1、2012-2013学年江苏省南通市通州区高三（下）2月寒假调研数学试卷一、填空题（本题共14题，每题5分，计70分，请把答案填写在答题纸相应位置上）1（5分）已知R为实数集，M=x|x22x0，N=x|x1，则M（CRN）=（0，1）考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：先由不等式得集合M，接着是求N的补集的问题，最后结合交集定义即可求出结论解答：解：x22x00x2；M=x|x22x0=x|0x2；N=x|x1CRN=x|x1所以：M（CRN）=（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题属于以不等式为依托，求集合的交集补集的基础题，也是高考常会考的题型2（5分）命题：“x（0，+），x
2、2+x+10”的否定是x（0，+），x2+x+10考点：全称命题；命题的否定专题：阅读型分析：利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“x（0，+），x2+x+10”的否定是：x（0，+），x2+x+10故答案为：x（0，+），x2+x+10点评：本题考查命题的否定的应用全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用3（5分）已知z=（ai）（1+i）（aR，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=1考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：由题意化简z=a+1+（a1）i，由题意可得，其虚部（a1）
3、=0，故可得答案解答：解：由题意化简z=a+1+（a1）i，因为复数z在复平面内对应的点在实轴上，所以复数z为实数，即其虚部a1=0，解得a=1故答案为：1点评：本题为复数的基本定义的考查，涉及复数的运算和复平面，属基础题4（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是考点：几何概型专题：计算题；概率与统计分析：根据题意，在区域D内随机取一个点P，则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分因此算出图中阴影部分面积，再除以正方形OABC面积，即得本题的概率解答：解：到坐标原点的距离大于2
4、的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外区域D：表示正方形OABC，（如图）其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）因此在区域D内随机取一个点P，则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分S正方形OABC=22=4，S阴影=S正方形OABCS扇形OAC=422=4所求概率为P=故答案为：点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题5（5分）（2012福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于3考点：
5、循环结构专题：计算题分析：直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，退出循环，输出结果解答：解：由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，第2次判断循环，s=0，k=3，第3次判断循环，s=3，k=4，不满足判断框的条件，退出循环，输出S故答案为：3点评：本题考查循环结构的作用，注意判断框的条件以及循环后的结果，考查计算能力6（5分）（1999广东）设椭圆的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的率心率是 考点：椭圆的简单性质专题：计算题分析：先求出过F1且垂直于x轴的弦长和点F1到l1的距离，由条件：F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离
6、，建立方程，再利用a、b、c的关系求出 的值解答：解：过F1且垂直于x轴的弦长等于 ，点F1到l1的距离为 c，由条件知，=c，即 =，=，故答案为：点评：本题考查椭圆的简单性质，通过解方程求出离心率值7（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为1考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：建系，由向量数量积的坐标运算公式，可得得 =x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值解答：解：以AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）设E（x，0），其中0x1=（x，1），=
7、（1，0），=x1+（1）0=x，点E是AB边上的动点，即0x1，x的最大值为1，即的最大值为1故答案为：1点评：本题考查向量数量积的最大值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题8（5分）（2010江苏模拟）设是奇函数，则a+b的取值范围是考点：奇函数专题：计算题分析：由题意和奇函数的定义f（x）=f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a+b的范围解答：解：定义在区间（b，b）内的函数f（x）=是奇函数，任x（b，b），f（x）=f（x），即=，=，则有，即1a2x2=14x2，解得a=2，又a2，a=2；则函数f（x）=，
