1、第七章不等式第一讲不等关系与一元二次不等式 1.改编题下列结论中,正确的个数为()两个实数a,b之间,有且只有ab,a=b,a1,则ab;一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数,不等号方向不变;一个非零实数越大,则其倒数就越小;ab0,cd0adbc;ab0且ab1a1b. A.2B.3C.4D.52.下列说法中,正确的个数为()(1)若不等式ax2+bx+c0.(2)若不等式ax2+bx+c0的解集是( - ,x1)(x2,+),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.(3)若方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R.(4)不等式ax2+b
2、x+c0在R上恒成立的条件是ab,则()A.ln(a - b)0B.3a0D.|a|b|4.2019全国卷,12,5分设函数f (x)的定义域为R,满足f (x+1)=2f (x),且当x(0,1时,f (x)=x(x - 1).若对任意x( - ,m,都有f (x) - 89,则m的取值范围是()A.( - ,94 B.( - ,73 C.( - ,52 D.( - ,835.2019天津,10,5分文设xR,使不等式3x2+x - 20.若对任意x - 3,+),f (x)|x|恒成立,则a的取值范围是.7.2019北京,14,5分文李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、
3、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.考法1 不等式的性质的应用命题角度1判断关于不等式的命题的真假12016北京,5,5分已知x,yR,且xy0,则A.1x- -1y0 B.sin x - sin y0C.(12)x - (12)y0由已知选项,取特殊值验证或结合函数的单调性求解
4、.解法一(特殊值法)由题意知,xy0,对于选项A,取x=1,y=12,则1x-1y=1 - 2= - 10,排除A;对于选项B,取x=,y=2,则sin x - sin y=sin - sin2= - 1y0,所以(12)x(12)y,即(12)x - (12)y0;(2)ax2 - (a+1)x+10,所以方程 - x2+8x - 3=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1=4 - 13,x2=4+13.又二次函数y= - x2+8x - 3的图象开口向下,所以原不等式的解集为x|4 - 13x4+13.(2)若a=0,则原不等式等价于 - x+11.(最高次幂的系数与0的关系不定,要分类
5、讨论)若a0,解得x1.若a0,则原不等式等价于(x - 1a)(x - 1)0,方程(x - 1a)(x - 1)=0的两根分别为1,1a.(两根之间的大小关系不定,要分类讨论)当a=1时,1a=1,(x - 1a)(x - 1)1时,1a1,由(x - 1a)(x - 1)0,得1ax1;当0a1,由(x - 1a)(x - 1)0,得1x1a.综上所述,当a0时,原不等式的解集为x|x1;当a=0时,原不等式的解集为x|x1;当0a1时,原不等式的解集为x|1x1时,原不等式的解集为x|1ax1.(下结论,注意参数取值不重不漏)1.(1)若关于x的不等式x2+ax - c0的解集为x|
6、- 2x1,对于任意的t1,2,函数f (x)=ax3+(m+12)x2 - cx在区间(t,3)上总不是单调函数,则m的取值范围是()A. - 143m - 3 B. - 3m - 1C. - 143m - 1 D. - 3m0(2)2019重庆三诊若不存在整数x满足不等式(kx - k2 - 4)(x - 4)0,则实数k的取值范围是.考法3 一元二次不等式的恒成立问题命题角度1在R上恒成立4 2019四川绵阳三诊若关于x的不等式(a - 2)x2+2(a - 2)x - 40对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是A.( - 2,2) B.( - , - 2)(2,+)C.( - 2,2
7、 D.( - ,2关于x的不等式的二次项系数含有参数,需要先分a - 2=0和a - 20两种情况讨论,然后结合已知条件求解即可.当a - 2=0,即a=2时,不等式恒成立,符合题意.当a - 20,即a2时,要使不等式恒成立,需满足a - 20,=4(a - 2)2+44(a - 2)0,解得 - 2am(x2 - 1).(1)实数m,使不等式对任意xR恒成立(填存在、不存在);(2)若对于m - 2,2,不等式恒成立,则实数x的取值范围为;(3)若对于x(1,+),不等式恒成立,则实数m的取值范围为.3001.B由不等关系及不等式的性质可知正确.对于,当a= - 2,b= - 1时,a -
