1、1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示基础过关练题组一空间向量的坐标表示 1.(2020安徽阜阳三中高二上期中)已知点A(-3,1,-4),点A关于x轴的对称点的坐标为()A.(-3,-1,4)B.(-3,-1,-4)C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)2.(2020山西晋中高一上期末)已知点A(1,1,-3),B(3,1,-1),则线段AB的中点M关于平面Oyz对称的点的坐标为()A.(-2,1,-2)B.(2,1,-2)C.(2,-1,-2)D.(2,1,2)3.(2021首都师范大学附属中学高二上月考)如图所示,在长方体ABCD-A1
2、B1C1D1中,|AB|=4,|AA1|=5,|AD|=3,N为棱CC1的中点,分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;(2)求点N的坐标.题组二空间向量线性运算的坐标表示4.(2020山东滨州十二校高二上联考)已知向量a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则向量b= ()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)5.(2021辽宁辽阳高二上检测)若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b=()A.(-4,1,0)B.(-4,1,-4
3、) C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)6.(2020上海徐汇高二下期末)如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若DB1的坐标为(4,3,2),则AC1的坐标为.题组三空间向量数量积的坐标表示7.(2021山东师范大学附属中学高二上月考)已知a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a上的投影向量为()A.-29,-49,-49B.29,49,49C.-23,13,13D.23,-13,-138.(2020福建莆田第七中学高二上期末)若向量a,b的坐标满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-
4、2),则ab等于()A.5B.-5 C.7D.-19.(2021天津静海高二上检测)若向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),c=(1,1,1),则(c-a)2b=.题组四利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题10.(2021福建南平高二上期中)已知a=(sin ,cos ,tan ),b=cos,sin,1tan,且ab,则 为()A.-4B.4 C.2k-2(kZ)D.k-4(kZ)11.若在ABC中,C=90,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.10B.-10C.25D.1012.(2020北京中央民族大学附属中学高二上期末)已知a=(
5、x,-4,2),b=(3,y,-5),若ab,则x2+y2的取值范围为()A.2,+)B.3,+) C.4,+)D.5,+)题组五利用空间向量的坐标运算求夹角和模13.(2021山东师范大学附属中学高二上月考)若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与b的夹角的余弦值为-26,则实数x的值为()A.-3B.11C.3D.-3或1114.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A与点B(-1,1,5)间的距离为()A.6B.26C.43D.21415.(2020北京十二中高二上期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C
6、(1,5,-1).(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;(2)若AD=(2,a,1),且ABAD=1,求a的值,并求此时向量AB与AD夹角的余弦值.16.(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.深度解析能力提升练题组一利用空间向量解决平行、垂直问题1.(2021江西新余一中、宜春一中高二上联考,)如图所示,在正方体ABCD-A1B1
7、C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是()A.平行B.相交 C.异面垂直D.异面不垂直2.(2020辽宁盘锦高二上期末,)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=12PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为()A.平行B.垂直 C.相交但不垂直D.位置关系不确定3.(2020中国人民大学附属中学高一下期末,)三棱锥V-ABC中,侧面VBC底面ABC,ABC=45,VA=VB,AC=AB,则()A.ACBCB.VBAC C.VABCD.VCAB4.(2020云南师大附中高三下月考,)如图,在正方
8、体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,M,N,H,R是各条棱的中点.直线AD1平面MNP;HD1CQ;P,Q,H,R四点共面;A1C1平面AB1D1.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.45.(多选)(2020海南海口海南中学高三下月考,)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持APBD1,则以下四个结论正确的是()A.VP-AA1D=13B.点P必在线段B1C上C.APBC1D.AP平面A1C1D6.(2020浙江绍兴高二上期末阶段测试,)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1平面ABCD,四边形ABCD是
9、正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED.(1)证明:BD1AC;(2)证明:BD1平面ACE.题组二利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题7.(2020安徽芜湖高二上期末,)如图,在三棱锥P-ABC中,ABC为等边三角形,PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(深度解析)A.14B.24C.34D.128.(2020四川内江高三三模,)如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径BC=4,AB=AC,BAC=90,D为半圆弧的中点,若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23,则该几何体的体积为()A.