8、要使函数有意义，则0，即（1+2x）（12x）0解得：x，即函数f（x）的定义域为：（，），（b，b）（，），0b2a+b，即所求的范围是；故答案为：点评：本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力9（5分）（2012江西模拟）已知函数f（x）=cosx（x（0，2）有两个不同的零点x1，x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为考点：函数的零点专题：计算题分析：函数f（x）=cosx（x（0，2）有两个不同的零点x1，x2，可知x1=，x2=，因为方程f（x）=m
9、有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进行讨论：m0和m0，再利用等差数列的性质进行求解；解答：解：函数f（x）=cosx（x（0，2）有两个不同的零点x1，x2，x1=，x2=，方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，若m0则，x3，x4，构成等差数列，可得公差d=，则x1=0，显然不可能；若m0则，x3，x4，构成等差数列，可得公差3d=，解得d=，x3=+，m=cosx3=，故答案为：；点评：此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题，涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一
10、道基础题；10（5分）关于x的不等式x2+25+|x35x2|ax在1，12上恒成立，则实数a的取值范围是（，10考点：函数恒成立问题专题：不等式的解法及应用分析：分离参数a，把不等式变形为ax+|x25x|，只需a小于等于x+|x25x|的最小值即可解答：解：由x2+25+|x35x2|ax，1x12ax+|x25x|，而x+2=10，当且仅当x=51，12时取等号，且|x25x|0，等号当且仅当x=51，12时成立；所以，ax+|x25x|min=10，等号当且仅当x=51，12时成立；故答案为：（，10；点评：本题主要考查了函数恒成立问题以及绝对值不等式的解法、基本不等式在最值问题中的应
11、用，本题中要注意等号须同时成立11（5分）已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+的最小值是 12考点：基本不等式专题：计算题；压轴题分析：通过换元，化简函数式，利用基本不等式求出最小值解答：解：设m=x+1 n=2y+1 所以mn=2x=1m，=2（m1）（n1）+=2（mnmn+1）+）=2（3mn）+）原式的最小值为12点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值，需要注意满足的条件：一正、二定、三相等12（5分）（2011扬州三模）已知实数p0，直线3x4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：综合
12、题分析：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AB|=|AF|BF|=y1，同理|CD|=y2所以=联立直线3x4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x解出进而得到答案解答：解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题意得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AB|=|AF|BF|=+y1=y1，同理得|CD|=y2所以=联立直线3x4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x得：8y217py+2p2=0解得：所以故答案为：点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距
13、离与到定直线的距离相等13（5分）如图，用一块形状为半椭圆（y0）的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形的面积为S，则S的最大值是考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设D点坐标为（x，y）（x0），由点D在椭圆上知（y0），得y2=4（1x2），用x，y表示出等腰梯形ABCD的面积为S=（|AD|+|BC|）|y|=（2x+2）y=（x+1）y，将y2=4（1x2）代入得S2=（x+1）2y2=（x+1）24（1x2）=4（x42x3+2x+1），利用导数求此函数的最值解答：解：设D点坐标为（x，y）（x0），由点D在椭圆上知（y0），得y2=4（
14、1x2）等腰梯形ABCD的面积为S=（|AD|+|BC|）|y|=（2x+2）y=（x+1）y（2分）S2=（x+1）2y2=（x+1）24（1x2）=4（x42x3+2x+1）=4x48x3+8x+4（0x1）（S2）=4（4x36x2+2），令（S2）=0，得2x3+3x21=0，即（x+1）2（2x1）=0，0x1，x=，又当0x时，（S2）0；当x1时，（S2）0，在区间（0，1）上，S2有唯一的极大值点x=，当x=时，S2有最大值为；即当x=时，S有最大值为故答案为：点评：本题考查椭圆方程的应用，解题的关键是根据椭圆的方程消元，将面积表示成x的函数，再利用导数研究此函数的最值，此题运
