1、2.323.1直线与平面垂直的判定预习课本P6466， 思考并完成以下问题1直线与平面垂直的定义是怎样的？ 2直线与平面垂直的判定定理是什么？ 3直线与平面所成的角是怎样定义的？ 4直线与平面所成的角的范围是什么？ 1直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足(2)图形语言：如图画直线l与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直(3)符号语言：任意a，都有lal.点睛(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形(2)注意定
2、义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”2直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图所示(3)符号语言：a，b，abP，la，lbl.点睛判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0.(4)线面
3、角的范围：090.点睛把握定义应注意两点：斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若ab，a，l，则lb()(3)若ab，b，则a()答案：(1)(2)(3)2直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是()A平行B垂直C在平面内 D无法确定解析：选D当平面内的两条直线相交时，直线l平面，即l与相交，当平面内的两直线平行时，l或l或l与垂直或l与斜交3.如图，BCA90，PC平面ABC，则在ABC
4、，PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线有_解析：(1)PC平面ABC，AB，AC，BC平面ABC.PCAB，PCAC，PCBC.(2)BCA90，即BCAC，又BCPC，ACPCC，BC平面PAC，BCAP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解典例下列说法正确的有_(填序号)垂直于同一条直线的两条直线平行；如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若l与平面不垂直，则平面内一定没有直线与l垂直解析因为空间内与一条直线同时垂直
5、的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故不正确由线面垂直的定义可得，故正确因为这两条直线可能是平行直线，故不正确如图，l与不垂直，但a，la，故不正确答案(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线活学活用1若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OABB平面OACC平面OBC D平面ABC解析：选COAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，OA平面OBC.2如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形
6、的两边；圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件故填.答案：线面垂直的判定典例如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC
7、的中点，所以BDAC.由(1)知SDBD.又因为SDACD，所以BD平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论活学活用如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足(1)求证：AN平面PBM.(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB.证明：(1)AB为O的直径，AMBM.又PA平面ABM，PABM.又PAAMA，BM平面PAM.又AN平面PAM，BMAN.又ANPM，且BMPMM，AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM
8、，PB平面PBM，ANPB.又AQPB，ANAQA，PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，PBNQ.直线与平面所成角典例三棱锥SABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值解如图，过S作SO平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则SOAO，SOBO，SOCO.SASBSCa，SOASOBSOC，AOBOCO，O为ABC的外心ABC为正三角形，O为ABC的中心SO平面ABC，SAO即为SA与平面ABC所成的角在RtSAO中，SAa，AOaa，cosSAO，SA与底面ABC所成角的余弦值为.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所
9、成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算 活学活用在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为_；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为_解析：(1)由线面角定义知，A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，A1BA45.(2)如图，连接A1
10、D，设A1DAD1O，连接BO，则易证A1D平面ABC1D1，A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，A1B与平面ABC1D1所成的角为A1BO.A1OA1B，A1BO30.(3)A1BAB1，A1BB1C1，A1B平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90.答案：(1)45(2)30(3)90层级一学业水平达标1已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且mBmn，且nCmn，且n Dmn，且n解析：选BA中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，符合题意
11、；C、D中，m或m或m与相交，不符合题意，故选B.2若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A平行 B相交C异面 D以上皆有可能解析：选D在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面故选D.3下列四个命题中，正确的是()若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线
