1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题能力提升练(一) (120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设f(x)是定义在-2，2上的奇函数，若f(x)在-2，0上单调递减，则使f(a2-a)0成立的实数a的取值范围是()A.-1，2B.-1，0)(1，2C.(0，1)D.(-，0)(1，+)【解析】选B.由于f(x)是定义在-2，2上的奇函数，若f(x)在-2，0上单调递减，则由奇函数的图象关于原点对称，则f(x)在-2，
2、2上递减，且f(0)=0.f(a2-a)0即f(a2-a)f(0)，即有解得所以，1a2或-1af(1)，则实数x的取值范围是()A.B.(1，+)C.D.(0，1)(10，+)【解析】选C.因为f(x)是偶函数，它在0，+)上是减函数，所以f(x)在(-，0)上单调递增，由f(lgx)f(1)，f(1)=f(-1)，得：-1lgx1，所以x10.3.(2015沈阳模拟)由曲线y=x2,y=围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.1【解题提示】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标,然后求定积分即可得到曲线y=x2,y=围成的封闭图形的面积.【解析】选B.由曲线y=x2,y=联立,因为x0,所以
3、解得x=0或x=1,所以曲线y=x2与y=所围成的图形面积S=(-x2)dx=-x3=.4.(2015广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y=x2+sinxB.y=x2-cosxC.y=2x+D.y=x+sin2x【解题提示】先求出函数的定义域，再利用f与f的关系判断奇偶性.【解析】选A.函数f(x)=x2+sinx的定义域为R，关于原点对称，因为f(1)=1+sin1，f=1-sin1，所以函数f(x)=x2+sinx既不是奇函数，也不是偶函数.函数f(x)=x2-cosx的定义域为R，关于原点对称，因为f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cosx=f(x)
4、，所以函数f(x)=x2-cosx是偶函数.函数f(x)=2x+的定义域为R，关于原点对称，因为f(-x)=2-x+=+2x=f(x)，所以函数y=f(x)=2x+是偶函数.函数f(x)=x+sin2x的定义域为R，关于原点对称，因为f(-x)=-x+sin(-2x)=-x-sin2x=-f(x)，所以函数f(x)=x+sin2x是奇函数.5.(2015淄博模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，f(x)=f(x+4)，且x(-1，0)时，f (x)=2x+，则f(log220)=()A.1B.C.-1D.-【解析】选C.由于f(-x)=-f(x)，因此函数为奇函数，f(x)
5、=f(x+4)，故函数的周期为4，log216log220log232，即4log2205，0log220-41，所以0log21，所以f(log220)=f(log220-4)=f=-f=-f=-=-=-1.6.已知函数f(x)=xx，其中x表示不超过实数x的最大整数，如-1.01=-2，1.99=1，若-x，则f(x)的值域为()A.0，1，2B.0，1，2，3C.-2，-1，0D.-1，0，1，2【解析】选B.-x-1时，x=-2，2xx3，所以f(x)可取2，3.-1x0时，x=-1，0xx1，所以f(x)可取0，1.0x1时，x=0，xx=0，所以f(x)=0.1x时，x=1，1xx
6、2，不等式(x-m)xm+2都成立，则实数m的取值范围是()A.-1，7B.(-，7C.(-，3D.(-，-17，+)【解析】选B.因为xy=x(1-y)，所以(x-m)xm+2转化为(x-m)(1-x)m+2，所以-x2+x+mx-mm+2，m(x-2)x2-x+2，因为任意x2，不等式(x-m)xm+2都成立，所以m.令f(x)=，x2，则mf(x)min，而f(x)=(x-2)+32+3=7，当且仅当x=4时，取最小值.所以m7.【方法技巧】解答新概念、新运算问题的方法技巧(1)认真阅读、准确提取信息.(2)剥去新概念、新运算的外表，将陌生问题转化为相应数学问题，(如集合、函数、向量等)
7、.(3)利用相应的知识将问题解决.7.(2015全国卷)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=()A.-1B.1C.2D.4【解析】选C.因为函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称，所以-x=2-y+a，解得f(x)=-log2(-x)+a，又f(-2)+f(-4)=1，所以-log22-log24+2a=1，解得a=2.8.(2015南阳模拟)已知函数f(x)=(asin x+bcos x)e-x在x=处有极值,则函数y=asin x+bcos x的图象可能是()【解析】选A.因为f(x)=(acos x
