1、第二讲二项式定理1.2017全国卷,6,5分理(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15 B.20 C.30 D.352.2017全国卷,4,5分理(x+y)(2x - y)5的展开式中x3y3的系数为()A. - 80B. - 40C.40D.803.2019广东湛江一模(2x - 3y)n(nN*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x - 2y)n的展开式的二项式系数之和等于()A.16B.32C.64D.1284.2019安徽十校高三摸底考试(x - y - 2z)6的展开式中含x2y3z的项的系数为.5.2019天津,10,5分理(2x - 18x
2、3)8的展开式中的常数项为.6.2017山东,11,5分理已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.7.2017浙江,13,6分已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.8.2020浙江金丽衢十二校第一次联考在(x2 - 12x)9的展开式中,常数项为,系数最大的项是.考法1求二项展开式中的特定项或特定项的系数1(1)2018全国卷,5,5分理(x2+2x)5的展开式中x4的系数为A.10B.20C.40D.80(2)2019全国卷,4,5分理(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为A.12B.16C.20
3、D.24(3)2019太原二模(x2+x+y)4的展开式中x3y2的系数是.(1)利用(x2+2x)5的展开式的通项公式求解;(2)先分别求出(1+x)4和2x2(1+x)4的展开式中x3的系数,再求和即可;(3)把x2+x+y看成x2+x与y的和,利用二项展开式的通项公式求解,或把(x2+x+y)4看成4个因式x2+x+y的乘积,利用组合数公式求解.(1)Tr+1=C5r(x2)5 - r(2x)r=C5r2rx10 - 3r,由10 - 3r=4,得r=2,所以x4的系数为C5222=40,故选C.(2)因为(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4,(注意各项的分配)其
4、中(1+x)4的展开式中x3的系数为C43=4,2x2(1+x)4的展开式中x3的系数为2C41=8,所以(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为4+8=12,故选A.(3)解法一(x2+x+y)4=(x2+x)+y4,(把“三项”当“两项”看)其展开式的第r+1项的通项公式为Tr+1=C4r(x2+x)4-ryr,(利用通项公式求解)因为要求x3y2的系数,所以r=2,即T3=C42(x2+x)4-2y2=6(x2+x)2y2.因为(x2+x)2的展开式中x3的系数为2,所以x3y2的系数是62=12.解法二(x2+x+y)4表示4个因式x2+x+y的乘积,在这4个因式中,有2个因式
5、选y,其余的2个因式中有一个选x,剩下的一个选x2,即可得到含x3y2的项,(利用组合数公式求解)故x3y2的系数是C42C21C11=12.1.(1)在(1 - 3x)7+(x+ax)6的展开式中,若x2的系数为19,则a=.(2)2019浙江,13,6分在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.(3)2020河北石家庄高三二模已知02x3dx=n,则(x+y+1)n展开式中x2y的系数为.考法2二项式系数的性质及应用命题角度1二项展开式中的系数和问题2(1)已知(1 - 2x)n(nN*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,则(1 - 2x)n的展开式中所
6、有项的系数和为.(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a9(x+1)9,且(a0+a2+a8)2 - (a1+a3+a9)2=39,则实数m的值为.(3)2015新课标全国,15,5分理(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.(1)利用展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,建立关于n的方程,解方程,求出n的值,再令x=1,即可得展开式中所有项的系数和.(2)给x赋值0,可得(2+m)9=a0+a1+a2+a9,再给x赋值 - 2,可得m9=a0 - a1+a2 - a3+ - a9,再代入条件,列出方程求解.(3)展开后根据已知条
7、件列方程求解或运用分配律结合通项求解或利用赋值法巧妙求解.(1)因为(1 - 2x)n(nN*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,所以Cn2=Cn7,解得n=9.令x=1,得(1 - 2x)9=(1 - 2)9= - 1,(对(1 - 2x)n中的x赋值)所以(1 - 2x)n的展开式中所有项的系数和为 - 1.(2)令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+a9,令x= - 2,则m9=a0 - a1+a2 - a3+ - a9,又(a0+a2+a8)2 - (a1+a3+a9)2=(a0+a1+a2+a9)(a0 - a1+a2 - a3+a8 - a9)=39,所以(2+m)