12、互相垂直；若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直A BC D解析：选D不正确4.如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A异面 B平行C垂直 D不确定解析：选CBA，l，l，BAl.同理BCl.又BABCB，l平面ABC.AC平面ABC，lAC.5.如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120解析：选AABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO，即ABO60.6已知直线l，a，b，平面，若要得到结论l，则需要在条件a，b，la，lb中另外添
13、加的一个条件是_答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，则直线PB与平面ABC所成的角等于_解析：因为PA平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以PBA即为直线PB与平面ABC所成的角在PAB中，BAP90，PAAB，所以PBA45，即直线PB与平面ABC所成的角等于45.答案：458已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形ABCD一定是_解析：如图，PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又BDPC，PAPCP，BD平面PAC.又AC平面PAC，BDAC.平行四边形ABCD为菱形答案：菱形9.如图，在四面体A
14、BCD中，BDC90，ACBD2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF.求证：BD平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又E，F分别为AD，BC的中点，FGBD，EGAC.ACBD2，则EGFG1.EF，EF2EG2FG2，EGFG，BDEG.BDC90，BDCD.又EGCDG，BD平面ACD.10.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值解：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.由ABCDA1B1C1D1为正方体，易得B1CBC1，B1CD1C1，BC1D1C1C1，BC1平
15、面ABC1D1，D1C1平面ABC1D1，B1C平面ABC1D1.E，F分别为A1B1，CD的中点，EFB1C，EF平面AC1，即EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角在RtEOA中，EOEFB1C，AE ，sinEAO.直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.层级二应试能力达标1在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A平面DD1C1CB平面A1DB1C平面A1B1C1D1 D平面A1DB答案：B2下面四个命题：过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；过一点和一个平面垂直的平面有且只
16、有一个其中正确的是()A BC D解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故不正确；易知均正确故选B.3设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm解析：选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确4.如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：
17、选D选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是ASO，SC与平面SBD所成的角就是CSO，易知这两个角相等选项D错误，AB与SC所成的角等于SCD，而DC与SA所成的角是SAB，这两个角不相等5.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中
18、点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为_解析：连接EB，由BB1平面ABCD，知FEB即直线EF与平面ABCD所成的角在RtFBE中，BF1，BE，则tanFEB.答案：6.如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足_时，空间四边形中的两条对角线互相垂直(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设ACBD，则ACDE，ACBE.折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC平面BDE，所以ACBD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证ACBD.答案：ACBD(或
19、四边形ABCD为菱形、正方形等)7如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA1.(1)求证：AB1平面A1BC1.(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，AB1BA1.由AA1平面A1B1C1得AA1A1C1.又A1C1A1B1，AA1A1B1A1，A1C1平面AA1B1B，又AB1平面AA1B1B，A1C1AB1.又BA1A1C1A1，AB1平面A1BC1.(2)连接A1D.设ABACAA11，AA1平面A1B1C1，A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜
20、边的中点，A1DB1C1.在RtA1DA中，AD.sinA1DA，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.8.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，AA1，D是A1B1的中点(1)求证C1D平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1平面C1DF？并证明你的结论证明：(1)ABCA1B1C1是直三棱柱，A1C1B1C11，且A1C1B190.又D是A1B1的中点，C1DA1B1.AA1平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，AA1C1D，又A1B1C1DD，C1D平面AA1B1B.(2)作DEAB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，