8、 2,12 - 12,故错误.故选B.2.B由三个“二次”间的关系可知(1)(2)正确;对于(3),当a0时,解集为,故(3)错误;对于(4),当a=b=c=0时也满足不等式在R上恒成立,故(4)错误;对于(5),等价符号的右侧缺少条件“xb”,故(5)错误;对于(6),解不等式可知(6)正确.故选B.3.C解法一由函数y=ln x的图象(图略)知,当0a - b1时,ln(a - b)b时,3a3b,故B不正确;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当ab时,a3b3,即a3 - b30,故C正确;当ba0时,|a|b|,故D不正确.故选C.解法二当a=0.3,b= - 0.4时,ln(a -
9、 b)3b,|a|b|,故排除A,B,D.选C.4.B当 - 1x0时,0x+11,则f(x)=12f(x+1)=12(x+1)x;当1x2时,0x - 11,则f(x)=2f(x - 1)=2(x - 1)(x - 2);当2x3时,0x - 21,则f(x)=2f(x - 1)=22f(x - 2)=22(x - 2)(x - 3)由此可得f(x)=12(x+1)x, - 1x0,x(x - 1),0x1,2(x - 1)(x - 2),1x2,22(x - 2)(x - 3),2x3,据此作出函数f(x)的图象,如图D 7 - 1 - 1所示.可知当2x3时,令22(x - 2)(x -
10、 3)= - 89,整理得(3x - 7)(3x - 8)=0,解得x=73或x=83,将这两个值标注在图中.要使对任意x( - ,m,都有f(x) - 89,则必有m73,即实数m的取值范围是( - ,73,故选B.图D 7 - 1 - 15.( - 1,23)3x2+x - 20即(3x - 2)(x+1)0,所以 - 1x0时,f(x)|x|恒成立等价转化为 - x2+2x - 2ax恒成立,即a - x2+x2恒成立,所以a( - x2+x2)max=18.综上,a的取值范围是18,2.7.130顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60+80=140(元),又140120,所以优惠10
11、元,顾客实际需要付款130元.15设顾客一次购买的水果总价为m元.由题意易知,当0m120时,x=0,当m120时,(m - x)80%m70%,得xm8对任意m120恒成立.又m815,所以x的最大值为15.1.(1)A因为不等式x2+ax - c0的解集为x| - 2x1,所以 - a= - 2+1, - c= - 21,得a=1,c=2.所以f(x)=ax3+(m+12)x2 - cx=x3+(m+12)x2 - 2x,所以f (x)=3x2+(2m+1)x - 2.又对任意的t1,2,函数f(x)=x3+(m+12)x2 - 2x在区间(t,3)上总不是单调函数,所以f (x)在(2,
12、3)上有零点,所以f (2)f (3)0,即10+2(2m+1)25+3(2m+1)0,解得 - 143m - 3.故选A.(2)1,4设不等式(kx - k2 - 4)(x - 4)0时,原不等式可化为x - (k+4k)(x - 4)0.因为k+4k4(当且仅当k=2时取等号),所以当k=2时,A=(符合题意);当k2时,A=(4,k+4k).要满足不存在整数x使不等式(kx - k2 - 4)(x - 4)0成立,则k+4k5,解得1k4且k2.当k0, 所以A=( - ,k+4k)(4,+),不符合题意.综上所述,实数k的取值范围是1,4.2.(1)不存在原不等式等价于mx2 - 2x
13、+(1 - m)0,当m=0时, - 2x+10不恒成立;当m0时,若mx2 - 2x+(1 - m)0对于任意xR恒成立,则m0且=4 - 4m(1 - m)0,解得m.综上,不存在实数m,使不等式恒成立.(2)x| - 1+72x1+32设f(m)=(x2 - 1)m - (2x - 1),当m - 2,2时,f(m)0恒成立.而f(m)在m - 2,2时表示线段,故f(m)0在 - 2,2上恒成立f(2)0,f( - 2)02x2 - 2x - 10, - 2x2 - 2x+30.由得1 - 32x1+32.由得x - 1+72.所以x的取值范围是x| - 1+72x1,所以m1),则x2 - 1=t2+2t - 34,所以m0,所以m0.
