1、课时规范练39直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练A册第30页 基础巩固组1.(2019吉林长春二模,4)已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2相切,则b=()A.-3B.1C.-3或1D.52答案C解析由圆心到切线的距离等于半径,得|1+b|12+12=2,则|1+b|=2,解得b=1或b=-3,故选C.2.(2019河南八市联考,6)已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a的取值范围为()A.(2-17,2+17)B.(2-17,2)C.(-15,+)D.(-15,2)答案D解析由题意知,圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2-a
2、,则圆心为(1,-1),半径为2-a,则2-a0,解得a2,圆心到直线x+y-4=0的距离为d=|1-1-4|2=22,于是(2-a)2-(22)2-15,综上所述,a(-15,2),故选D.3.已知直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,过点A4a,1a作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.42B.6C.38D.210答案B解析直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,y=-ax+a过圆心C(2,1),1=-2a+a,解得a=-1,直线l的方程为y=x-1,A点坐标为(-4,-1),|AC|2=36+4=40,由勾股
3、定理可得,|AB|2=|AC|2-r2=40-4=36,|AB|=6,故选B.4.与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=4答案C解析圆x2+y2+2x-2y=0的圆心坐标为(-1,1),半径为2,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32,则所求圆的半径为2,设所求圆的圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左
4、上方,则|a-b-4|2=2,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合题意,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.故选C.5.(2019山东日照联考,8)过点P(1,1)的直线l将圆形区域(x,y)|x2+y24分为两部分,其面积分别为S1,S2,当|S1-S2|最大时,直线l的方程是()A.x+y-2=0B.x+y+2=0C.x-y-2=0D.x+y-1=0答案A解析因为点P坐标满足x2+y24,所以点P在圆x2+y2=4内,因此,当OP与过点P的直线垂直时,|S1-S2|最大,此时直线OP的斜率为kOP=1-01-0=1,所以直线l的斜率为k=-1,因此
5、,直线l的方程是y-1=-(x-1),整理得x+y-2=0.故选A.6.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以a4,-a4为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.4答案D解析圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),3+2a-11=0,解得a=4,a4,-a4即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=(1-1)2+(-1+2)2=1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=124+16=5,圆C中以a4,-a4为中点的弦长为2r2-d2=25-1=4.故选D.7
6、.(2019安徽合肥模拟,8)已知直线l:x-3y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+3)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且MPN=3,则实数a的值等于()A.2或10B.4或8C.622D.623答案B解析由MPN=3可得MCN=2MPN=23.在MCN中,CM=CN=2,CMN=CNM=6,可得点C(3,-3)到直线MN,即直线l:x-3y-a=0的距离为2sin 6=1.所以|3-3(-3)-a|1+3=1,解得a=4或8.故选B.8.(2019江苏苏锡常镇四市调查(二),7)过直线l:y=x-2上任意点P作圆C:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,当切线长最小时,PAB的面积
7、为.答案12解析依据题意作出图象,如下图:因为直线PA过点P且与圆x2+y2=1相切于点A,所以PAOA,所以PA=OP2-OA2=OP2-1,要使得PA最小,则OP要最小,由题可得OP的最小值就是点O到直线l:y=x-2的距离d=|0-2-0|12+12=2.此时,PAmin=OPmin2-1=(2)2-1=1,所以OPA=4,由切线的对称性可得BPA=2,PB=1,所以PAB的面积为SPAB=1211=12.9.(2019湖北十堰调研,15)已知圆M:(x-6)2+(y-6)2=16,点A(8,4),过点A的动直线与圆M交于P,Q两点,线段PQ的中点为N,O为坐标原点,则OMN面积的最大值