10、16+8B.32+16 C.32+8D.16+169.(2020湖北武汉高二期末联考,)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1PAC1,则线段A1P长度的取值范围是()A.62,2B.62,3 C.1,2D.2,310.(多选)(2020山东莱州第一中学高二上期末,)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,下列命题中正确的是()A.AB1与BC1成60角B.若CN=13NC1,面A1MN交CD于点E,则CE=13C.P点在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MPDB1,则P点的轨迹长等于2D.E,F分别在DB1,A1
11、C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是,则+=211.(2021山东滕州一中高二上月考,)如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成),正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形,正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形,已知点P是线段AC上的动点,点Q是线段B1D上的动点,则线段PQ长度的最小值为.深度解析12.(2020青海西宁五中高二期末,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN的模;(2)求cos的值;(3)求证:A1BC1M.答案
12、全解全析基础过关练1.A在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,点A(-3,1,-4)关于x轴对称的点的坐标是(-3,-1,4).故选A.2.A点A(1,1,-3),B(3,1,-1),线段AB的中点M(2,1,-2),点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(-2,1,-2).故选A.3.解析(1)由已知,得A(0,0,0),由于点B在x轴的正半轴上,|AB|=4,故B(4,0,0),同理可得D(0,3,0),A1(0,0,5),由于点C在坐标平面Axy内,BCAB,CDAD,故C(4,3,0),同理可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与点C的坐标相
13、比,点C1的坐标中只有竖坐标不同,|CC1|=|AA1|=5,则C1(4,3,5).(2)由(1)知,C(4,3,0),C1(4,3,5),则C1C的中点坐标为N4,3,52.4.Ab=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).故选A.5.C因为向量a=(2,0,-1),所以2a=(4,0,-2),又向量b=(0,1,-2),所以2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0),故选C.6.答案(-4,3,2)解析因为点D(0,0,0),DB1=(4,3,2),所以B1(4,3,2),即AD=4,CD=3,DD1=2,所以A(4,0,0),C1(0,3,2),因此A
14、C1=(-4,3,2).7.Ba=(1,2,2),b=(-2,1,1),ab=1(-2)+21+21=2,向量a方向上的单位向量e=a|a|=13,23,23,向量b在a上的投影向量m=|ab|a|e=222+22+1213,23,23=29,49,49.故选B.8.Ba+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),两式相加得2a=(2,-4,0),解得a=(1,-2,0),b=(-3,1,2),ab=1(-3)+(-2)1+02=-5,故选B.9.答案-2解析c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),(c-a)2b=0+0-2=-2.10.Da=(sin ,cos ,tan )
15、,b=cos,sin,1tan,且ab,sin cos +cos sin +1=0,即sin 2=-1,2=-2+2k,kZ,=-4+k,kZ.故选D.11.D在ABC中,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),CB=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k),又C=90,CBCA=(-6)(-3)+12+2k(-k)=-2k2+20=0,k=10.故选D.12.Ca=(x,-4,2),b=(3,y,-5),ab,ab=3x-4y-10=0,y=34x-52,x2+y2=x2+34x-522=2516x-652+44,x2+y2的取值范围为4,+).故选C.13.A根
16、据公式cos=ab|a|b|=x+8-10x2+16+251+4+4=-26,x-2x2+41=-22,且x2,解得x=11(舍)或x=-3.故选A.14.D由题意得,A(3,3,-1),所以AB=(-4,-2,6),所以|AB|=16+4+36=214,故选D.15.解析(1)由题意得,D(1,2,1),AD=(1,1,-1),|AD|=1+1+1=3,即线段AD的长为3.(2)易知AB=(1,-2,1),ABAD=2-2a+1=1,解得a=1,AD=(2,1,1).cos=ABAD|AB|AD|=166=16,即向量AB与AD夹角的余弦值为16.16.解析由题意知A(1,0,1),B(1,
