1、考点规范练23三角恒等变换考点规范练A册第15页基础巩固1.2sin47-3sin17cos17=()A.-3B.-1C.3D.1答案:D解析:原式=2sin47-sin17cos30cos17=2sin(17+30)-sin17cos30cos17=2sin30=1.故选D.2.(2019全国,理10)已知0,2,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.15B.55C.33D.255答案:B解析:2sin2=cos2+1,4sincos=2cos2.0,2,cos0,sin0,2sin=cos.又sin2+cos2=1,5sin2=1,即sin2=15.sin0,sin=55.3.
2、(2019辽宁葫芦岛高三二模)已知函数f(x)=3sin x+cos x(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是2,则该函数的一个单调递增区间为()A.6,23B.-512,12C.-3,6D.-3,23答案:C解析:f(x)=3sinx+cosx=2sinx+6.由题意得T=,=2,所以f(x)=2sin2x+6,由-2+2k2x+62+2k,kZ,得-3+kx6+k,kZ,故函数f(x)的单调递增区间为-3+k,6+k,kZ.令k=0,得函数f(x)的一个单调递增区间为-3,6.4.(2019湖北咸宁模拟)已知tan(+)=2,tan =3,则sin 2=()A.725B.1425C.-7
3、25D.-1425答案:C解析:由题意知tan=tan(+)-=tan(+)-tan1+tan(+)tan=-17,所以sin2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=-725.5.已知tan+4=-12,且2,则sin2-2cos2sin-4等于()A.255B.-3510C.-255D.-31010答案:C解析:sin2-2cos2sin-4=2sincos-2cos222(sin-cos)=22cos,由tan+4=-12,得tan+11-tan=-12,解得tan=-3.因为20),则A=,b=.答案:21解析:因为2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
4、=2sin2x+4+1,所以A=2,b=1.9.设f(x)=1+cos2x2sin2-x+sin x+a2sinx+4的最大值为2+3,则实数a=.答案:3解析:f(x)=1+2cos2x-12cosx+sinx+a2sinx+4=cosx+sinx+a2sinx+4=2sinx+4+a2sinx+4=(2+a2)sinx+4.依题意有2+a2=2+3,则a=3.10.已知点4,1在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间(0,)内的单调递减区间.解:(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=as
5、in2x+cos2x.f(x)的图象过点4,1,1=asin2+cos2,可得a=1.f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+4.函数的最小正周期T=22=.(2)由2k+22x+432+2k,kZ,可得k+8x58+k,kZ.函数f(x)的单调递减区间为k+8,58+k,kZ.x(0,),当k=0时,可得单调递减区间为8,58.11.函数f(x)=cos-x2+sin-x2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f()=2105,0,2,求tan+4的值.解:(1)f(x)=cos-x2+sin-x2=sinx2+cosx2=2sinx2+4,故f(x)的最小正周期T=212=
6、4.(2)由f()=2105,得sin2+cos2=2105,则sin2+cos22=21052,即1+sin=85,解得sin=35,又0,2,则cos=1-sin2=1-925=45,故tan=sincos=34,所以tan+4=tan+tan41-tantan4=34+11-34=7.能力提升12.已知函数f(x)=cos x(sin x+3cos x)(0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)f(x)f(x0+2 016)成立,则的最小值为()A.12016B.14032C.12016D.14032答案:C解析:由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2
7、016)是函数f(x)的最大值.又f(x)=cosx(sinx+3cosx)=12sin2x+31+cos2x2=sin2x+3+32,所以要使取最小值,只需保证区间x0,x0+2016为一个完整的单调递增区间即可.故2016=122min,求得min=12016,故的最小值为12016,故选C.13.已知cos =13,cos(+)=-13,且,0,2,则cos(-)的值等于()A.-12B.12C.-13D.2327答案:D解析:0,2,2(0,).cos=13,cos2=2cos2-1=-79,sin2=1-cos22=429,又,0,2,+(0,),sin(+)=1-cos2(+)=2
8、23,cos(-)=cos2-(+)=cos2cos(+)+sin2sin(+)=-79-13+429223=2327.14.(2019江苏,13)已知tantan+4=-23,则sin2+4的值是.答案:210解析:由tantan+4=tantan+11-tan=tan(1-tan)tan+1=-23,得3tan2-5tan-2=0,解得tan=2或tan=-13.又sin2+4=sin2cos4+cos2sin4=22(sin2+cos2)=222sincos+cos2-sin2sin2+cos2=222tan+1-tan2tan2+1. (*)当tan=2时,(*)式=2222+1-22
9、22+1=2215=210;当tan=-13时,(*)式=222-13+1-132-132+1=2213-19109=210.综上,sin2+4=210.15.(2019浙江,18)设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值;(2)求函数y=fx+122+fx+42的值域.解:(1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sinxcos+cosxsin=-sinxcos+cosxsin,故2sinxcos=0,所以cos=0.又0,2),因此=2或32.(2)y=fx+122+fx+42=sin
10、2x+12+sin2x+4=1-cos(2x+6)2+1-cos(2x+2)2=1-1232cos2x-32sin2x=1-32cos2x+3.因此,函数的值域是1-32,1+32.高考预测16.已知f(x)=1+1tanxsin2x-2sinx+4sinx-4.(1)若tan =2,求f()的值;(2)若x12,2,求f(x)的取值范围.解:(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sinx+4cosx+4=1-cos2x2+12sin2x+sin2x+2=12+12(sin2x-cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由tan=2,得sin2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45.cos2=cos2-sin2sin2+cos2=1-tan21+tan2=-35.所以f()=12(sin2+cos2)+12=35.(2)由(1)得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=22sin2x+4+12.由x12,2,得2x+4512,54.所以-22sin2x+41,所以0f(x)2+12,所以f(x)的取值范围是0,2+12.