21、则AB1平面C1DF，点F为所求C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，C1DAB1.又AB1DF，DFC1DD，AB1平面C1DF.AA1A1B1，四边形AA1B1B为正方形又D为A1B1的中点，DFAB1，F为BB1的中点，当点F为BB1的中点时，AB1平面C1DF.23.2平面与平面垂直的判定预习课本P6769，思考并完成以下问题1二面角的定义、表示分别是怎样的？ 2二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的？ 3面面垂直是怎样定义的？ 4面面垂直的判定定理的内容是什么？ 1二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)直线AB叫做二面角的棱，半平面和叫做
22、二面角的面记法：AB，在，内，分别取点P，Q时，可记作PABQ；当棱记为l时，可记作l或PlQ.(2)二面角的平面角：定义：在二面角l的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角直二面角：平面角是直角的二面角点睛二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角的取值范围是0180.2平面与平面垂直(1)面面垂直的定义定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直画法：记作：.(2)两平面垂直的判定定理：文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个
23、平面垂直图形语言：如图符号语言：AB，ABB，AB.点睛定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若l，则过l有无数个平面与垂直()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90()答案：(1)(2)2在二面角l的棱l上任选一点O，若AOB是二面角l的平面角，则必须具有的条件是()AAOBO，AO，BOBAOl，BOlCABl，AO，BODAOl，BOl，且AO，BO答案：D3对于直线m，n和平面，能得出的一组条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，m Dmn，m，n解析：选CA与D中也可与平行
24、，B中不一定，故选C.面面垂直的判定典例如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.证明：平面AEC平面AFC.证明如图，连接BD，设BDAC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，所以EG平面AFC.因为EG平面
25、AEC，所以平面AEC平面AFC.(1)证明平面与平面垂直的方法：利用定义：证明二面角的平面角为直角；利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直活学活用1.如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A1对B2对C3对 D5对解析：选DDAAB，DAPA，DA平面PAB.同理BC平面PAB，又AB平面P
26、AD，DC平面PAD，平面PAD平面AC，平面PAB平面AC，平面PBC平面PAB，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5对2.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE平面ABCD.证明：连接AC，设ACBDO，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是PAC的中位线，所以EOPC.因为PC平面ABCD，所以EO平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.二面角的求法典例(1)如图，在正方体ABCDABCD中：二面角DABD的大小为_二面角AABD的大小为_(2)如图，已知RtABC，斜边BC，点A，AO
27、，O为垂足，ABO30，ACO45，求二面角ABCO的大小解析(1)在正方体ABCDABCD中，AB平面AD，所以ABAD，ABAD，因此DAD为二面角DABD的平面角在RtDDA中，DAD45，所以二面角DABD的大小为45.因为AB平面AD，所以ABAD，ABAA，因此AAD为二面角AABD的平面角，又AAD90，所以二面角AABD的大小为90.答案4590(2)解：如图，在平面内，过O作ODBC，垂足为点D，连接AD，设COa.AO，BC，AOBC.又AOODO，BC平面AOD.而AD平面AOD，ADBC，ADO是二面角ABCO的平面角由AO，OB，OC，知AOOB，AOOC.ABO30
28、，ACO45，COa，AOa，ACa，AB2a.在RtABC中，BAC90，BCa，ADa.在RtAOD中，sinADO.ADO60，即二面角ABCO的大小是60.(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法活学活用如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至ABD的位置，使CDAC.(1)求证：平面ABD平面ABC.(2)求二面角CBDA的余弦值解：(1)
29、证明：取AB的中点O，连接OD，ABD是等腰直角三角形，DOAB，且DOAD.连接OC，同理得COAB，且COAC，ADAC，DOCOAC.CDAC，DO2CO2CD2，CDO为等腰直角三角形，DOCO，又ABCOO，DO平面ABC.又DO平面ABD，平面ABD平面ABC.(2)取BD的中点E，连接CE，OE.BCD为等边三角形，CEBD.又BOD为等腰直角三角形，OEBD.OEC为二面角CBDA的平面角由(1)可证得OC平面ABD，OCOE.COE为直角三角形设BC1，则CE，OE，cosOEC，即二面角CBDA的余弦值为.折叠问题典例如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，E为BC的中点，把
30、ABE和CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE平面PAD；(2)求二面角PADE的大小解(1)证明：由ABBE，得APPE，同理，DPPE.又APDPP，PE平面PAD.又PE平面PDE，平面PDE平面PAD.(2)如图所示，取AD的中点F，连接PF，EF，则PFAD，EFAD，PFE就是二面角PADE的平面角又PE平面PAD，PEPF.EFAB，PF1，cosPFE.二面角PADE的大小为45.折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量活学活用如图所示，在矩形ABCD中，已知ABAD，E
31、是AD的中点，沿BE将ABE折起至ABE的位置，使ACAD，求证：平面ABE平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接AM，AN，MN，则MNBC.ABAD，E是AD的中点，ABAE，即ABAE.ANBE.ACAD，AMCD.在四边形BCDE中，CDMN，又MNAMM，CD平面AMN，CDAN.DEBC且DEBC，BE必与CD相交又ANBE，ANCD，AN平面BCDE.又AN平面ABE，平面ABE平面BCDE.层级一学业水平达标1从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角l的平面角的大小是()A60B120C60或120 D