8、9m9=39,所以m(2+m)=3,解得m= - 3或m=1,故m的值为 - 3或1.(3)解法一直接将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.解法二(1+x)4的展开式的通项为Tr+1=C4rxr,由题意可知,a(C41+C43)+C40+C42+C44=32,解得a=3.解法三设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+a3+a5=32.令x=1,得(a+1)24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.令x= - 1,得0=a
9、0 - a1+a2 - a3+a4 - a5.由 - ,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=232,所以a=3.命题角度2与二项展开式中的系数有关的最值问题3已知(3x+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x - 1)n的展开式的二项式系数和大992,则在(2x - 1x)2n的展开式中,二项式系数最大的项为,系数的绝对值最大的项为.先根据两个二项式系数和的关系求出n,由n值来确定(2x - 1x)2n中二项式系数最大的项.要确定其展开式中系数绝对值最大的项,可列不等式求解.由题意知,22n - 2n=992,即(2n - 32)(2n+31)=0,故2n=32,解得n=5.由二项式系
10、数的性质知,(2x - 1x)10的展开式中第6项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为T6=C105(2x)5( - 1x)5= - 8064.设第k+1项的系数的绝对值最大,则Tk+1=C10k(2x)10 - k( - 1x)k=( - 1)kC10k210 - kx10 - 2k,令C10k210-kC10k-1210-k+1,C10k210-kC10k+1210-k-1,得C10k2C10k-1,2C10kC10k+1,即11-k2k,2(k+1)10-k,解得83k113.因为kZ,所以k=3.故系数的绝对值最大的项是第4项,T4= - C10327x4= - 15360x4.故
11、二项式系数最大的项为 - 8064,系数的绝对值最大的项为 - 15360x4.2.(1)2020山西大同高三调研若(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.210B.180C.160D.175(2)2020河北衡水中学高三联考若(1+x)(1 - 2x)7=a0+a1x+a2x2+a8x8,则a1+a2+a7的值是()A. - 2B. - 3C.125D. - 131(3)已知(2x - 1x)n的展开式中的二项式系数和为32.若(x+ax)(2x - 1x)n的展开式中的各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为.易错混淆二项展开式中项的系数与二项式系
12、数致误4(1)2020安阳高三第一次调研考试已知(2x+1x+a)(1 - x)4的展开式中含x3的项的系数为5,则a=.(2)设(5x - x)n的展开式中的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M - N=240,则展开式中二项式系数最大的项为.(1)(2x+1x+a)(1 - x)4的展开式中含x3的项为2xC42( - x)2+1x( - x)4+aC43( - x)3,即(13 - 4a)x3,由已知条件知13 - 4a=5,解得a=2.(2)令x=1,可得M=4n=(2n)2,易知N=2n,于是有M - N=(2n)2 - 2n=240,即(2n+15)(2n - 16)=0,解
13、得n=4.要使展开式中二项式系数C4k最大,则k=2,故展开式中二项式系数最大的项为T3=C42(5x)2( - x)2=150x3.素养探源核心素养考查途径素养水平逻辑推理(1)根据展开式中含x3的项的系数的产生情况列方程;(2)根据项的系数和及二项式系数和列方程求n,求二项式系数最大项.二数学运算组合数公式应用及解方程计算.一易错警示解答此题的易错点有两处:(1)混淆二项式系数与项的系数,在(ax+b)n的展开式中,第k+1项的二项式系数是指Cnk,第k+1项的系数是Cnkan - kbk;(2)混淆二项式系数和与项的系数和,在(ax+b)n的展开式中,令x=1即得各项系数之和为(a+b)
