1、考点规范练23解三角形考点规范练A册第16页基础巩固1.在ABC中,c=3,A=75,B=45,则ABC的外接圆的面积为()A.4B.C.2D.4答案:B解析:在ABC中,c=3,A=75,B=45,故C=180-A-B=60.设ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=csinC=332,解得R=1,故ABC的外接圆的面积S=R2=.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,则c=()A.12B.1C.3D.2答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.3.在ABC中,a,b,c分别为内
2、角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,ABC的面积S=3,则b等于()A.13B.4C.3D.15答案:A解析:由题意可得,2sin Bcos B=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B,cos B=12,B=3.又S=12acsin B=121c32=3,c=4.又b2=a2+c2-2accos B=1+16-21412=13,b=13.4.设ABC的三内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案:D解析:AB
3、C的三内角A,B,C成等差数列,B=3.sin A,sin B,sin C成等比数列,sin2B=sin Asin C,由正弦定理得b2=ac.在ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 3,ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c.ABC为等边三角形.5.(2019广西桂林高三一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=2,C=4,tan B=43,则ABC的面积等于()A.87B.7210C.2D.98答案:A解析:因为tan B=43,所以角B为锐角,且sin B=45,cos B=35,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos
4、Bsin C=4522+3522=7210.由asinA=csinC,得c=asinCsinA=2227210=107.所以SABC=12acsin B=12210745=87.6.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30B.45C.60D.75答案:B解析:依题意可得AD=2010 m,AC=305 m,又CD=50 m,所以在ACD中,由余弦定理,得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010=6 0006 0002=22,又0CAD0
5、,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A(0,),所以A=34.由正弦定理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,即sin C=12,所以C=6,故选B.13.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.答案:233解析:由正弦定理及条件,得bc+cb=4absin C,所以csinC=2a,设ABC的外接圆半径为R,则csinC=2R,所以a=R.因为b2+c2-a2=80,所以cos A0,0A2,因为asinA=2R,所以sin A=12,A=30,所以co
6、s A=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsin A=233.14.(2019浙江,14)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.答案:12257210解析:如图所示,设CD=x,DBC=,则AD=5-x,ABD=2-,在BDC中,由正弦定理得3sin4=xsin=32sin =x32.在ABD中,由正弦定理得5-xsin(2-)=4sin34=42cos =5-x42.由sin2+cos2=x218+(5-x)232=1,解得x1=-35(舍去),x2=215BD=1225.在ABD中,由正
7、弦定理得0.8sinABD=4sin(-4)sinABD=210cosABD=7210.15.(2019广西崇左天等高级中学高三下学期模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-42bc=3a2.(1)求sin A;(2)若3csin A=2asin B,ABC的面积为2,求ABC的周长.解:(1)因为3b2+3c2-42bc=3a2,所以b2+c2-a2=423bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=223,所以sin A=1-cos2A=1-89=13.(2)因为3csin A=2asin B,所以3ac=2ab,即b=322c.因为ABC的面积为2,所
8、以12bcsin A=2,即12322c213=2,解得c=2.所以b=32,a=18+4-2322223=6.故ABC的周长为2+32+6.高考预测16.ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若43S=b2+c2-a2.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=23,求角C的大小.解:(1)ABC中,b2+c2-a2=43S=4312bcsin A=2bc3sin A,cos A=b2+c2-a22bc=3sin A,tan A=33,0A,A=6.(2)a=2,b=23,A=6,由asinA=bsinB得sin B=bsinAa=23122=32,0BA,B=3或23,C=2或6.