15、算量很大，解题时极易因运算出错，做题时要严谨认真14（5分）已知使函数f（x）=x3ax21（0aM0）存在整数零点的实数a恰有3个，则M0的取值范围是，）考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：由f（x）=0，解得再利用a0即可得出x的取值范围，从最小的整数x讨论开始即可得出M0的取值范围解答：解：当x=0时，f（0）=10，即x=0不是函数f（x）的零点；当x0时，由f（x）=0，解得a0，解得x1当x=1时，a=0，满足题意；当x=2时，a=，满足题意；当x=3时，a=，满足题意；当x=4时，a=又0，当x1时，等单调递增又函数f（x）存在整数零点的实数a恰有3个，M0
16、的取值范围是故答案为点评：利用函数零点的意义把问题正确等价转化，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键二、解答题（本大题共7小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）在ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，且（I）判断ABC的形状；（II）若，求的取值范围考点：正弦定理；余弦定理专题：计算题；解三角形分析：（1）先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，利用二倍角公式和两角和公式整理求得sinB=sin2C，进而根据B，C的范围，求得B+2C=，判断出A=C，即三角形为等腰三角形（2）利用平面向量的性质，依据已知条件求得a
17、2+c2+2accosB=4，根据a的值求得cosB的值解答：解：（1）由及正弦定理，得，即sinBsinAsinBsin2C=sinAsin2CsinBsin2C，即sinBsinA=sinAsin2C，因为A是三角形内角，所以sinA0，可得sinB=sin2C，B+2C=，A+B+C=，A=C，ABC为等腰三角形（2）B（0，cosB，1）由（1）可知a=c，由，得a2+c2+2accosB=4，a2=，= cosB=a2cosB=2，1）（12分点评：本题主要考查了正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理进行了边角问题的转化16（14分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是棱B
18、C、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2（1）求证：C1E平面ADF；（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF？考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）连接CE交AD于O，连接OF因为CE，AD为ABC中线，所以O为ABC的重心，由此能够证明C1E平面ADF（2）当BM=1时，平面CAM平面ADF在直三棱柱ABCA1B1C1中，先证出AD平面B1BCC1再证明当BM=1时，平面CAM平面ADF解答：解：（1）连接CE交AD于O，连接OF因为CE，AD为ABC中线，所以O为ABC的重心，
19、从而OFC1E（3分）OF面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF（6分）（2）当BM=1时，平面CAM平面ADF在直三棱柱ABCA1B1C1中，由于B1B平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC由于AB=AC，D是BC中点，所以ADBC又平面B1BCC1平面ABC=BC，所以AD平面B1BCC1而CM平面B1BCC1，于是ADCM（9分）因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以RtCBMRtFCD，所以CMDF （11分）DF与AD相交，所以CM平面ADFCM平面CAM，所以平面CAM平面ADF（13分）当BM=1时，平面CAM平面ADF（14分）点评：本小
20、题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力17（14分）如图，有三个生活小区（均可看成点）分别位于A、B、C三点处，AB=AC，A到线段BC的距离AO=40，ABO=（参考数据：tan）今计划建一个生活垃圾中转站P，为方便运输，P准备建在线段AO（不含端点）上（I）设PO=x（0x40），试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数，并求S的最小值；（II）设PBO=a（0），试将P到三个小区的距离之和y表示为a的函数，并确定当a取何值时，可使y最小？考点：根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最
21、值专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（1）利用直角三角形的边角关系及其勾股定理、函数的单调性即可得出；（2）根据条件列出其表达式，利用导数得出其单调性，进而即可得出最小值解答：解：（1）在RtAOB中，AO=40，ABO=，=，PA=40x，PB=PC=，若PAPB，即40x，即0x5时，S=40x；若PAPB，即40x，即5x40时，S=从而S=当0x5时，S=40x单调递减，Smin=35；当5x40时，S=，是增函数，SS（5）=35综上可知：当x=5时，S取得最小值为35（2）在RtBOP中，BP=，PO=BOtan=，y=2BP+（AOPO）=40+2BPPO=40+，令y
