1、第三讲椭圆 1.多选题已知椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0),则下列结论正确的是()A.若a=2b,则的离心率为22B.若的离心率为12,则ba=32C.若F1,F2分别为的两个焦点,直线l过点F1且与交于点A,B,则ABF2的周长为4aD.若A1,A2分别为的左、右顶点,P为上异于点A1,A2的任意一点,则直线PA1,直线PA2的斜率之积为-b2a22.2020山西大同高三调研在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F 1,F 2在x轴上,离心率为22,过F 1的直线l交C于A,B两点,且ABF 2的周长为16,那么C的方程为()A.x236+y218=1B.x216+y210
2、=1 C.x24+y22=1 D.x216+y28=13.2020湖北省宜昌一中模拟椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点为F 1( - c,0),F 2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足F1MF2M=0,则椭圆的离心率的取值范围为()A.(0,22 B.(0,22)C.(22,1) D.22,1)4.2020江西抚州高三第一次联考已知点P是椭圆x216+y28=1上非顶点的动点,F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M为F 1PF 2的平分线上一点,且F1MMP=0,则|OM|的取值范围为()A.(0,3 B.(0,22C.(0,3) D.(0,22)5.201
3、8全国卷已知F 1,F 2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF 1F 2为等腰三角形,F 1F 2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.146.2019沈阳高三质量监测已知椭圆的方程为x29+y24=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F 2是椭圆的右焦点,则ABF 2的周长的最小值为,ABF 2的面积的最大值为.7.2020云南师大附中高三模拟设F 1,F 2为椭圆C:x24+y2=1的两个焦点,M为C上一点,且MF 1F 2的内心I的纵坐标为2 - 3,则F 1MF 2的余弦值为.8.2019浙
4、江高考已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F ,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O为圆心,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是. 考法1 椭圆定义的应用1(1)2020武汉市武昌实验中学模拟已知F 1,F 2分别是椭圆C:x2a2+y29=1(a3)的左、右焦点,P为椭圆C上一点,且F 1PF 2=120,则|PF 1|PF 2|=.(2)2020江西省九江市三校联考已知F 是椭圆C:x225+y216=1的右焦点,P是椭圆上一点,A(0,365),当APF 的周长最大时,该三角形的面积为.(1)椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a余弦定理:|F1F2|2=|P
5、F1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120得到|PF 1|PF 2|的值(2)条件1:椭圆方程x225+y216=1条件2:APF周长最大直线AF的方程yP的值目标:SAPF =12|F F |yA - yP|(1)由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a,且|F 1F 2|=2c=2a2-9.根据余弦定理,得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2 - 2|PF 1|PF 2|cos 120,所以4(a2 - 9)=4a2 - 2|PF 1|PF 2|+|PF 1|PF 2|=4a2 - |PF 1|PF 2|,解得|PF 1|PF 2|=36.故填36.(2
6、)设椭圆的左焦点为F ,由椭圆方程得a=5,F (3,0),F ( - 3,0).APF 的周长为|AF |+|AP|+|PF |=|AF |+|AP|+2a |PF |10+(|AF |+|AF |),当A,F ,P三点共线且F 在线段AP上时取等号,此时APF 的周长最大.设点P的坐标为(xP,yP),yP - 9),将点(3, - 5)的坐标代入,可得(-5)225+k+(3)29+k=1,解得k= - 5,所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.C2.2019全国卷已知椭圆C的焦点为F 1( - 1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C交于A,B两点.若|AF 2|=2|F
7、 2B|,|AB|=|BF 1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1考法3 椭圆的几何性质命题角度1求椭圆离心率或其取值范围3 2017全国卷已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx - ay+2ab=0相切,则C的离心率为A.63B.33C.23D.13根据已知求出圆的方程,根据直线与圆相切列出关于a,b的等式,结合a2=b2+c2求出离心率.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,由原点到直线bx - ay+2ab=0的距离d=2abb2+a2
