1、1已知函数f(x)xex，g(x).(1)求函数f(x)的极值；(2)当x0时，求证：f(x)g(x)2设函数f(x).(1)求f(x)的单调区间；(2)若对任意的x1，x22,3都有|f(x1)f(x2)|m恒成立，求实数m的取值范围3.(2020丽水期末)已知函数f(x)a(x1)(1)若a0，求f(x)的极值；(2)若在区间(1，)上f(x).答案精析1(1)解由题意知，f(x)xexex(x1)ex，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得x0时，要证f(x)g(x)，即证ex.令F(x)x2ln x(x0)，则F(x)2x(x0)，令F(x)0，得x，令F(x)0，得0x0时，F(x)
2、Fln0，所以x2ln x，即0时，exe01，所以当x0时，exxe2，所以当x0时，不等式f(x)g(x)成立2解(1)f(x)的定义域为(0,1)(1，)f(x)，当xe时，f(x)0，f(x)单调递增；当0x1或1xe时，f(x)0，所以f(x)在2,3上的值域为.由题意知，mf(x)maxf(x)min(2x3)，所以实数m的取值范围为.3解(1)f(x)的定义域为(0，)当a0时，因为f(x)，所以f(x).令f(x)0，解得xe，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，)上单调
3、递减所以f(x)有极大值，极大值为f(e)，没有极小值(2)在(1，)上f(x)0恒成立，即ln xax2ax0，不符合题意当a0，两根之积0.所以g(x)0有两个异号实根设两根为x1，x2，且x101时，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(1，x2)x2(x2，)g(x)0g(x)极大值所以g(x)在区间(1，x2)上单调递增，在区间(x2，)上单调递减，所以g(x2)g(1)0，不符合题意；当0x21时，g(1)0，即a1时，g(x)在(1，)上单调递减，所以当x(1，)时，g(x)g(1)0，符合题意综上，a1.4(1)解f(x)ln x24ax，f(x)在(0，)内单调递减，f(x)ln x24ax0在(0，)内恒成立，即4a在(0，)内恒成立令g(x)，则g(x)，当0x0，即g(x)在内为增函数；当x时，g(x)0，即g(x)在内为减函数g(x)的最大值为ge，a.(2)证明若函数f(x)有两个极值点分别为x1，x2，则f(x)ln x24ax0在(0，)内有两不等实根x1，x2，若a0，则f(x)在(0，)上单调递增，不符合由(1)，知0a.由两式相减，得ln x1ln x24a(x1x2)不妨设0x1，只需证明ln x1ln x2，亦即证明ln，01.令函数h(x)ln x,0h(1)0，ln x.即不等式ln成立综上，得x1x2.