8、-bsin x)e-x-(asin x+bcos x)e-x=e-x(a-b)cos x-(a+b)sin x,又因为f(x)=(asin x+bcos x)e-x在x=处有极值,所以f=0,整理得a=b,代入y=asin x+bcos x后得y=b(2+)sin x+cos x,所以y=b(2+)cos x-sin x,对于A项,因为f(0)0,所以b0,此时将x=分别代入,经计算f0,f0,所以b0,此时将x=分别代入,经计算f0,与图象在x=处是减函数不符,所以B选项不符合题意.对于C项,因为f(0)0,所以b0,此时将x=分别代入,经计算f0,与图象在x=处是增函数不符,所以C选项不符
9、合题意;对于D项,因为f(0)0,所以b0,此时将x=代入,经计算f0，则的取值范围是()A.(e，+)B.2，e)C.D.【解题提示】由已知先求的范围，再将转化为关于的函数，求其值域.【解析】选D.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f=f=f，所以由不等式f+f-2f(1)0，得ff(1)，又f(x)在0，+)上为减函数，所以1，即-1ln1，解得1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a1满足题意;当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意;当0a1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意;a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意;当a0时,函数y=
10、f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b有两个交点,综上可得,a1.答案:a|a1【加固训练】(2015贵阳模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-kx有3个零点，则实数k的取值范围是.【解析】因为函数f(x)=所以f(0)=e0-1=0，所以x=0是函数y=f(x)-kx的一个零点，当x0时，由f(x)=kx，得-x2+x=kx，即-x+=k，解得x=-k，由x=-k.当x0时，函数f(x)=ex-1，f(x)=ex(1，+)，所以要使函数y=f(x)-kx在x0时有一个零点，则k1，即实数k的取值范围是(1，+).答案：(1，+)13.在平面直角坐标系中，若A，B两
11、点同时满足：点A，B都在函数y=f(x)图象上；点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数y=f(x)的一个“姐妹点对”(注：点对(A，B)与(B，A)为同一“姐妹点对”).已知函数g(x)=ax-x-a，(a0，a1).(1)当a=2时，g(x)有个“姐妹点对”.(2)当g(x)有“姐妹点对”时，实数a的取值范围是.【解题提示】(1)当a=2时，化简g(x)的表达式，利用定义求出x的值，判断“姐妹点对”的个数.(2)g(x)有“姐妹点对”，利用定义通过基本不等式即可求出实数a的取值范围.【解析】(1)因为2x+2-x-4=02x=2x=log2(2).当x=log2(2+)时，A(log
12、2(2+)，-log2(2+)，B(-log2(2+)，-+log2(2+)；当x=log2(2-)时，A(log2(2-)，-log2(2-)，B(-log2(2-)，+log2(2-).故两种情况的“姐妹点对”一样，答案只有一个.(2)2a=ax+a-x2a1.答案：(1)1(2)(1，+)14.(2015潍坊模拟)已知f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则t的取值范围为.【解析】由于当x0时，f(x)=x+t在x=1时得最小值2+t；由题意当x0时，f(x)=(x-t)2，若t0，此时最小值为f(0)=t2，故t2t+2，解得-1t2，由于t0，因此0t2；若t0，则f(t)f(0)
13、条件不成立，故t的取值范围为0t2.答案：0，215.已知函数f(x)=1+x-+-+，设F(x)=f(x+4)，且函数F(x)的零点均在区间a，b(a0；当x=-1时，f(-1)=20150；当x0，x-1时，f(x)=，无论x-1，还是x0.综上可知：对xR，都有f(x)0.所以函数f(x)单调递增，也就是说，函数f(x)至多有一个零点. 另一方面：f(0)=10，f(-1)=0-0，所以f(0)f(-1)0，由函数零点的判定定理可知：函数f(x)的零点x0(-1，0).综上可知：函数f(x)有且只有一个零点x0(-1，0).又F(x)=f(x+4)，且函数F(x)的零点均在区间a，b(a