8、=a,得a2=3b2,所以C的离心率e=1-b2a2=63.A命题角度2求与椭圆有关的最值或取值范围问题42017全国卷设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是A.(0,19,+)B.(0,39,+) C.(0,14,+) D.(0,34,+)焦点位 置不确定,分情况讨论.依题意得3mtanAMB2,0m3,所以3mtan60,0m3,解得0b0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得kPA1kPA2 - 12,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,12)B.(0,22)C.(22,1)D.(12,1) （2）如图9 -3 -
9、2,焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1的离心率e=12,F ,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则PFPA的最大值为.考法4 直线与椭圆的综合应用命题角度1直线与椭圆的位置关系5已知对任意kR,直线y - kx - 1=0与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,则实数m的取值范围为.解法一由椭圆方程,可知m0,且m5,将直线与椭圆的方程联立,得y-kx-1=0,x25+y2m=1,整理,得(5k2+m)x2+10kx+5(1 - m)=0.因为直线与椭圆恒有公共点,故=(10k)2 - 4(5k2+m)5(1 - m)=20(5k2m - m+m2)0.因为m0,所以不等式等价
10、于5k2 - 1+m0,即k21-m5,由题意,可知不等式恒成立,则1-m50,解得m1.综上,m的取值范围为m1且m5.解法二因为方程x25+y2m=1表示椭圆,所以m0且m5.因为直线y - kx - 1=0过定点(0,1),所以要使直线和椭圆恒有公共点,点(0,1)在椭圆上或椭圆内,即025+12m1,整理得1m1,解得m1.综上,m的取值范围为m1且m5.命题角度2弦长问题6 2019河北省六校联考已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2c,且b=3c,圆O:x2+y2=r2(r0)与x轴交于点M,N,P为椭圆E上的动点,|PM|+|PN|=2a,PMN面积的最大值为3.
11、(1)求圆O与椭圆E的方程;(2)圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围.(1)因为b=3c,所以a=2c.因为|PM|+|PN|=2a,所以点M,N为椭圆的焦点,所以r2=c2=14a2.设P(x0,y0), - by0b,则SPMN=r|y0|=12a|y0|,当|y0|=b时,(SPMN)max=12ab=3,所以r=c=1,b=3,a=2,所以圆O的方程为x2+y2=1,椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)当直线l的斜率不存在时,不妨取直线l的方程为x=1,则可取A(1,32),B(1, - 32),|AB|=3.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A
12、(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),因为直线l与圆O相切,所以|m|1+k2=1,即m2=1+k2,由x24+y23=1,y=kx+m消去y,可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 - 12=0,=64k2m2 - 4(4k2+3)(4m2 - 12)=48(4k2+3 - m2)=48(3k2+2)0,x1+x2= - 8km4k2+3,x1x2=4m2-124k2+3.|AB|=k2+1(x1+x2)2-4x1x2=43k2+14k2+3-m24k2+3=43(k2+1)(3k2+2)4k2+3=43(k2+34+14)3(k2+34)-144k2+3=3-1161(k2+34
13、)2+121k2+34+3.令t=1k2+34,0t43,则|AB|=3-116t2+12t+3,0t43,所以|AB|=3-116(t-4)2+4,所以3b0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(1, - 1),则E的方程为A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1由“点差法”得到中点坐标和斜率的关系式利用焦点坐标和中点坐标,结合c=3,求出a2,b2的值得到椭圆方程设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得x12a2+y122=1,x22a2+y22b2=1, - 得x12