22、=0，即，从而，当0时，y0；当时，y0当时，可使y最小点评：数列掌握勾股定理、利用导数研究函数的单调性是解题的关键18（16分）如图，A，B是椭圆的左、右顶点，椭圆C的离心率为，右准线l的方程为x=4（I）求椭圆的方程；（II）设M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM交l于点P，以MP为直径的圆记为k（i）若M恰好是椭圆C的上顶点，求k截直线PB所得的弦长；（ii）设k与直线MB交于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求该定点的坐标考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）由离心率为，得，由右准线l的方程为x=4，得再根据b2=a
23、2c2联立方程组解出即可；（II）（i）由条件易求直线AM的方程，从而可得P点坐标，进而可求得k的方程，求出圆心到直线PB的距离，利用勾股定理即可求得弦长一半；（ii）设M（x0，y0）（y00），可表示出直线AM的方程，进而表示出P的坐标，由MBPR可求得直线PR的方程，令y=0即可得打点R的横坐标，再根据点M在椭圆上即可求得xR值，从而可证明结论；解答：解：（I）由题意得，解得，又b2=a2c2=3，故所求椭圆的方程为；（II）（i）因为M（0，），所以直线AM的方程为y=，则点P的坐标为P（4，3），从而k的方程为，其圆心为（2，），半径为，又直线PB的方程为x2y6=0，故圆心到直线P
24、B的距离为，从而截直线PB所得的弦长为2=；（ii）证明：设M（x0，y0）（y00），则直线AM的方程为y=，则点P的坐标为P（4，），又直线MB的斜率为KMB=，而MB为直径，所以MBPR，所以，从而直线PR的方程为y=，令y=0，得点R的横坐标为，又点M在椭圆上，所以，即，故xR=46=，所以直线PQ与x轴的交点R为定点，且该定点的坐标为（，0）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及直线方程求法，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，有一定难度19已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l1：x=2的距离为d1，到点F（1，0）的距离为d2，且（1
25、）求动点P所在曲线C的方程；（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l1：x=2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；（3）记S1=SFAM，S2=SFMN，S3=SFBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数，使成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的关系专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设出P的坐标，利用已知条件列出方程求解求动点P所在曲线C的方程；（2）利用直线l与椭圆的故选列出方程，求出两个坐标的
26、关系，通过点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断（3）利用弦长公式两点距离公式，求出S1=SFAM，S2=SFMN，S3=SFBN（A、B、M、N是（2）中的点），使成立求出的值即可解答：解（1）设动点为P（x，y），依据题意，有，化简得 （3分）因此，动点P所在曲线C的方程是： （4分）（2）点F在以MN为直径的圆的外部理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my1，如图所示 （5分）联立方程组，可化为（2+m2）y22my1=0，则点A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足
27、 （7分）又AMl1、BNl1，可得点M（2，y1）、N（2，y2）因，则=（9分）于是，MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部 （10分）（3）依据（2）可算出，则 =，= （15分）所以，即存在实数=4使得结论成立 （16分）点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系与直线与圆的位置关系的判断，三角形的面积公式的应用，向量数量积的应用，考查计算能力，转化思想20（16分）（2011扬州三模）已知定义在R上的函数f（x）和数列an满足下列条件：a1=a0，a2a1，当nN*时，an+1=f（an），且存在非零常数k使f（an+1）f（an）=k（an+1an）恒成立（1）若数列
28、an是等差数列，求k的值；（2）求证：数列an为等比数列的充要条件是f（x）=kx（k1）（3）已知f（x）=kx（k1），a=2，且bn=lnan（nN*），数列bn的前n项是Sn，对于给定常数m，若的值是一个与n无关的量，求k的值考点：数列与函数的综合专题：计算题分析：（1）由an+1=f（an），f（an+1）f（an）=k（an+1an），得出an+1an=f（an）f（an1）=k（anan1），又an+1an=anan1，得出k=1（2）充分性可直接证明，等比为k；必要性中由等比数列可得数列an+1an是以a2a1为首项，公比为k的等比数列，再根据k=0和k0进行讨论（3）确定an
