1、考点规范练64离散型随机变量的均值与方差考点规范练B册第48页基础巩固1.已知X的分布列如下表,设Y=2X+3,则E(Y)的值为()X-101P121316A.73B.4C.-1D.1答案:A解析:E(X)=-12+16=-13,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=73.2.某日A,B两个沿海城市受台风袭击的概率相同,已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)=()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案:D解析:设A,B两城市受台风袭击的概率均为p,则A市或B市都不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36,解
2、得p=0.2或p=1.8(舍去),P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=20.80.2=0.32,P(X=2)=0.20.2=0.04,故E(X)=00.64+10.32+20.04=0.4,故选D.3.已知随机变量满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0p1p212,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)答案:A解析:E(1)=p1,E(2)=p2,E(1)E(2).D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2),D(1)-D(2)=(p1-p2)(1-p1-p2)
3、0,故选A.4.(2019浙江,7)设0a1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0,1)内增大时,()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大答案:D解析:由分布列得E(X)=1+a3,则D(X)=1+a3-0213+1+a3-a213+1+a3-1213=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.5.(2019广东潮州高三二模)一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90,2),且P(x70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在90,110的株数记作随机变量X,且X服从二项分布,则X
4、的方差为()A.3B.2.1C.0.3D.0.21答案:B解析:P(90X110)=1-0.222=0.3,XB(10,0.3),D(X)=100.30.7=2.1.6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为.答案:200解析:记不发芽的种子数为Y,则YB(1000,0.1),E(Y)=10000.1=100.又X=2Y,E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200.7.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的件数,则D(X)=.答案:916解析:由题意可知取到次品的概率为1
5、4,则XB3,14,故D(X)=3141-14=916.8.生产A,B两种元件,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标分数70,76)76,82)82,88)88,94)94,100元件A81240328元件B71840296(1)试分别估计元件A、元件B为正品的概率;(2)生产1件元件A,若是正品,则可盈利40元;若是次品,则亏损5元;生产1件元件B,若是正品,则可盈利50元;若是次品,则亏损10元.在(1)的前提下.记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和
6、均值;求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.解:(1)元件A为正品的概率约为40+32+8100=45.元件B为正品的概率约为40+29+6100=34.(2)生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况:A正B正,A次B正,A正B次,A次B次.随机变量X的所有取值为90,45,30,-15.P(X=90)=4534=35,P(X=45)=1-4534=320,P(X=30)=451-34=15,P(X=-15)=1-451-34=120.随机变量X的分布列为X904530-15P3532015120E(X)=9035+45320+3015+(-15)120=66.设生产的5件元
7、件B中正品有n件,则次品有(5-n)件.依题意得50n-10(5-n)140,解得n196,故n=4或n=5.设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件M,则P(M)=C5434414+345=81128.9.有甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.解:E(X)=80.2+90.6+
8、100.2=9,D(X)=(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4;E(Y)=80.4+90.2+100.4=9,D(Y)=(8-9)20.4+(9-9)20.2+(10-9)20.4=0.8.由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.10.(2019广东潮州高三二模)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n,如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验
9、,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A
10、1B1与A2B2互斥,P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=416116+11612=364.所以这批产品通过检验的概率为364.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1-416-116=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=14.所以X的分布列为X400500800P111611614所以E(X)=4001116+500116+80014=506.25.能力提升11.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指
11、标x和y的数据,并制成下图,其中“”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解:(1)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为1550=0.3.(2)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:
12、A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.P(=0)=C22C42=16,P(=1)=C21C21C42=23,P(=2)=C22C42=16.所以的分布列为012P162316故的期望E()=016+123+216=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.高考预测12.(2019云南玉溪高三五调)某市在2018年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示,全市10 000名学生的成绩服从正态分布N(120,25).现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析,结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间,现将结果按如下方式分为6组,第一组85,95
13、),第二组95,105),第六组135,145,得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计该校数学成绩的平均分数;(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的分布列和期望.附:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4,P(-3X+3)=0.997 4.解:(1)由频率分布直方图可知125,135)的频率为1-(0.01010+0.02410+0.03010+0.01610+0.00810)=0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为900.1+1000.24+1100.3+1
14、200.16+1300.12+1400.08=112.(2)由于1310000=0.0013,根据正态分布得P(120-35X120+35)=0.9974.故P(X135)=1-0.99742=0.0013,即0.001310000=13.所以前13名的成绩全部在135分以上.根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有500.08=4(人),而在125,145的学生有50(0.12+0.08)=10.所以X的取值为0,1,2,3.所以P(X=0)=C63C103=16,P(X=1)=C62C41C103=12,P(X=2)=C61C42C103=310,P(X=3)=C43C103=130.所以X的分布列为X0123P1612310130E(X)=016+112+2310+3130=1.2.