14、-x22a2+y12-y22b2=0,易知x1x2,x1+x2a2+y1-y2x1-x2y1+y2b2=0. x1+x2=2,y1+y2= - 2,kAB=-1-01-3=12,2a2+12-2b2=0,即a2=2b2.又c=3=a2-b2,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为x218+y29=1.D本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,而是利用点差法,巧妙地表达出直线AB的斜率,并利用焦点坐标和中点坐标建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.4.2019天津高考设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F ,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.()求椭圆的方程
15、;()设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF |(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率.数学应用 椭圆与物理知识的融合8如图9 - 3 - 3所示,椭圆有这样的一个光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),其左、右焦点分别是F 1,F 2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF 1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l 与椭圆长轴交于点M,若e=32,SPMF1SPMF2=13,则椭圆C的标准方程为A.x24+y22=1B.x24+y23
16、=1 C.x24+y2=1 D.x23+y22=1由光学知识得到直线l 平分F 1PF 2由三角形面积比和已知条件可求出a的值,再利用椭圆的定义、离心率可求出b的值即得椭圆的方程由光学知识可知直线l 平分F 1PF 2,因为SPMF1SPMF2=|F1M|F2M|=12|F1P|PM|sinF1PM12|F2P|PM|sinF2PM=|PF1|PF2|=13,|PF 1|=1,所以|PF 2|=3,又|PF 1|+|PF 2|=2a,所以a=2.因为e=ca=32,b2=a2 - c2,所以b=1,所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.C1.BCD若a=2b,则c=3b,e=32,选项A不正确
17、;若e=12,则a=2c,b=3c,ba=32,选项B正确;根据椭圆的定义易知选项C正确;设P(x0,y0),则x02a2+y02b2=1,易知A1(- a,0),A2(a,0),所以直线PA1,直线PA2的斜率之积为y0x0+ay0x0- a=y02x02- a2=b2(1- x02a2)x02- a2=- b2a2,选项D正确.故选BCD.2.D设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由e2=c2a2=1- b2a2=12,得a2=2b2,根据椭圆的定义可知ABF2的周长为4a,所以4a=16,即a=4,a2=16,b2=8,则椭圆的标准方程为x216+y28=1,故选D.3.D设
18、点M(x0,y0),因为F1MF2M=0,所以(x0+c)(x0- c)+y02=0,即x02+y02=c2.又点M在椭圆C上,所以x02a2+y02b2=1.联立,结合a2- b2=c2,可得x02=a2(c2- b2)c2.由椭圆的性质可知0x02a2,即a2(c2- b2)c20,a2(c2- b2)c2a2,即c2b2,c2- b2c2,所以c2b2,所以c2a2- c2,即2c2a2,可得e212.又0e1,所以22e1.故选D.4.D如图D 9- 3- 1所示,不妨设点P在y轴右侧,延长PF2,F1M交于点N.因为M为F1PF2的平分线上一点,且F1MMP=0,所以PM垂直平分F1
19、N,故|PF1|=|PN|,由中位线定理可得|OM|=12|F2N|.设点P(x0,y0),x0(0,4),由椭圆焦半径公式得,|PF1|=a+ex0,|PF2|=a- ex0,所以|F2N|=|PF1|- |PF2|=2ex0,故|OM|=ex0.因为a=4,c=16- 8=22,所以e=22.又x0(0,4),所以|OM|=ex0(0,22),故选D.5.D由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图D 9- 3- 2所示,图D 9- 3- 2设|F1F2|=2c,PF1F2为等腰三角形,且F1F2P=120,|PF2|=|F1F2|=2c.|OF2|=c,点P的坐标为(c+2ccos 60,2cs
20、in 60),即P(2c,3c).点P在过点A且斜率为36的直线上,3c2c+a=36,解得ca=14,e=14,故选D. 6.1025设F1是椭圆的左焦点.如图D 9- 3- 3,连接AF1.由椭圆的对称性,结合椭圆的定义知|AF2|+|BF2|=2a=6,所以要使ABF2的周长最小,必有|AB|=2b=4,所以ABF2的周长的最小值为2a+2b=10.设A(xA,yA),SABF2=SAF1F2=122c|yA|=5|yA|25(当且仅当点A在y轴上时等号能取到),所以ABF2面积的最大值为25.【技巧点拨】以椭圆上一点P与椭圆的两焦点为顶点的三角形通常称为“焦点三角形”,利用椭圆的定义可
21、求其周长.图D 9- 3- 3 图D 9- 3- 47.0如图D 9- 3- 4,由题意知MF1F2的内切圆的半径为2- 3,由三角形的面积=12内切圆半径三角形的周长,得SMF1F2=12(2- 3)(4+23)=(2- 3)(2+3)=1.又焦点三角形的面积SMF1F2=b2tan(12F1MF2)=tan(12F1MF2),所以tan(12F1MF2)=1,所以12F1MF2=4,则F1MF2=2,所以cosF1MF2=0.8.15 解法一依题意,设点P(m,n)(- 3m0),由题意知F(- 2,0),所以线段FP的中点M的坐标为(- 2+m2,n2).因为点M在圆x2+y2=4上,所
