因为函数y=f (x+2)是偶函数,所以直线x=0是其图象的对称轴,直线x=2也是函数y=f (x)图象的对称轴.因为f (x)=f (4 - x)=f (1 - 1x+4),所以x=1 - 1x+4或4 - x=1 - 1x+4.由x=1 - 1x+4,得x2+3x - 3=0,10,设方程的两根分别为x1,x2,则x1x2= - 3;由4 - x=1 - 1x+4,得x2+x - 13=0,20,设方程的两根分别为
13、x3,x4,则x3x4= - 13.所以x1x2x3x4=39.故选D.13.A当x1时,f (x)为增函数,且f (x)(0,+),当01,-1+xx,0x1.因为不等式f (x)x+b的解集为x|cxe,易知ln x=x+b的解为x=e,所以b=1 - e,当x=1时,x+b=1+1 - e=2-e0,故0c1.令-1+xx=x+1 - e,得x2 - ex+1=0,从而x=e-e2-42,则c=e-e2-42,故选A.14.B因为函数f (x)在R上满足f ( - x)=f (x),所以函数f (x)为偶函数.由函数f (x)在( - ,0)上是减函数知函数f (x)在(0,+)上是增函
14、数.又a=f ( - 1)=f (1),b=f (log214)=f ( - 2)=f (2),c=f (20.3),120.32,所以acb.故选B.15.(1,2)由题意设图象的对称中心为(a,b),则2b=f (a+x)+f (a - x)对任意x均成立,代入函数解析式得,2b=(a+x)3 - 3(a+x)2+5(a+x) - 1+(a - x)3 - 3(a - x)2+5(a - x) - 1=2a3+6ax2 - 6a2 - 6x2+10a - 2=2a3 - 6a2+10a - 2+(6a - 6)x2对任意x均成立,所以6a - 6=0,且2a3 - 6a2+10a - 2=
15、2b,即a=1,b=2,即f (x)的图象的对称中心为(1,2).16. - 4由f (x)为定义在R上的奇函数可知f (0)=0,又g(0)=0,所以f (0) - g(0)=20+b=0,得b= - 1,所以f (1) - g(1)=4,于是f ( - 1)+g( - 1)= - f (1)+g(1)= - f (1) - g(1)= - 4.17. ( - 1,3)(注意:写闭区间也给分)函数f (x)=x3+ax2+bx满足f (1+x)+f (1 - x)+22=0,即(1+x)3+a(1+x)2+b(1+x)+(1 - x)3+a(1 - x)2+b(1 - x)+22=0,整理得(2a+6)x2+2a+2b+24=0,即2a+6=0,2a+2b+24=0,解得a=-3,b=-9,所以f (x)=x3 - 3x2 - 9x,f (x)=3x2 - 6x - 9,令f (x)0,解得 - 1x3,故函数f (x)的单调递减区间是( - 1,3).