17、1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).(1)由PB=2AP得P1,13,23,所以M-1,13,-23,所以|PM|=2133.(2)当点P是面对角线AB的中点时,P1,12,12,点Q在面对角线DC上运动,设点Q(a,1,a),a0,1,则|PQ|=(a-1)2+1-122+a-122=2a2-3a+32=2a-342+38,所以当a=34时,|PQ|取得最小值64,此时点Q34,1,34.方法归纳利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标);(3)利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出
18、对应向量的模).能力提升练1.C建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),NO=(-1,0,-2),AM=(-2,0,1).NOAM=0,直线NO,AM的位置关系是异面垂直.故选C.2.B由已知可得PDDC,PDDA,DCDA,如图,以D为原点建立空间直角坐标系.设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0),DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0),DQPQ=0,DCPQ=0,PQDQ,PQDC,DQDC=D,PQ平面DCQ,又PQ平面PQC,平面
19、PQC平面DCQ.3.CAC=AB,ABC=45,ACB=45,ACAB,故选项A错误;设BC的中点为D,AB的中点为E,连接AD、VE、VD、DE,易得,ADBC,VEAB,DEAC.又平面VBC平面ABC,且平面VBC平面ABC=BC,AD平面ABC,AD平面VBC,又VD平面VBC,ADVD.DEAC,ABAC,DEAB,又VEAB,VEDE=E,AB平面VDE,ABVD,又ABAD=A,VD平面ABC,VDBC,VDAD.以D为坐标原点,DA,DB,DV所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设VD=b,BD=DA=DC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,-a,0
20、),V(0,0,b),则VA=(a,0,-b),VB=(0,a,-b),VC=(0,-a,-b),AB=(-a,a,0),AC=(-a,-a,0),BC=(0,-2a,0),VABC=0,VBAC=-a20,VCAB=-a20,VABC,故选项B、D错误,选项C正确.故选C.4.B因为M,N分别为A1B1,C1D1的中点,所以MNA1D1,又因为MN平面ADD1A1,A1D1平面ADD1A1,所以MN平面ADD1A1,同理可得NP平面ADD1A1,又MNNP=N,所以平面MNP平面ADD1A1,又AD1平面MNP,所以AD1平面MNP,正确;设棱长为2,如图建立空间直角坐标系,所以D1(0,0
21、,2),H(2,0,1),C(0,2,0),Q(1,0,0),所以HD1=(-2,0,1),CQ=(1,-2,0),所以HD1CQ=-2+0+00,错误;连接AC,HR,因为H,R分别是AA1,CC1的中点,所以HRAC,又因为Q,P分别为AD,DC的中点,连接QP,所以QPAC,所以PQHR,故P,Q,H,R四点共面,正确;A(2,0,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),所以AB1=(0,2,2),AD1=(-2,0,2),A1C1=(-2,2,0),A1C1AB10,AD1A1C10,所以直线A1C1不垂直于平面AB1D1,不正确.所以正确
22、的是,故选B.5.BD对于A,P在平面BCC1B1上,平面BCC1B1平面AA1D1D,P到平面AA1D1D的距离即为C到平面AA1D1D的距离,即为正方体棱长,VP-AA1D=13SAA1DCD=1312111=16,故A中结论错误;对于B,以D为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),P(x,1,z),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),AP=(x-1,1,z),BD1=(-1,-1,1),B1C=(-1,0,-1),APBD1,APBD1=1-x-1+z=0,x=z,即P(x,1,x),CP=(x,0,x),CP=-xB1C,
23、即B1,P,C三点共线,P必在线段B1C上,故B中结论正确;对于C,C1(0,1,1),BC1=(-1,0,1),又AP=(x-1,1,x),APBC1=1-x+x=1,AP与BC1不垂直,故C中结论错误;对于D,A1(1,0,1),D(0,0,0),A1C1=(-1,1,0),DA1=(1,0,1),又AP=(x-1,1,x),AP=xDA1+A1C1 (其中0x1),AP,DA1,A1C1共面,又AP平面A1C1D,AP平面A1C1D,故D中结论正确.故选BD.6.证明(1)设AC与BD交于点O,A1C1与B1D1交于点O1,连接OO1,设AB=a,AA1=b.如图,建立空间直角坐标系,则
24、O(0,0,0),A0,-22a,0,B22a,0,0,C0,22a,0,D-22a,0,0,A10,-22a,b,D1-22a,0,b,BD1=(-2a,0,b),AC=(0,2a,0),BD1AC=0,BD1AC.(2)设E(x,y,z),A1E=2ED,A1E=2ED,即x,y+22a,z-b=2-22a-x,-y,-z,解得x=-23a,y=-26a,z=b3,即E-23a,-26a,13b,AE=-23a,23a,13b.设BD1=AC+AE(,R),则(-2a,0,b)=(0,2a,0)+-23a,23a,13b,即-2a=0-23a,0=2a+23a,b=0+13b,解得=-1,
