1、素养提升2高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略素养解读 从近几年的高考试题来看,全国卷交替考查解三角形和数列,对于解三角形的问题,学生要能够先从已知中抽象出可以利用正、余弦定理的条件,然后应用三角恒等变换和相关定理求解,主要考查考生的数学抽象、数学运算和逻辑推理素养.在解题过程中,要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.12019全国卷,18,12分文ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.本题可拆解成以
2、下几个小问题.(1)已知asinA+C2=bsin A,求证sinA+C2=sin B;根据中的结论求B的大小.(2)将ABC的面积表示成关于角C的函数;根据角C的取值范围求ABC面积的取值范围.(1)根据已知asinA+C2=bsin A,由正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为0A0,所以sinA+C2=sin B.因为0B,0A+C2,所以A+C2=B或A+C2+B=,而A+B+C=,故A+C2+B=不成立,所以A+C2=B,结合A+B+C=得3B=,所以B=3.(2)由三角形的面积公式有SABC=12acsin B=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=s
3、in(23 - C)sinC=32tanC+12.所以SABC=38tanC+38.因为A+C=23,且ABC为锐角三角形,所以6C2.所以tan C(33,+),所以38SABC32.故SABC的取值范围是(38,32).感悟升华阅卷现场得分点第(1)问采点得 分说 明利用正弦定理进行边角转化得1分;化简正确得1分;讨论全面得2分;求得结果得2分.6分第(2)问采点得 分说 明将面积表示成关于角C的函数得2分;求出角C的取值范围得2分;利用函数的单调性求出SABC的取值范围得2分.6分满分策略1.解决三角形问题的关键准确把握正、余弦定理的内容,灵活根据已知条件选用公式是解三角形的关键.2.边
4、角互化可利用正弦定理实行边角互化,因此化归思想很关键,如本例第(1)问.3.解三角形问题的运算技巧解三角形时常与同角三角函数基本关系式及三角恒等变换密不可分,所以熟练掌握三角公式是必不可缺的环节.4.变角在三角恒等变换中的运用在解三角形的过程中,变角尤其关键,如已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角的变换.22017全国卷,17,12分ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.(1)三角形的面积公式,已知条件等
5、量关系sin Bsin C的值(2)(1)因为ABC的面积为a23sinA,且SABC=12absin C,所以a23sinA=12absin C,1分(得分点1,应用三角形面积公式时选择好两边及夹角很关键)由正弦定理asinA=bsinB,得sin2A3sinA=12sin Asin Bsin C,3分(得分点2,利用正弦定理将边化角,是转化与化归思想的应用)所以sin Bsin C=23.4分(得分点3,化简得出结论)(2)由题设及(1)得cos Bcos C - sin Bsin C= - 12,即cos(B+C)= - 12,6分(得分点4,巧妙地逆用两角和的余弦公式是解答的关键)又A
6、+B+C=,所以B+C=23,A=3.7分(得分点5,求出角A,为后续应用余弦定理做准备)由题设得12bcsin A=a23sinA,故bc=8.9分(得分点6,利用三角形面积公式求得bc)由余弦定理得b2+c2 - bc=9,即(b+c)2 - 3bc=9,得b+c=33.11分(得分点7,利用余弦定理构造以b+c为未知数的方程求解,是整体思想的应用)故ABC的周长为3+33.12分(得分点8,下结论得满分)感悟升华教材探源本题第(1)问来源于人教A版教材数学5P 20【习题1.2】B组T1,且相似度极高,本题第(2)问在第(1)问的基础上进行拓展,考查正弦定理、余弦定理的应用.素养探源素养
7、考查途径数学运算三角恒等变换.逻辑推理由三角形ABC的面积想到公式S=12absin C=12bcsin A;欲求周长,只需要整体求出b+c的值.得分要点(1)得步骤分:抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”.(2)得关键分:面积公式,恒等变换,正弦定理,余弦定理,这些都是不可漏写的得分点,有则给分,无则没分.(3)得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证,如得分点5,7,8.答题模板利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤第一步:找条件.寻找三角形中已知的边和角,确定转化方向.第二步:定工具.根据已知条件和转化方向,选择使用的定理和公式,进行边角之间的转化.第三步:求结果.根据前两步的分析,代入求值得出结果.第四步:反思.转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.289
