1、2021届高三入学调研试卷理 科 数 学（一）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数的实部与虚部分别为，则（ ）ABCD2设集合，则（
2、）ABCD3若函数的图象经过抛物线的焦点，则（ ）ABCD4已知两个单位向量，的夹角为，则下列向量是单位向量的是（ ）ABCD5的内角，的对边分别为，已知，则（ ）ABCD6设，满足约束条件，则的取值范围为（ ）ABCD7设是一个各位数字都不是且没有重复数字的两位数，将组成的个数字按从小到大排成的两位数记为，按从大到小排成的两位数记为(例如，则，)，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）ABCD8已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD9（ ）ABCD10镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小
3、灯，另一种是大灯下缀个小灯，大灯共个，小灯共个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（ ）ABCD11在正四棱柱中，为侧棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）ABCD12设是双曲线的右焦点，为坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式中的系数为 14已知函数，若，则 15如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 16已知函数是上的奇函数，函数，若对恒成立，则的取值范
4、围为 三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）设为数列的前项和，已知，其中是不为的常数，且，成等比数列（1）求的通项公式；（2）若，求18（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为，中奖可获得元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量活动期间，一位顾客买了罐百事可乐，他恰好获得元红包的概率；在这连续三周的活动中，求该超市需要投入
5、红包总金额的数学期望19（12分）在直角坐标系中，已知，且，记动点的轨迹为（1）求的方程；（2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的斜率20（12分）如图，在四面体中，平面平面，且（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值21（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若在上存在最大值，证明：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线关于极点对称（1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上
6、一动点，记到直线与直线的距离分别为，求的最小值23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，且不等式的解集为（1）求，；（2）若，证明：2021届高三入学调研试卷理 科 数 学（一）答 案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】A【解析】，2【答案】B【解析】，3【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，则，即，解得4【答案】D【解析】由平面向量的减法可得的模为，则是单位向量5【答案】C【解析】，6【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线过点时，取得最小值；直线过点时，取得最大值，故7【答案】D【解析
7、】，；，；，为的倍数，输出的8【答案】C【解析】令，则，曲线在点处的切线方程为9【答案】B【解析】10【答案】D【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为，则，解得，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为11【答案】A【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，设，则，从而，12【答案】C【解析】到渐近线的距离为，则的内切圆的半径，设的内切圆与切于点，则，即，则，第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13【答案】【解析】的展开式中的系数为14【答案】【解析】，的图象关于直线对称，又，且，15【答案】【解析】设该圆锥的半径与高分别为，则，即，该圆锥的
8、母线与底面所成角的正切值为16【答案】【解析】由是上的奇函数，得，则，因为在上单调递减，所以是上的减函数，作出与的图象，如图所示，由图可知，即，则三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1），数列是公差为的等差数列，成等比数列，或，（2），即，18【答案】（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，百事可乐的销量更好；（2）；元【解析】（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，百事可乐的销量更好（2）他恰好获得元红包说明他有两次中奖一次未中奖，故所求的概率为连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可
9、乐）的销量为罐，记连续三周顾客中奖总次数为，则，则，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为元19【答案】（1）；（2）【解析】（1），即，此即为的方程（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，当时，或，不合题意；当时，由，得，设，则，20【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，平面，因为平面，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面（2）设，则，四面体的体积，当时，单调递增；当时，单调递减，故当时，四面体的体积取得最大值，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，得，同理，平面的法向量为，由图可知，二面角为锐角，故二
10、面角的余弦值为21【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1），当时，在上单调递减；当时，由，得，在上单调递增；由，得，在上单调递减（2）易知，当时，由（1）知，在上单调递增，此时在上不存在最大值，当时，在上单调递增，在上单调递减，则，故，设，在上单调递增，即，且，要证：，只需证，即证，设，则，则在上单调递减，从而，即，则，从而22【答案】（1）；（2）【解析】（1），即，曲线的直角坐标方程为（2）由（1）可设，直线与直线的直角坐标方程分别为，从而，故的最小值为23【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】（1）当时，由，得，因为不等式的解集为，所以，解得，当时，由，得，所以，经检验，满足题意（2）证明：因为，所以，同理，因为，所以