32、不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.2如果直线l，m与平面，满足：l，l，m和m，那么必有()A且lm B且mCm且lm D且解析：选AB错，有可能m与相交；C错，有可能m与相交；D错，有可能与相交3已知直线a，b与平面，下列能使成立的条件是()A， Ba，ba，bCa，a Da，a解析：选D由a，知内必有直线l与a平行而a，l，.4如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB
33、平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析：选D由已知得BAAD，CDBD，又平面ABD平面BCD，CD平面ABD，从而CDAB，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ABC平面ADC.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值为()A. B.C. D.解析：选C如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，A1DA1B，在A1BD中，A1OBD.又在正方形ABCD中，ACBD，A1OA为二面角A1BDA的平面角设AA11，则AO.tanA1OA.6如果规定：xy，yz，则xz，叫作x，y，z关于相等关系
34、具有传递性，那么空间三个平面，关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是_解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性答案：平行7在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是_(填“垂直”“不垂直”其中的一个)解：如图，在正方体中，CC1平面ABCD，CC1BD.又ACBD，CC1ACC，BD平面AA1C1C.又BD平面EBD，平面EBD平面AA1C1C.答案：垂直8若P是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA，那么二面角PBCA的大小为_解析
35、：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则POA为二面角PBCA的平面角，OPOA，PA，所以POA为直角三角形，POA90.答案：909如图，在圆锥PO中，AB是O的直径，C是A上的点，D为AC的中点证明：平面POD平面PAC.证明：如图，连接OC，因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又PO底面ABC，AC底面ABC，所以ACPO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD.又AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.10.如图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC，求二面角EBDC的大小解
36、：E为SC中点，且SBBC，BESC.又DESC，BEDEE，SC平面BDE，BDSC.又SA平面ABC，可得SABD.又SCSAS，BD平面SAC，从而BDAC，BDDE，EDC为二面角EBDC的平面角设SAAB1.在ABC中，ABBC，SBBC，AC，SC2.在RtSAC中，DCS30，EDC60，即二面角EBDC为60.层级二应试能力达标1(浙江高考)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m.()A若l，则B若，则lmC若l，则 D若，则lm解析：选Al，l，(面面垂直的判定定理)，故A正确2一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系
37、为()A相等 B互补C相等或互补 D不确定解析：选D反例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABD的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.3.如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折给出四个结论：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是()A BC D解析：选B对于，因为BCAD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故不可能成立；对于，如
38、图，设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时，有BDFC，而ADBCAB234可使条件满足，故可能成立；对于，当点P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，故可能成立；对于，因为点D的射影不可能在FC上，故不可能成立故选B.4.如图，在四面体PABC中，ABAC，PBPC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDF平面ABC解析：选D因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为ABC的中位线，则BCDF，依据线面平行的判定定理，可知BC平面PDF，A成立又E为BC的中点，且PB
39、PC，ABAC，则BCPE，BCAE，依据线面垂直的判定定理，可知BC平面PAE.因为BCDF，所以DF平面PAE，B成立又DF平面PDF，则平面PDF平面PAE，C成立要使平面PDF平面ABC，已知AEDF，则必须有AEPD或AEPF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为60，则该四棱锥的高为_解析：如图，过点S作SO平面ABCD，连接OC，则SCO60，SOsin 60SC23.答案：36.如图，二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_解析：如图，作AO于O，ACl于C，连接OB，OC，则OC
40、l.设AB与所成的角为，则ABO，由图得sin sin 30sin 60.答案：7已知正方形ABCD的边长为2，ACBDO.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使ACa，得到三棱锥ABCD，如图(1)当a2时，求证：AO平面BCD.(2)当二面角ABDC的大小为120时，求二面角ABCD的正切值解：(1)证明：在AOC中，ACa2，AOCO.AC2AO2CO2，AOCO.AOBD，BDCOO，AO平面BCD.(2)折叠后，BDAO，BDCO，AOC是二面角ABDC的平面角，即AOC120.在AOC中，AOCO，AC.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.BDCO，BDAO，COAOO