14、n,而(ax+b)n的展开式中的二项式系数之和为Cn0+Cn1+Cnn=2n.解题时一定要仔细审题,准确把握每一个概念和条件,以免差之毫厘,谬以千里.1.C(1+x)6展开式的通项Tr+1=C6rxr,所以(1+1x2)(1+x)6的展开式中x2的系数为1C62+1C64=30,故选C.【技巧点拨】求解二项式与代数式的积的展开式的特定项的系数问题的关键:一是将二项式看作一个整体,利用分配律整理所给式子;二是利用二项展开式的通项公式求特定项.【易错警示】本题易错点有两个:一是漏掉“代数式的分配”,导致错解;二是混淆二项展开式的某一项的系数与二项式系数,注意它们是两个不同的概念.2.C当第一个括号
15、内取x时,第二个括号内要取含x2y3的项,即C53(2x)2( - y)3,当第一个括号内取y时,第二个括号内要取含x3y2的项,即C52(2x)3( - y)2,所以x3y3的系数为C5223 - C5322=10(8 - 4)=40.3. A(2x - 3y)n(nN*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,Cnn - 121( - 3)n - 1= - Cnn - 222( - 3)n - 2,解得n=4,24=16,则(3x - 2y)4的展开式的二项式系数之和等于16,故选A.【易错警示】本题主要考查二项式定理的应用,注意区分二项式系数与项的系数.4.120(x - y
16、- 2z)6的展开式中含x2y3z的项为C64x2C41( - y)3( - 2z)=120x2y3z,故展开式中含x2y3z的项的系数为120.5.28二项展开式的通项Tr+1=C8r(2x)8 - r( - 18x3)r=( - 18)r28 - rC8rx8 - 4r,令8 - 4r=0,可得r=2,故常数项为( - 18)226C82=28.6.4由题意可知Cn232=54,所以Cn2=6,解得n=4.【技巧点拨】通项公式Tr+1=Cnran - rbr(r=0,1,2,n)中含有a,b,n,r,Tr+1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关求参数问题中,常利用
17、等价转化的思想方法把求参数问题转化为解方程(组)问题.【易错警示】此类题易错点有两处:一是符号因子易弄丢,导致失分;二是组合数与排列数的公式搞混,导致解方程出错.7.164由题意知a4为含x的项的系数,根据二项式定理得a4=C3212C2222+C3313C212=16,又a5是常数项,所以a5=C3313C2222=4.8.21169x12展开式的通项公式为Tr+1=C9r(x2)9 - r( - 12x)r,当18 - 2r=r时,r=6,所以常数项为T7=C96(x2)3( - 12x)6=2116,要使项的系数最大,r必须为偶数,即有C9r(12)rC9r - 2(12)r - 2,C
18、9r(12)rC9r+2(12)r+2,则9!r!(9 - r)!(12)r9!(r - 2)!(11 - r)!(12)r - 2,9!r!(9 - r)!(12)r9!(r+2)!(7 - r)!(12)r+2,解得1609 - 296r1609 - 176.又r是偶数,故r=2,所以系数最大项为T3=C92(x2)7( - 12x)2=9x12.1.(1)2(1 - 3x)7+(x+ax)6的展开式中x2的系数为C76( - 1)6+C61(a)1=C76+aC61,则aC61+C76=19,解得a=2.(2)1625(2+x)9的通项公式为Tr+1=C9r(2)9 - rxr(r=0,
19、1,2,9),可得常数项为T1=C90(2)9=162,当系数为有理数时,r=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T8,T10,共5个项.(3)1202x3dx=x4402=4,则n=4.(x+y+1)4中含x2y的项为C42x2C21y=12x2y,故展开式中x2y的系数为12.2.(1)B解法一因为(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n=10,则(x-2x2)10的展开式的通项公式为Tk+1=C10k(x)10 - k( - 2x2)k=( - 2)kC10kx10 - k2 - 2k=( - 2)kC10kx5 - 52k,令5 - 52k=0,解得k=2,所以
20、常数项为( - 2)2C102=180.解法二因为(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n=10,则(x-2x2)10可以看成10个多项式x-2x2相乘,要想得到常数项,则需在其中2个多项式中取 - 2x2,余下的8个多项式中都取x,则常数项为C102( - 2x2)2(x)8=180.(2)C对于题中等式,令x=0,得a0=1,令x=1,得 - 2=a0+a1+a2+a7+a8,所以a1+a2+a7+a8= - 3.因为(1+x)(1 - 2x)7=(1+x)C7017( - 2x)0+C7116( - 2x)1+C7710( - 2x)7,所以a8=C7710( - 2)7= - 128,所以a1+a2+a7=125,故选C.(3)40因为(2x - 1x)n的展开式中的二项式系数和为32,所以2n=32,所以n=5.令x=1,得(x+ax)(2x - 1x)5的展开式中的各项系数的和为(1+a)(2 - 1)5=2,即a=1,所以(x+ax)(2x - 1x)5的展开式中的常数项为C53( - 1)325 - 3+C52( - 1)225 - 2=40.