29、是等比数列，bn是等差数列，求出Sn，代入，求出k的值解答：解：（1）由已知an=f（an1），f（an）f（an1）=k（anan1），（n=2，3，4），得an+1an=f（an）f（an1）=k（anan1），（n=2，3，4），由数列an是等差数列，得an+1an=anan1，（n=2，3，4）所以，anan1=k（anan1），），（n=2，3，4），得k=1 （4分）（2）充分性证明：若f（x）=kx（k1），则由已知a1=a0，an+1=f（an）得an+1=kan，所以，an是等比数列 （6分）必要性证明：an是等比数列，设公比为q，则有an=aqn1，nN*由f（an+1）f
30、（an）=k（an+1an）及an+1=f（an）得an+2an+1=k（an+1an）又a2a10，所以数列an+1an是以a2a1为首项，公比为k的等比数列，所以an+1an=f（a）akn1，当n2时，an=f（a）a（k0+k1+k2+kn2）+a（8分）若k=1，an=f（a）a（n1）+a，（n2）对n=1也成立数列an是公差为f（a）a0的等差数列，不可能是等比数列，所以k1，k1，（n2）对n=1也成立所以=，由数列an是等比数列知，即f（a）=ka，即f（a）=ka对任意非零实数都成立综上可得：数列an为等比数列的充要条件是f（x）=kx（k1）（10分）（3）由（）知，数列
31、an是首项为2，公比为k的等比数列，即an=2kn1，bn+1bn=lnk是一个常数，故数列bn是等差数列，设公差为d，依题意，当且仅当2b1d=0或时，是一个与n无关的常数，不成立，所以2b1d=0，即2ln2=lnk，k=4 （16分）点评：本题是数列与函数的综合题，综合性比较强，综合考查了等差等比数列以及充分必要条件的证明，其中注意分类讨论思想，应该熟练掌握灵活运用21（16分）已知函数f（x）=（x36x2+3x+t）ex，tR（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（abc）处取到极值求t的取值范围；若a+c=2b2，求t的值（2）若存在实数t0，2，使对任意的x1，m，
32、不等式f（x）x恒成立求正整数m的最大值考点：利用导数研究函数的极值；不等式的综合专题：计算题；压轴题分析：（1）根据极值点是导函数的根，据方程的根是相应函数的零点，结合函数的单调性写出满足的不等式解出t的范围，将三个极值点代入导函数得到方程，左右两边各项的对应系数相等，列出方程组，解出t值（2）先将存在实数t0，2，使不等式f（x）x恒成立转化为将t看成自变量，f（x）的最小值）x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围解答：解：（1）f（x）=（3x212x+3）ex+（x36x2+3x+t）ex=（x33x29x+t+3）exf（x）有3个极值点，x33x29x+
33、t+3=0有3个根a，b，c令g（x）=x33x29x+t+3，g（x）=3x26x9=3（x+1）（x3），g（x）在（，1），（3，+）上递增，（1，3）上递减g（x）有3个零点8t24a，b，c是f（x）的三个极值点，x33x29x+t+3=（xa）（xb）（xc）=x3（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）xabcb=1或（舍b（1，3）t=8（2）不等式f（x）x，即（x36x2+3x+t）exx，即txexx3+6x23x转化为存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式txexx3+6x23x恒成立即不等式0xexx3+6x23x在x1，m上恒成立即不等式0exx2+6x3在x
34、1，m上恒成立设（x）=exx2+6x3，则（x）=ex2x+6设r（x）=（x）=ex2x+6，则r（x）=ex2，因为1xm，有r（x）0故r（x）在区间1，m上是减函数又r（1）=4e10，r（2）=2e20，r（3）=e30故存在x0（2，3），使得r（x0）=（x0）=0当1xx0时，有（x）0，当xx0时，有（x）0从而y=（x）在区间1，x0上递增，在区间x0，+）上递减又（1）=e1+40，（2）=e2+50，（3）=e3+60，（4）=e4+50，（5）=e5+20，（6）=e630所以当1x5时，恒有（x）0；当x6时，恒有（x）0；故使命题成立的正整数m的最大值为5点评：
35、本题考查利用导数求函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值三选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22如图，O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于P求证：PD2=PAPC考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段专题：证明题分析：利用切线的性质、圆的性质、切割线定理即可得出解答：证明：连接OE，PE切O于点E，OEP=90，OEB+BEP=90，OB=OE，OBE=OEB，OBAC于点O，OBE+BDO=90故BEP=
36、BDO=PDE，PD=PE，又PE切O于点E，PE2=PAPC，PD2=PAPC点评：熟练掌握切线的性质、圆的性质、切割线定理是解题的关键23变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是（）求点P（2，1）在T1作用下的点P的坐标；（）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程考点：逆变换与逆矩阵；逆矩阵的简单性质（唯一性等）专题：计算题分析：（）先写出时针旋转的旋转变换矩阵M1，再利用矩阵的乘法，求出点P的坐标；（） 先求M=M2M1，再求点的变换，从而利用函数y=x2求出变换的作用下所得曲线的方程解答：解：（），所以点P（2，1）在T