41、，BD平面AOC.AH平面AOC，BDAH.又COAH，COBDO，AH平面BCD.AHBC.过点A作AKBC，垂足为K，连接HK.AKAHA，BC平面AHK.HK平面AHK，BCHK.AKH为二面角ABCD的平面角在AHO中，AH，OH，CHCOOH.在RtCKH中，HKCH.在RtAHK中，tanAKH.二面角ABCD的正切值为.8如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBC1，AD2，PA底面ABCD，PD与底面成45角，点E是PD的中点(1)求证：BEPD.(2)求二面角PCDA的余弦值解：(1)证明：连接AE.PA底面ABCD，PDA是PD与底
42、面ABCD所成的角，PDA45.PADA.又点E是PD的中点，AEPD.PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB.BAD90，BADA.又PAADA，BA平面PDA.又PD平面PDA，BAPD.又BAAEA，PD平面ABE.BE平面ABE，BEPD.(2)连接AC.在直角梯形ABCD中，ABBC1，AD2，ACCD.AC2CD2AD2，ACCD.又PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD.ACPAA，CD平面PAC.又PC平面PAC，PCCD，PCA为二面角PCDA的平面角在RtPCA中，PC.cos PCA.所求的二面角的余弦值为.23.3&2.3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面
43、垂直的性质预习课本P7072，思考并完成以下问题 1直线与平面垂直的性质定理是什么？ 2面面垂直的性质定理是什么？ 1直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行(2)图形语言：(3)符号语言：ab.(4)作用：线面垂直线线平行；作平行线点睛(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据2平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(2)图形语言：(3)符号语言：a.(4)作用：面面垂直线面垂直；作面的垂
44、线点睛对面面垂直的性质定理的理解(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直1若a，b表示直线，表示平面，下列命题中正确的个数为()a ，bab；a，abb；a，abb；a，bab.A1B2C3D0解析：选B由线面垂直的性质知、正确中b可能满足b，故错误；中b可能与相交(不垂直)，也可能平行，故不正确2两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面()A垂直B平行C斜交 D以上都有可能答案：D3平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_解析：由题意知n，而m，mn.答案：平行线面垂直性质定理
45、的应用典例如图，已知正方体A1C.(1)求证：A1CB1D1.(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MNB1D1，MNC1D，求证：MNA1C.证明(1)如图，连接A1C1.CC1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，CC1B1D1.四边形A1B1C1D1是正方形，A1C1B1D1.又CC1A1C1C1，B1D1平面A1C1C.又A1C平面A1C1C，B1D1A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.B1C1綊AD，四边形ADC1B1为平行四边形，C1DAB1.MNC1D，MNAB1.又MNB1D1，AB1B1D1B1，MN平面AB1D1.由(1)知A1CB1D1.同理可得A
46、1CAB1.又AB1B1D1B1，A1C平面AB1D1.A1CMN.(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质(2)直线与平面垂直的其他性质：如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面若l于A，APl，则AP.垂直于同一条直线的两个平面平行如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面 活学活用如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N
47、是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：(1)MNAD1；(2)M是AB的中点证明：(1)四边形ADD1A1为正方形，AD1A1D.又CD平面ADD1A1，CDAD1.A1DCDD，AD1平面A1DC.又MN平面A1DC，MNAD1.(2)连接ON，在A1DC中，A1OOD，A1NNC，ON綊CD綊AB.ONAM.又MNOA，四边形AMNO为平行四边形ONAM.ONAB，AMAB.M是AB的中点.面面垂直性质定理的应用典例已知P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC.证明如图，在平面PAC内作ADPC于点D，平面PAC平面PBC，AD平面PAC，且AD
48、PC，AD平面PBC，又BC平面PBC，ADBC.PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，ADPAA，BC平面PAC，又AC平面PAC，BCAC.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直应用面面垂直的性质定理，注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线活学活用如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且DAB60.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连
49、接BD，由已知DAB60，ABD为正三角形，G是AD的中点，BGAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)如图，连接PG.PAD是正三角形，G是AD的中点，PGAD，由(1)知BGAD.又PGBGG.AD平面PBG.而PB平面PBG，ADPB.垂直关系的综合应用典例如图，在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01)(1)求证：无论为何值，总有平面BEF平面ABC.(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?解(1)证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.CDBC，ABBCB，CD平面ABC