14、b，a，bZ)内，所以函数F(x)的零点x0必在区间(-5，-4)内.又(-5，-4)a，b，(a0)为奇函数，函数g(x)=1+x+(bR).(1)求函数f(x)的定义域.(2)当x时，关于x的不等式f(x)lgg(x)有解，求b的取值范围.【解析】(1)由f(x)=lg(a0)为奇函数得f(-x)+ f(x)=0，即lg+lg=lg=0，所以=1，解得a=1，经检验符合题意，故f(x)=lg，所以f(x)的定义域是(-1，1).(2)不等式f(x)lgg(x)等价于1+x+，即bx2+x在x有解，故只需b(x2+x)min，函数y=x2+x=-在x单调递增，所以ymin=+=，所以b的取值
15、范围是.17.(12分)已知函数g(x)=alnx，f(x)=x3+x2+bx.(1)若f(x)在区间1，2上不是单调函数，求实数b的范围.(2)若对任意x1，e，都有g(x)-x2+(a+2)x恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)由f(x)=x3+x2+bx，得f(x)=3x2+2x+b，因为f(x)在区间1，2上不是单调函数，所以f(x)=3x2+2x+b在1，2上最大值大于0，最小值小于0，f(x)=3x2+2x+b=3+b-，所以所以-16b-5.(2)由g(x)-x2+(a+2)x，得(x-lnx)ax2-2x，因为x1，e，所以lnx1x，且等号不能同时取，所以lnx0，所以
16、a恒成立，即a，令t(x)=，(x1，e)，求导得t(x)=，当x1，e时，x-10，0lnx1，x+2-2lnx0，从而t(x)0，所以t(x)在1，e上是增函数，所以tmax(x)=t(1)=-1，所以a-1.【加固训练】(2015上海模拟)设a是实数，函数f(x)=4x+|2x-a|(xR).(1)求证：函数f(x)不是奇函数.(2)当a0时，解关于x的方程f(x)=a2.(3)当a0时，求函数y=f(x)的值域(用a表示).【解析】(1)假设f(x)是奇函数，则对于一切xR，有f(-x)=-f(x)，所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=0，又f(0)=40+|20-a|1，矛盾，所
17、以假设不成立，故f(x)不是奇函数.(2)因为2x0，4x0，所以当a0时，f(x)=4x+2x-a，由f(x)=a2，得4x+2x-a=a2，即4x+2x-a(a+1)=0，解得2x=a(舍去)或2x=-(a+1)，所以当a+10时，即-1a0时，原方程无解.当a+10，即a0，原函数变成y=t2+|t-a|，因为a0，所以y=对于0ta，有y=+a-.当0a时，y是关于t的减函数，y的取值范围为a2，a).当a时，ymin=a-，aa，有y=t2+t-a=-a-是关于t的增函数，其取值范围为(a2，+).综上可知，当0a0，若a时，f(x)min=f(1)=0，f=，此时，f(x)的图象如
18、图所示.要使得有四个不相等的实数根满足f(x)=m，即函数y=m与y=f(x)的图象有四个不同的交点，因此m的取值范围为.(2)若a=0，则f(x)=x2-1，在1，2上单调递增，满足条件.若a0，则f(x)=只需考虑x-的情况.此时f(x)的对称轴为x=，因此，只需1，即0a2.若a0，则f(x)=结合函数图象，有以下情况：当-，即-a-，即a-时，f(x)在和内均单调递增，如图所示，只需-2或-1，解得：-2a-，即有a的取值范围为-2a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性.(2)证明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)=0在区间(1，+)内有唯一解
19、.【解题提示】(1)二次求导后，进行讨论.(2)先假设存在，再通过求导，结合函数的单调性，证明存在性.【解析】(1)由已知，函数的定义域为(0，+)，所以g(x)=f(x)=2(x-1-lnx-a)所以g(x)=2-=，当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增.(2)由f(x)=2(x-1-lnx-a)=0，解得a=x-1-lnx.令(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx，则(1)=10，(e)=2(2-e)0.于是，存在x0(1，e)，使得(x0)=0，令a0=x0-1-lnx0=u(x0)，其中u(x)=x-1-lnx(