37、1作用下的点P的坐标是P（1，2）（5分）（），设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是，即，所以，所求曲线的方程是yx=y2点评：本题以变换为载体，考查矩阵的乘法，考查点在变换下点的坐标的求法，属于中档题24已知圆的极坐标方程为：（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值考点：点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程专题：计算题分析：（1）极坐标方程即 24（+ ），即 x2+y24x4y+6=0（2）圆的参数方程为 ，故 x+y=4+（sin+cos）=4+2sin（+），由于 1sin（+）1，可得 2x+y6解答：解：（1
38、） 即 24（+ ），即 x2+y24x4y+6=0（2）圆的参数方程为 ，x+y=4+（sin+cos）=4+2sin（+）由于1sin（+）1，2x+y6，故x+y 的最大值为6，最小值等于 2点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆的参数方程，得到圆的参数方程为 ，是解题的关键25（2012盐城一模）已知x、y、z均为正数，求证：考点：一般形式的柯西不等式专题：证明题分析：已知x、y、z均为正数，根据柯西不等式（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）（a1b1+a2b2+a3b3）2，可得然后进行化简，从而进行证明解答：证明：由柯西不等式得（5分）则，即（10分）
39、点评：此题主要是柯西不等式的应用，只是进行简单的变形而已，此题比较简单26（10分）（2008南通模拟）在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题规定每位考生必须且只须在其中选做一题设4名考生选做每一道题的概率均为（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望考点：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差分析：（1）设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，进而分析可得，甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件A、B相互独立，由互斥事件的概率计算方法，可得答案
40、；（2）根据题意，分析可得随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，且，进而可得分步列，计算可得答案解答：解：（1）设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则“甲选做第22题”为，“甲选做第22题”为，进而可得，甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件A、B相互独立=；（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，且变量的分布列为：（或）点评：本题考查对立事件、相互独立事件、互斥事件的概率的计算及分步列的运用，有一定的综合性，需要加强学生的这方面的训练27（10分）过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点（）求证：AOB不是直角三角形；（）当l的斜率为
41、时，抛物线上是否存在点C，使ABC为直角三角形且B为直角（点B位于x轴下方）？若存在，求出所有的点C；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的形状判断专题：探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）分情况证明：当直线l斜率不存在时，容易证明；当直线l斜率存在时，设直线AB方程为x=ky+1，与抛物线方程联立方程组消去x得y的二次方程，利用韦达定理可求，由计算结果即可证明；（）由已知可求得AB方程，与抛物线方程联立求得A，B坐标，假设抛物线上存在点C（t2，2t）使ABC为直角三角形且B为直角，由可求得t值，从而可求得C点坐标，经验证可得答案解答：（）证明：当直线l斜率不存在时，
42、显然AOB不是直角三角形；当直线l斜率存在时，焦点F为（1，0），过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为x=ky+1，代入抛物线y2=4x，得y24ky4=0，则有yAyB=4，进而，又，所以AOB为钝角，即AOB不是直角三角形（）AB方程：x2y1=0，代入抛物线y2=4x，求得，假设抛物线上存在点C（t2，2t）使ABC为直角三角形且B为直角，此时，所以，解得，对应点B，对应点C，则存在使ABC为直角三角形，故满足条件的点C只有一个，即点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查向量在判断三角形形状中的应用，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，（）中要注意检验C点是否符合题意版权所有：高考资源网()