50、.又(01)，无论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC.又EF平面BEF，无论为何值，总有平面BEF平面ABC.(2)由(1)知BEEF，平面BEF平面ACD，平面BEF平面ACDEF，BE平面ACD.又AC平面ACD，BEAC.BCCD1，BCDABD90，ADB60，BD，ABtan 60，AC.由RtAEBRtABC，得AB2AEAC，AE，.故当时，平面BEF平面ACD. (1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的它们之间的转化关系如下：(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(
51、边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题活学活用(陕西高考)如图(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图(2)中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解：(1)证明：在图(1)中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图(2)中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC.又C
52、DBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图(1)知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.层级一学业水平达标1设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在内也可能平行于；对于选项D，直线l可能在内或平行于或与相交2已知平面，和直线m，l，则下列命题
53、中正确的是()A若，m，lm，则lB若m，l，lm，则lC若，l，则lD若，m，l，lm，则l解析：选D选项A缺少了条件：l；选项B缺少了条件：；选项C缺少了条件：m，lm；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件3在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，则BD与CC1()A平行 B共面C垂直 D不垂直解析：选C如图所示，在四边形ABCD中，ABBC，ADCD.BDAC.平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，BDCC1，故选C.4.如图，设平面平面PQ，
54、EG平面，FH平面，垂足分别为G，H.为使PQGH，则需增加的一个条件是()AEF平面BEF平面CPQGEDPQFH解析：选B因为EG平面，PQ平面，所以EGPQ.若EF平面，则由PQ平面，得EFPQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ平面EFHG，所以PQGH，故选B.5设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出如下命题：若，m，n，nm，则n；若，则；若，m，m，则m；若，m，则m.其中正确命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：选B根据平面与平面垂直的性质知正确；中，可能平行，也可能相交，不正确；中，m，m时，只可能有m，正确；中，m与的位置关系可能是m或m或m与相交，不正确综上，
55、可知正确命题的个数为2，故选B.6.如图，平面ABC平面ABD，ACB90，CACB，ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为_解析：CACB，O为AB的中点，COAB.又平面ABC平面ABD，交线为AB，CO平面ABD.OD平面ABD，COOD，COD为直角三角形所以图中的直角三角形有AOC，COB，ABC，AOD，BOD，COD共6个答案：67.如图，直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD的长为_解析：如图，连接BC，二角面l为直二面角，AC，且ACl，AC.又BC，ACBC，BC2AB2AC23，又BDCD，CD.答案：8已
56、知m，n是直线，是平面，给出下列说法若，m，nm，则n或n；若，m，n，则mn；若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线；若m，nm且n，n，则n且n.其中正确的说法序号是_(注：把你认为正确的说法的序号都填上)解析：错，垂直于交线，不一定垂直平面；对；错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；对答案：9.如图：三棱锥PABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是直角三角形，PAC90，ACP30，平面PAC平面ABC.求证：平面PAB平面PBC.证明：平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PAAC，PA平面ABC.又BC平面ABC，PABC.又ABBC，
57、ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，BC平面PAB.又BC平面PBC，平面PAB平面PBC.10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，ACBC，且ACBC.(1)求证：AM平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值解：(1)证明：平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABCAC，BCAC，BC平面ACDE.又AM平面ACDE，BCAM.四边形ACDE是正方形，AMCE.又BCCEC，AM平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.EAAC，平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABCAC，EA平面ABC，EACF.又ACB
58、C，CFAB.EAABA，CF平面AEB，CEF即为直线EC与平面ABE所成的角在RtCFE中，CF，FE，tanCEF.层级二应试能力达标1在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A相交B平行C异面 D相交或平行解析：选B圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行2(安徽高考)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与
