1、第四讲基本不等式ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一重要不等式a2b2_2ab_(a，bR)(当且仅当_ab_时等号成立)知识点二基本不等式(均值定理)(1)基本不等式成立的条件：_a0，b0_；(2)等号成立的条件：当且仅当_ab_时等号成立；(3)其中叫做正数a，b的_算术平均数_，叫做正数a，b的_几何平均数_知识点三利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y(0，)，且xyP(定值)，那么当_xy_时，xy有最小值2.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y(0，)，且xyS(定值)，那么当xy时，xy有最大值.(简记：“和定积最
2、大”)常用的几个重要不等式(1)ab2(a0，b0)(当且仅当ab时取等号)(2)ab()2(a，bR)(当且仅当ab时取等号)(3)()2(a，bR)(当且仅当ab时取等号)(4)2(a，b同号)(当且仅当ab时取等号)(5)(a，b0当且仅当ab时取等号)题组一走出误区1(多选题)下列命题不正确的是(ABC)A“x0且y0”是“2”的充要条件B若x0，则x3的最小值为2C不等式a2b22ab与有相同的成立条件D两个正数的等差中项不小于它们的等比中项题组二走进教材2(必修5P100练习T1改编)若x0，则x(D)A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为2D有最大
3、值，且最大值为2解析因为x0，x22，当且仅当x1时，等号成立，所以x23(必修五P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_25_m2解析设矩形的一边为x m，面积为y m2，则另一边为(202x)(10x)m，其中0x0，y0，x2y4，则的最小值为解析2x0，y0，4x2y2，解得02，若f(x)x在xn处取得最小值，则n(B)A B3 C D4(3)(2020重庆南开中学质检)已知实数a，b1，且满足abab5，则2a3b的最小值为_17_解析(1)a0，b0,4a3b6，a(a3b)3a(a3b)()2()23，当且仅当3aa3b，即a1，
4、b时，a(a3b)的最大值是3(2)由f(x)x(x2)24，当且仅当x20，即x3时，取得等号，故选B(3)由abab56(a1)(b1)36(2a2)(3b3)()2则2a3b17，当且仅当a4，b3取最小值易错警示求最值时忽视两项和或积为定值致错利用基本不等式求最值，在保证各项为正数的情况下，必须考虑两项和或两项积为定值，本题解答易忽视两项和为定值的条件，即错误解法为：a(a 3b)()2，当且仅当aa3b，且4a3b6，即a，b0时，a(a3b)的最大值为，从而错选B引申f(x)x的值域为_(，04，)_解析f(x)(x2)2，|(x2)|x2|2(当且仅当|x2|1即x3或1时取等号
5、)(x2)2或x22，f(x)4或f(x)0，即f(x)的值域为(，04，)名师点拨 拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性(2)求乘积的最值同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数角度2换元法求最值例2(1)函数y的最大值为(2)(2020百校联盟尖子生联考)已知a，bR，且a2bab16，则ab的最小值为(B)A16 B32 C64 D128解析(1)令t0，则xt21，所以y当t0，即x1时，y0；当t0时，即x1时，y，因
6、为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值)(2)ab16a2b2，令t，则t22t160t4，故ab32，即ab最小值为32.(当且仅当a8，b4时取等号)故选B角度3常数代换法求最值例3(1)(2020天津七校期中联考)已知a0，b0，且1，求ab的最小值_3_(2)(2020浙江宁波适应性考试)已知正实数a，b满足ab1，则(b)的最小值是(C)A B5 C22 D3解析(1)a0，b0，且1，ab(a1)b1()(a1)b11213，当且仅当a1b，即a1，b2时取等号，ab的最小值为3，另解：(换元法)由1得b1，(a0)，aba1213，
7、当且仅当a1，b2时取等号，ab的最小值为3(2)a0，b0且ab1，(b)22222，当且仅当a，b时取等号，(b)的最小值为22，故选C名师点拨 常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值(2)利用常数代换法求解最值应注意：条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解变式训练1(1)(角度1)(2020宁夏银川一中月考)已知正数x、y满足xy1，则的最小值为(B)A2 B C D5(2)(角度2)(2020
8、山东师大附中模拟)若正数x，y满足x5y3xy，则5xy的最小值为_12_(3)(角度3)(2020河北唐山一中期中)已知直线axby2(a0，b0)过(1,1)，求的最小值(B)A B C2 D解析(1)xy1，所以x(1y)2，则2()x(1y)()5259，所以，当且仅当，即当时取等号的最小值为，故选B(2)x0，y0，x5y3xy，即3，5xy()(5xy)(26)(262)12，(当且仅当xy2时取等号)5xy的最小值为12，另解：x0，y0，x5y3xy，即x，令3y1t，则y，(t0)，5xyy(1)(t)12(当且仅当t5，即xy2时取等号)5xy的最小值为12(3)因为直线a