22、以(- 2+m2)2+(n2)2=4,又点P(m,n)在椭圆x29+y25=1上,所以m29+n25=1,所以4m2- 36m- 63=0,所以m=- 32,n=152,所以kPF=152- 0- 32- (- 2)=15.图D 9- 3- 5解法二如图D 9- 3- 5,连接O与PF的中点M,由题意知|OM|=|OF|=2,设椭圆的右焦点为F1,连接PF1,在PFF1中,OM为中位线,所以|PF1|=4,由椭圆的定义知|PF|+|PF1|=6,所以|PF|=2.因为M为PF的中点,所以|MF|=1.在等腰三角形OMF中,过O作OHMF于点H,所以|OH|=22- (12)2=152,所以kP
23、F=tanHFO=15212=15.图D 9- 3- 61.(1)B设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图D 9- 3- 6,连接MA,MB,DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是MAN的中位线,则|DF1|=12|AN|,同理可得|DF2|=12|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|).因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.故选B.(2)(3,15)不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c=36- 20=4.因为MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|
24、=2c=8,所以|F2M|=2a- 8=4.设M(x,y),则x236+y220=1,|F1M|2=(x+4)2+y2=64,x0,y0,得x=3,y=15,所以M的坐标为(3,15).2.B设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),因为|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,所以|BF1|=3|F2B|.又|BF1|+|F2B|=2a,所以|F2B|=a2,则|AF2|=a,|AB|=|BF1|=32a,|AF1|=a.解法一在ABF1中,由余弦定理得cosBAF1=|AB|2+|AF1|2- |BF1|22|AB|AF1|=(3a2)2+a2- (3a2)223a2a=
25、13.因为椭圆C的焦点为F1(- 1,0),F2(1,0),所以c=1,|F1F2|=2.在AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2- 2|AF1|AF2|cosBAF1,即4=a2+a2- 2a213,解得a2=3,所以b2=a2- c2=2.于是椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.解法二因为|AF1|=|AF2|=a,所以点A为椭圆的上顶点或下顶点.不妨设A(0,- b),因为AF2=2F2B,所以B(32,b2),代入椭圆方程得94a2+b24b2=1,解得a2=3.又c=1,所以b2=a2- c2=2.于是椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选
26、B.3.(1)C由题意知,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1(- a,0),A2(a,0),设P(x0,y0),则kPA1kPA2=y02x02- a2- 12.因为x02a2+y02b2=1,所以a2- x02=a2y02b2,所以b2a212,即a2- c2a212,1- e212,又0e1,故22e1,选C.(2) 4 由题意知椭圆的长半轴长a=2,因为e=ca=12,所以c=1,b2=a2- c2=3.故椭圆方程为x24+y23=1.设P点坐标为(x0,y0),- 2x02,- 3y03.因为F(- 1,0),A(2,0),PF=(- 1- x0,- y0),P
27、A=(2- x0,- y0),x024+y023=1,所以PFPA=x02- x0- 2+y02=14x02- x0+1=14(x0- 2)2.则当x0=- 2时,PFPA取得最大值4.4.()设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为x25+y24=1.()由题意,设P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立得y=kx+2,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=- 20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8- 10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4- 5k2- 10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=- 2k.由题意得N(0,- 1),所以直线MN的斜率为- k2.由OPMN,得4- 5k2- 10k(- k2)=- 1,化简得k2=245,从而k=2305.所以,直线PB的斜率为2305或- 2305.