59、n不可能垂直于同一平面解析：选DA项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确3设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则解析：选DA中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与中两条相交直线垂直时结论才成立4在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PCA90，ABC是边长为4的正三角形，PC4，M是AB边上的一动点，
60、则PM的最小值为()A2 B2C4 D4解析：选B连接CM，则由题意PC平面ABC，可得PCCM，所以PM ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在ABC中，当CMAB时CM有最小值，此时有CM42，所以PM的最小值为2.5.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos cos _.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos ，cos ，所以cos cos 2.答案：26经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有_个解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与垂直，此时有无数个平面与垂直；若点B
61、不是垂足，则l与点B确定唯一平面满足.答案：1或无数7.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，BCD120，平面PCD平面ABCD，PCa，PDa，E为PA的中点求证：平面EDB平面ABCD.证明：设ACBDO，连接EO，则EOPC.PCCDa，PDa，PC2CD2PD2，PCCD.平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，PC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EDB，故有平面EDB平面ABCD.8.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，D是BC的中点，侧面BB1C1C底面ABC.(1)求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线
62、BC1的平面交侧棱于点M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1平面BB1C1C，则AMMA1吗？请叙述你的判断理由解：(1)证明：ABAC，D是BC的中点，ADBC.底面ABC平面BB1C1C，底面ABC平面BB1C1CBC，AD平面BB1C1C.又CC1平面BB1C1C，ADCC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.AMMA1，NA1A1B1.A1C1A1NA1B1，C1NB1C1，C1N侧面BB1C1C.截面MBC1侧面BB1C1C；(3)结论正确证明如下：过M作MEBC1于点E，连接DE.截面MBC1侧面BB1C1C，ME侧面BB1C1
63、C.又AD侧面BB1C1C，MEAD，M，E，D，A四点共面MA侧面BB1C1C，AMDE.四边形AMED是平方四边形，又AMCC1，DECC1.BDCD，DECC1，AMCC1AA1.AMMA1.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交解析：选D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l
64、2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交2已知PA矩形ABCD，则下列结论中不正确的是()APBBCBPDCDCPDBD DPABD解析：选C如图所示，由于PA平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PABD(即D正确)，BCPA，BCBA，而PAABA，所以BC平面PAB，所以BCPB(即A正确)同理PDCD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBCBB12，AC2，则异面直线BD与AC所成的角为()A30B45C60 D90解析：选C如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面直线B
65、D与AC所成的角由条件可知BDDEEB，所以BDE60，故选C.4.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A，C，C1，A1四点共面，所以A1C面ACC1A1.因为MA1C，所以M面ACC1A1，又M面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在面ACC1A1与面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线，故选A.5已知m，n为异面直线，m平面，n平面
66、.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，则交线平行于l，故选D.6已知直线l平面，直线m平面，有以下四个命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的两个命题是()A BC D解析：选D若，l，则l，又m，所以lm，故正确；若，l，m，则l与m可能异面，所以不正确；若lm，l，则m，又m，则，所以正确；若l，lm，m，则与可能相交，故不正确综上可知，选D.7.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为
67、O，M为PB的中点，给出五个结论：OMPD；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：选C显然OMPD，又PD平面PCD，PD平面PDA.OM平面PCD，OM平面PDA.正确8把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A90 B60C45 D30解析：选C当三棱锥DABC体积最大时，平面DAC平面ABC，取AC的中点O，则DBO是等腰直角三角形，即DBO45.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分请把正确答案填在题中的
68、横线上)9在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条解析：如图，在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因为CD与平面不平行，所以它们相交，设CDQ，连接PQ，则PQ与EF必然相交由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1，EF，CD都相交答案：无数10已知a，b表示直线，表示平面若a，b，ab，则；若a，a垂直于内任意一条直线，则；若，a，b，则ab；若a，b，ab，则.上述命题中，正确命题的序号是_解析：对可举反例，如图，需b才能推出；对可举反例说明，当不与，的交线垂直时，即可知a，b不垂直；