25、=3,即BD1=-AC+3AE,BD1,AC,AE共面.又BD1平面ACE,BD1平面ACE.7.B取AC的中点O,连接OP,OB,PA=PC,ACOP,平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,OP平面ABC,又AB=BC,ACOB,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,ABC为等边三角形,A(22,0,0),C(-22,0,0),P(0,0,22),D(2,6,0),AC=(-42,0,0),PD=(2,6,-22),cos=ACPD|AC|PD|=-8424=-24.异面直线AC与PD所成角的余弦值为24.故选B.解题反思用坐标法求
26、解立体几何问题,关键是建立适当的空间直角坐标系.建系时,关键是寻找线面垂直的条件,将垂线所在直线作为z轴,利用底面的图形特点建立x轴和y轴.8.A设D在底面半圆上的射影为D1,连接AD1交BC于O,连接A1D交B1C1于点O1.依题意知半圆柱体底面直径BC=4,AB=AC,BAC=90,D为半圆弧的中点,所以AD1BC,A1DB1C1,O,O1分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接OO1,则OO1与上下底面垂直,所以OO1OB,OO1OA,OAOB,以OB,OA,OO1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设几何体的高为h(h0),则B(2,0,0),D(0,-2,h),A(0,2,0),B
27、1(2,0,h),所以BD=(-2,-2,h),AB1=(2,-2,h),由于异面直线BD和AB1所成的角的余弦值为23,所以|cos|=|BDAB1|BD|AB1|=|h2|8+h28+h2=23,即h28+h2=23,所以h=4(负值舍去).所以几何体的体积为12224+12424=16+8.故选A.9.A如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),P是底面ABCD(含边界)上一动点,设P(x,y,0)(0x1,0y1),则A1P=(x,y,-1),AC1=(1,1,1),A1PAC1,A1PAC1=x+y-1=0,A1P2=x2+y2+1=x2+
28、(1-x)2+1=2x2-2x+2=2x-122+32,当x=12时,A1P2取最小值32,此时线段A1P的长度为62;当x=0或x=1时,A1P2取最大值2,此时线段A1P的长度为2,线段A1P长度的取值范围是62,2.故选A.10.ACD如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).对于A,AB1=(0,2,-2),BC1=(-2,0,-2),cos=AB1BC1|AB1|BC1|=42222=12,AB1与BC1成60角,A对;对于B,C
29、N=13NC1,N0,2,32,设E(0,m,2),则A1M=(-1,2,0),A1N=-2,2,32,A1E=(-2,m,2),由已知得A1,M,N,E四点共面,R,使得A1M=A1N+A1E,得-1=-2-2,2=2+m,0=32+2,解得=2,=-32,m=43,E0,43,2,CE=0,-23,0,|CE|=23,B错;对于C,设P(2,y,z)(0y2,0z2),则MP=(1,y-2,z),DB1=(2,2,-2),由MPDB1=2+2y-4-2z=0,得y-z=1.点P的轨迹长为线段y-z=1(1y2)的长度,为2,C对;对于D,E,F分别在DB1,A1C1上,且DEEB1=A1F
30、FC1=2,DE=23DB1=23(2,2,-2)=43,43,-43,A1F=23A1C1=23(-2,2,0)=-43,43,0,则E43,43,23,F23,43,0,则EF=-23,0,-23,则cos =|cos|=-43-43-232+-2324+4=8322322=1,故=0,cos =|cos|=-43+43-232+-2324+4=0,故=2,即+=2,故D正确.11.答案33434 解析以B1为坐标原点,B1C1、B1A1所在直线分别为x,y 轴建立如图空间直角坐标系,则B1(0,0,0),A(1,2,3),C(2,1,3),D(2,2,3),设B1Q=B1D,AP=AC,
31、0,1,则B1Q=(2,2,3)=(2,2,3),B1P=B1A+AP=B1A+AC=(1,2,3)+(1,-1,0)=(1+,2-,3),QP=B1P-B1Q=(1+-2,2-2,3-3).|QP|2=(1+-2)2+(2-2)2+(3-3)2=172-30+22-2+14=17-15172+2-122+934.当=1517且=12时,|QP|2取得最小值934,线段PQ长度的最小值为33434.思路点拨本题主要考查空间向量的应用,利用空间向量求解距离的最值问题时,一般是把目标式表示出来,结合目标式的特征,选择合适的方法求最值.12.解析以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)依题意,B(0,1,0),N(1,0,1),BN=(1,-1,1),|BN|=3.(2)依题意A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1CB1=10-11+22=3,|BA1|=6,|CB1|=5,cos=BA1CB1|BA1|CB1|=3010.(3)证明:C1(0,0,2),M12,12,2,C1M=12,12,0,又由(2)可得A1B=(-1,1,-2),A1BC1M=-12+12+0=0,A1BC1M,A1BC1M.