8、为.答案12解析由题可知MNPQ,所以点N在以线段AM为直径的圆上,OMN的边|OM|=62,故当N到直线OM的距离最大时,OMN的面积最大,以线段AM为直径的圆的圆心为(7,5),半径为2,直线OM的方程为x-y=0,点(7,5)到直线OM的距离为22=2,所以N到直线OM的距离的最大值为22,故OMN的面积的最大值为126222=12.10.已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r,若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.答案-25解析如图,由圆心与切点的连线与切线垂直,得m+12=-12,解得m=-2.因此圆心为(0,-2),则半径r=(-2-0)2+(-1
9、+2)2=5.综合提升组11.(多选)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值可以是()A.1B.2C.3D.4答案BCD解析由已知得直线l1:ax+3y+6=0与l2:2x+(a+1)y+6=0平行,则a(a+1)=32,解得a=2或a=-3,当a=2时两直线方程相同,两直线重合,不合题意,a=-3时检验符合题意,故
10、a=-3.此时两直线方程为x-y-2=0,x-y+3=0,C:x2+y2+2x=b2-1(b0)的方程配方整理得(x+1)2+y2=b2,圆心坐标为(-1,0),半径为b.据题意,平行相切包括一条相切,另一条相交、相切、相离均可,平行相离包括都相离的情况,因此其他情况即平行相交,也即是指两直线与圆都相交,当两直线与圆平行相切时,b=|-1-0-2|2=322或b=|-1-0+3|2=2,当两直线与圆平行相离时,b322且b2,即b2.故选BCD.12.(2019内蒙古呼和浩特调研,9)过坐标轴上一点M(x0,0)作圆C:x2+y-122=1的两条切线,切点分别为A、B.若|AB|2,则x0的取
11、值范围是()A.-,-5252,+B.(-,-33,+)C.-,-7272,+D.(-,-22,+)答案C解析根据题意,C:x2+y-122=1,其圆心为0,12,半径r=1,过点M作圆的切线,切点为A,B,则MAAC,MCAB,则SMAC=12|MA|AC|=12|MC|AB|2.又由|AC|=1,变形可得|AB|=2|MA|MC|,则有|MA|MC|22.又由M(x0,0),C0,12,则|MC|2=x02+14,|MA|2=|MC|2-1=x02-34,即可得x02-34x02+1412,解可得x0-72或x072,即x0的取值范围是-,-7272,+.故选C.13.(2019北京朝阳区
12、模拟,14)已知圆C:(x-2)2+y2=2,直线l:y=kx-2,若直线l上存在点P,过点P引圆的两条切线l1,l2,使得l1l2,则实数k的取值范围是.答案0,+)解析圆心为C(2,0),半径r=2,设P(x,y),因为两切线l1l2,如下图,PAPB,由切线性质定理,知PAAC,PBBC,PA=PB,所以,四边形PACB为正方形,所以|PC|=2,则点P满足(x-2)2+y2=4,即点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.直线l:y=kx-2过定点(0,-2),直线方程即kx-y-2=0,只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径,即d=|2k-2|
13、k2+12,解得:k0,即实数k的取值范围是0,+).14.已知圆O:x2+y2=4上一动点A,过点A作ABx轴,垂足为B,AB中点为P.(1)当A在圆O上运动时,求点P的轨迹E的方程;(2)过点F(-3,0)的直线l与E交于M,N两点,当|MN|=2时,求线段MN的垂直平分线方程.解(1)设P(x,y),则A(x,2y).将A(x,2y)代入x2+y2=4得点P的轨迹E的方程为x24+y2=1(y0).(2)由题意可设直线l方程为x=my-3,由x=my-3,x24+y2=1,得(m2+4)y2-23my-1=0.所以y1+y2=23mm2+4,y1y2=-1m2+4.所以|AB|=1+m2
14、|y1-y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=4(m2+1)m2+4=2.所以m=2.当m=2时,中点纵坐标y0=y1+y22=66,代入x=my-1得中点横坐标x0=-233,斜率为k=-2.故线段MN的垂直平分线方程为2x+2y+3=0.当m=-2时,同理可得MN的垂直平分线方程为2x-2y+3=0.所以线段MN的垂直平分线方程为2x+2y+3=0或2x-2y+3=0.创新应用组15.(2019江苏泰州模拟,10)在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任一点P作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当线段PQ长最小时,k=()A.2B.3C
15、.22D.5答案A解析如图,因为PQ为切线,所以PQC2Q,由勾股定理,得|PQ|=PC22-1,要使|PQ|最小,则需|PC2|最小,显然当点P为C1C2与C1的交点时,|PC2|最小,此时,|PC2|=|C1C2|-1,所以当|C1C2|最小时,|PC2|就最小,|C1C2|=k2+(-k+4)2=2(k-2)2+822,当k=2时,|C1C2|最小,得到|PQ|最小,故选A.16.已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为23,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.解(1)设圆C:(x-a)2+y2=r2(a0),由题意知|3a+7|32+42=r,a2+3=r,解得a=1或a=138.S=r20,解得k1+263.x1+x2=-6k-21+k2,y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2,OD=OA+OB=(x1+x2,y1+y2),MC=(1,-3),假设ODMC,则-3(x1+x2)=y1+y2,解得k=34-,1-2631+263,+,假设不成立,不存在这样的直线l.
