1、考点规范练24解三角形考点规范练B册第14页基础巩固1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,则c=()A.12B.1C.3D.2答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.在ABC中,已知acos A=bcos B,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案:D解析:acosA=bcosB,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,A=B或2A+2B=180,即A=B或A+B=90,ABC为等腰三角形或直角三角形.故
2、选D.3.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,ABC的面积S=3,则b等于()A.13B.4C.3D.15答案:A解析:由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,cosB=12,B=3.又S=12acsinB=121c32=3,c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-21412=13,b=13.4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30B.45C.60D.75答
3、案:B解析:依题意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在ACD中,由余弦定理,得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010=600060002=22,又0CAD180,所以CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.5.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.5答案:D解析:bcosA+acosB=c2,a=b=2,由余弦定理可得bb2+c2-a22bc+aa2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c
4、3,解得c=1,则ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6.(2019全国,理15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.答案:63解析:b2=a2+c2-2accosB,(2c)2+c2-22cc12=62,即3c2=36,解得c=23或c=-23(舍去).a=2c=43.SABC=12acsinB=12432332=63.7.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sinA-sinC)(a+c)b=sin A-sin B,则C=.答案:3解析:在ABC中,(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-s
5、inB,(a-c)(a+c)b=a-b.a2+b2-c2=ab,cosC=a2+b2-c22ab=12.C=3.8.在ABC中,B=120,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.答案:6解析:由题意及正弦定理,可知ABsinADB=ADsinB,即2sinADB=332,故ADB=45.所以12A=180-120-45,故A=30,则C=30,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=22sin60=6.9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察D点的俯角为75,观察C点的俯角为30;在B位置时,观察D点的俯角为45,观察C点的俯角为60,且
6、AB=3 km,则C,D之间的距离为.答案:5 km解析:在ABD中,BAD=75,ABD=45,ADB=60,由正弦定理可得ABsinADB=ADsinABD,即3sin60=ADsin45,AD=3sin45sin60=2(km),由题意得ABC=120,BAC=BCA=30,BC=AB=3km,AC=3km,在ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADsinDAC=5,即CD=5km.10.(2019广西崇左天等高级中学高三下学期模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-42bc=3a2.(1)求sin A;(2)若3csin A=2asin
7、 B,ABC的面积为2,求ABC的周长.解:(1)因为3b2+3c2-42bc=3a2,所以b2+c2-a2=423bc.所以cosA=b2+c2-a22bc=223,所以sinA=1-cos2A=1-89=13.(2)因为3csinA=2asinB,所以3ac=2ab,即b=322c.因为ABC的面积为2,所以12bcsinA=2,即12322c213=2,解得c=2.所以b=32,a=18+4-2322223=6.故ABC的周长为2+32+6.能力提升11.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2-a2=3bc,且b=3a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.
8、b=cC.2a=cD.a2+b2=c2答案:B解析:b2+c2-a2=3bc,cosA=b2+c2-a22bc=32,A=30.b=3a,sinB=3sinA=32,B=60或B=120.当B=60时,C=90,此时ABC为直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;当B=120时,C=30,此时ABC为等腰三角形,得到a=c;故选B.12.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,则ABC的面积的最大值为()A.43B.23C.2D.3答案:A解析:在ABC中,2a-cb=cosCcosB,(2a-c)cosB=bcosC.(2sinA-sinC
9、)cosB=sinBcosC.2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.cosB=12,即B=3.由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac2ac-ac=ac,故ac16,当且仅当a=c时取等号,因此,ABC的面积S=12acsinB=34ac43,故选A.13.(2019浙江,14)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.答案:12257210解析:如图所示,设CD=x,DBC=,则AD=5-x,ABD=2-,在BDC中,由正弦定理得3sin4=xsin=32si
10、n=x32.在ABD中,由正弦定理得5-xsin(2-)=4sin34=42cos=5-x42.由sin2+cos2=x218+(5-x)232=1,解得x1=-35(舍去),x2=215BD=1225.在ABD中,由正弦定理得0.8sinABD=4sin(-4)sinABD=210cosABD=7210.14.(2019辽宁凌源高三一模)设函数f(x)=sin2x-6+2cos2x.(1)当x0,2时,求函数f(x)的值域;(2)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(A)=32,2a=3b,c=1+3,求ABC的面积.解:(1)由已知得,f(x)=32sin2x-12cos2
11、x+cos2x+1=32sin2x+12cos2x+1=sin2x+6+1.x0,2,62x+676,12sin2x+6+12.函数f(x)的值域为12,2.(2)f(A)=sin2A+6+1=32,sin2A+6=12.又0A,62A+6136,2A+6=56,即A=3.2a=3b,由正弦定理得,2sinA=3sinB,sinB=22.又0B23,B=4.sinC=sin(A+B)=6+24.由正弦定理得,bsinB=csinC=1+36+24=22,b=2.SABC=12bcsinA=3+32.高考预测15.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若43S=b2+c2-a2.(1)求角A;(2)若a=2,b=23,求角C.解:(1)ABC中,b2+c2-a2=43S=4312bcsinA=2bc3sinA,cosA=b2+c2-a22bc=3sinA,tanA=33,0A,A=6.(2)a=2,b=23,A=6,由asinA=bsinB得sinB=bsinAa=23122=32,0BA,B=3或23,C=2或6.