9、xby2(a0，b0)过(1,1)，所以ab2，因此()(ab)2，当且仅当ab1时取等号，所以的最小值为，故选B考点二利用基本不等式求参数的范围师生共研例4若正数a，b满足abab3，则(1)ab的取值范围是_9，)_；(2)ab的取值范围是_6，)_解析(1)abab323，令t0，t22t30，(t3)(t1)0t3即3，ab9，当且仅当ab3时取等号(2)abab3，ab3()2今tab0，t24t120，(t6)(t2)0t6即ab6，当且仅当ab3时取等号名师点拨 利用方程的思想是解决此类问题的常规解法另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b0，a10，abaaa1(a1)26
10、.当且仅当ab3时取等号变式训练2(2020黑龙江哈尔滨三中期中)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_4_解析解法一：x0，y0，x2y2xy8(2y1)(x1)9且x10,2y10x2y(2y1)(x1)2224.(当且仅当x2，y1时取等号)x2y的最小值为4解法二：x0，y0，2xy()22(当且仅当x2，y1时取等号)又x2y2xy8，x2y28(x2y4)(x2y8)0x2y40，即x2y4(当且仅当x2，y1时取等号)x2y的最小值为4解法三：x0，y0，x2y2xy8x1，x2y(2y1)2224(当且仅当y1时取等号)x2y的最小值为4秒杀解法：x2y2xy8，
11、即x2yx2y8.由条件及结论关于x、2y的对称性知当x2y2时x2y取最小值为4考点三利用基本不等式解决实际问题师生共研例5(2020河南九师联盟联考)2018年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3 000万元，生产x(百辆)，需另投入成本C(x)万元，且C(x)由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润销售额成本)(2)2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润解析(1)当0x50时，L(x)6100x10x220
12、0x3 00010x2400x3 000；当x50时，L(x)6100x601x9 0003 0006 000(x)L(x)(2)当0x1 000当x100，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为5 800万元名师点拨 应用基本不等式解决实际问题的步骤：仔细阅读题目，深刻理解题意；找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；利用基本不等式求出最值；再还原成实际问题，作出解答特别强调的一点是，当利用基本不等式时，若等号成立的条件不具备，则利用函数的单调性求解变式训练3高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力
13、增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在(B)A2楼 B3楼 C4楼 D8楼解析解法一：由题意知，同学们总的不满意度yn24，当且仅当n，即n23时，不满意度最小，所以同学们认为最适宜的教室应在3楼解法二：代入法，分别n2,3,4,8，比较n的大小，即选BMING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 基本不等式的综合应用例6(1)(2020湖南浏阳一中等湘东七校联考)已知f(x
14、)x3ax2(b4)x1(a0，b0)在x1处取得极值，则的最小值为(C)A B32C3 D9(2)(2020河南信阳一模)已知正项等比数列an满足：a2a816a5，a3a520，若存在两项am，an，使得32，则的最小值为(A)A B C D解析(1)由题意知f(x)x22axb4，且f(1)0，2ab3(a0，b0)，()(2ab)(5)(25)3，当且仅当ab1时取等号，的最小值为3，故选C(2)由等比数列的性质得aa2a816a5，因为a50，所以a516，又因为a3a520，所以a34，所以a11，公比q2，因为32，所以3225，所以mn12，则(mn)()(5)(当且仅当，即m
15、4时，取等号)，则的最小值为，故选A名师点拨 基本不等式的综合问题的解法：利用相关知识确定某等量关系，在此条件下用基本不等式求解某些最值问题变式训练4(1)(2020江西南康中学月考)已知函数f(x)|ln x|，(ab0)，f(a)f(b)，则的最小值等于(A)A2 B C2 D2(2)(2020广东惠州调研)在ABC中，点D是AC上一点，且4，P为BD上一点，向量(0，0)，则的最小值为(A)A16 B8 C4 D2解析(1)由题意知ln aln bab1(ab)2，当且仅当，即时取等号的最小值为2，故选A(2)由题意可知，4，又B，P，D共线，由三点共线的充分必要条件可得41，又因为0，0，所以()(4)88216，当且仅当，时等号成立，故的最小值为16.故选A