69、根据面面、线面垂直的定义与判定知正确答案：11.如图所示，直线a平面，点A在另一侧，点B，C，Da，线段AB，AC，AD分别交于点E，F，G.若BD4，CF4，AF5，则EG_.解析：Aa，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a，且平面ABDEG，所以aEG，即BDEG，所以.又，所以.于是EG.答案：12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有一点E，F，且B1EC1F，则直线EF与平面ABCD的位置关系是_，EF与BB1的位置关系是_解析：过点E作EGAB，交BB1于点G，连接GF，则.B1EC1F，B1AC1B，FGB1C1BC.又EGF
70、GG，ABBCB，平面EFG平面ABCD.又EF平面EFG，EF平面ABCD.又B1BAB，B1BBC，ABBCB，B1B平面ABCD，B1B平面EFG.又EF平面EFG，B1BEF.答案：平行垂直13.如图，四面体PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90，AC8，BC6，则PC_，PC与平面ABC所成角的余弦值为_解析：取AB的中点E，连接PE.PAPB，PEAB.又平面PAB平面ABC，PE平面ABC.连接CE，PECE，PCE为直线PC与平面ABC所成的角ABC90，AC8，BC6，AB2，PE，CE，PC7，cosPCE.答案：714.在四棱锥PABCD中，PA平面ABC
71、D，ADBC，BC2AD4，ABCD，则BD与平面PAC的位置关系是_； 若二面角APCD的大小为60，则AP的值为_解析：设O为AC与BD的交点，作DEBC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形易证得DBCBCA，由已知条件易得CE1，则DE3，所以BEDE，从而得DBCBDEBCA45，所以BOC90，即ACBD.由PA平面ABCD得PABD，又PAACA，所以BD平面PAC.作OHPC于点H，连接DH.又DO平面PAC，故DOPC.又DOOHO，所以PC平面DOH，从而得PCDH.故DHO是二面角APCD的平面角，所以DHO60.易知DO，AC3，因为在RtDOH中，tanOHDtan 60
72、，所以OH.在RtCOD中，OC2.在RtPAC中，.设PAx，可得，解得x，即AP.答案：垂直15如图1所示的等边ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点现将ABC沿CD折叠，使平面ADC平面BDC，如图2所示，则直线AB与平面DEF的位置关系是_，四面体ADBC的外接球体积与四棱锥DABFE的体积之比为_解析：E，F分别为AC，BC的中点，ABEF，AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体ADBC的外接球即为长方体的外接球设球的半径为R，则a2a23a2(2R)2，R2a2，于是球的体积V1R3a3.又VA
73、BDCSBDCADa3，VEDFCSDFCADa3，.答案：平行三、简答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三条直线EF，GH，AC交于一点证明：(1)在ABD中，E，H分别是AB和AD的中点，EH綊BD.在CBD中，FG綊BD.EHFG.E，F，G，H四点共面(2)由(1)可知，EHFG，且EHFG，所以它们的延长线必相交于一点，设为点P.AC是平面ABC和平面ADC的交线，EF平面ABC，GH平面A
74、DC，平面ABC平面ADCP，由公理3知PAC.三条直线EF，GH，AC交于一点17.(本小题满分15分)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC.(1)证明：BC平面PDA；(2)证明：BCPD.证明：(1)在长方形ABCD中，BCAD，BC平面PDA，AD平面PDA，BC平面PDA.(2)取CD的中点H，连接PH.PDPC，PHCD.又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PH平面PDC，PH平面ABCD.又BC平面ABCD，PHBC.在长方形ABCD中，BCCD，PHCDH，BC平面PDC.又PD平面PDC，BCPD.18.(本小题满分15分)如
75、图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，C1CBC1CDBCD60.(1)求证：C1CBD.(2)当的值为多少时，可使A1C平面C1BD?解：(1)证明：连接A1C1，AC，设AC和BD交于点O，连接C1O.四边形ABCD是菱形，ACBD，BCCD.又BCC1DCC1，C1C是公共边，C1BCC1DC，C1BC1D.DOOB，C1OBD.又ACC1OO，BD平面ACC1A1.又C1C平面ACC1A1，C1CBD.(2)由(1)知BD平面AC1.A1C平面ACC1A1，BDA1C.当1时，平行六面体的六个面是全等的菱形同理可证BC1A1C.又BDBC1B，A1C平面C1BD.19.(
76、本小题满分15分)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值解：(1)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点所以DD1E为等腰直角三角形，D1ED45.同理C1EC45.所以DEC90，即DEEC.在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC平面D1DCC1，又DE平面D1DCC1，所以BCDE.又ECBCC，所以DE平面EBC.因为DE平面DEB，所以平面DEB平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作E
77、ODC于O.在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面ABCD平面D1DCC1，所以EO面ABCD.过O在平面DBC中作OFDB于F，连接EF，所以EFBD.EFO为二面角EDBC的平面角利用平面几何知识可得OF，又OE1，所以tanEFO.20(本小题满分15分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC
78、，所以AEBC.又因为A1E，BC平面A1BC，A1EBCE，故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以四边形AA1DE为平行四边形于是A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，AEA1EE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F.又因为DEBCE，所以A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14，DA1EA，DA1E90，得A1F.所以sinA1BF.