20、x1)，由u(x)=1-0知，函数u(x)在区间(1，+)上单调递增.故0=u(1)a0=u(x0)u(e)=e-21，即a0(0，1)，当a=a0时，有f(x0)=0，f(x0)=(x0)=0，再由(1)知，f(x)在区间(1，+)上单调递增，当x(1，x0)时， f(x)f(x0)=0，当x(x0，+)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)=0，又当x(0，1时，f(x)=(x-a0)2-2xlnx0，故x(0，+)时，f(x)0.综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)=0在区间(1，+)内有唯一解.【加固训练】(2015宜昌模拟)已知函数f(x)=ax2+x+c(a
21、0)过坐标原点，且在x=1处的切线方程为x-y-1=0(1)求f(x)的解析式.(2)设g(x)=lnx-f(x)f(x)，求g(x)的最大值及相应的x值.(3)对于任意正数x，恒有f(x)+f-2lnm，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)=ax2+x+c(a0)过坐标原点，所以f(0)=c=0，所以f(x)=2ax+b-，由函数f(x)在x=1处的切线方程为x-y-1=0知，f(1)=2a+b-=1且f(1)=a+b-=0，解得a=1，b=-，所以f(x)=x2-x.(2)g(x)=lnx-f(x)f(x)=lnx-2x3+3x2-x，因为g(x)=-，所以当x(0，1)时，
22、g(x)单调递增；当x(1，+)时，g(x)单调递减.所以当x=1时，g(x)有最大值，且g(x)max=0.(3)x0时，不等式x2+-2lnm恒成立，令x+=t(t2)，则lnmt-1，所以lnm=-1，所以00),讨论h(x)零点的个数.【解析】(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f(x0)=0,即解得x0=,a=-.因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(2)当x(1,+)时,g(x)=-lnx0,从而h(x)=ming(x)0,故h(x)在(1,+)无零点.当x=1时,若a-,则f(1)=a+0,h(1)=min=g(1)=0,故x=1是h
23、(x)的零点;若a-,则f(1)0,h(1)=min=f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.(i)若a-3或a0,则f(x)=3x2+a在(0,1)上无零点,故f(x)在(0,1)单调.而f(0)=,f(1)=a+,所以当a-3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a0时,f(x)在(0,1)没有零点.(ii)若-3a0,即-a0,f(x)在(0,1)没有零点;若f=0,即a=-,则f(x)在(0,1)有唯一零点;f0,即-3a-,由于f(0)=,f(1)=a+,所以当-a-时,f(x)在(0,1)有两个零点;当-3-或a-时,h(x)有一个零点;当a=-或a=-时,h(x)
24、有两个零点;当-a-时,h(x)有三个零点.21.(14分)已知函数f(x)=(m,nR,e是自然对数的底数).(1)若函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+ey-3=0,求函数f(x)的单调区间.(2)当n=-1,mR时,若对于任意x都有f(x)x恒成立,求实数m的最小值.(3)当m=n=1时,设函数g(x)=xf(x)+tf(x)+e-x(tR),是否存在实数a,b0,1,使得2g(a)0时,f (x)0,当x0,所以f(x)的单调增区间为(-,0),单调减区间为(0,+).(2)由n=-1,mR,f(x)x,得x,即mex+.对于任意x,有f(x)x恒成立,等价于mex+,对于
25、任意x恒成立.记(x)=ex+,所以(x)=ex-,设h(x)=ex-,所以h(x)=ex+0对x恒成立.所以h(x)=ex-在上单调递增.而h=-40.所以(x)=ex-在上有唯一零点x0.所以当x时,(x)0.所以(x)在上单调递减,在(x0,2)上单调递增,所以(x)的最大值是和(2)中较大的一个.又因为=+2,(2)=e2+,因为e2+2,所以me2+,所以m的最小值为e2+.(3)假设存在a,b0,1,使得2g(a)g(b),则问题等价于2g(x)ming(x)max,当m=n=1时g(x)=-+=,所以g(x)=-.当t1时,g(x)0,g(x)在0,1上单调递减,所以2g(1)g(0),即23-1.当t0时,g(x)0,g(x)在0,1上单调递增,所以2g(0)g(1),即2,得t3-2e0.当0t1时,在x0,t)上,g(x)0,g(x)在(t,1上单调递增,所以2g(t)maxg(0),g(1),即2max(*)由(1)知f(t)=在0,1上单调递减,故22=,所以不等式(*)无解.综上所述,存在t(-,3-2e),使得命题成立.关闭Word文档返回原板块
