1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第2节 空间几何体的表面积与体积第六章 立体几何考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关最新考纲核心素养考情聚焦 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1.空间几何体的表面积与侧面积、体积公式的学习与运用，达成直观想象、数学抽象和数学运算的素养2.球与空间几何体的接、切问题，提升直观想象和数学运算的素养本部分是高考的重点内容，涉及空间几何体的表面积与体积计算等内容，命题形式以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的表面积、体积的计算等问题，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关1常
2、见几何体的侧面展开图名称侧面展开图侧面展开图棱柱矩形圆柱矩形考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关棱锥 共顶点的三角形 圆锥扇形考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关棱台 若干个小梯形 圆台 扇环 考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关2.常见旋转体的表(侧)面积名称图形表面积侧面积圆柱 S2r22rl2r(rl)S 侧 2rl 圆锥 Sr2rlr(rl)S 侧 rl 考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关圆台S(r2r2rlrl)S 侧(rr)l 球S 4r2 考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关3.常见空间几何体的体积公式(1)设棱(圆)柱的底面积为 S，高为 h，则
3、体积 VSh.(2)设棱(圆)锥的底面积为 S，高为 h，则体积 V13Sh.(3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为 S，S，高为 h，则体积V13(S SSS)h.(4)设球半径为 R，则球的体积 V43R3.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关1.长方体的外接球球心：体对角线的交点；半径：r a2b2c22(a，b，c 为长方体的长、宽、高)考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关2正方体与球(1)正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所示设正方体的棱长为 a，则|OJ|ra2(r 为内切球半径)(2)与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆，则
4、|GO|R 22 a.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关3正四面体与球如图，设正四面体的棱长为 a，内切球的半径为 r，外接球的半径为 R，取 AB 的中点为 D，连接 CD，SE 为正四面体的高，在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE 上的圆因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为 O.此时，COOSR，OEr，SE23a，CE 33 a，则有 Rr23a，R2r2|CE|2a23，解得 R 64 a，r 612a.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关4三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球(1)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以
5、补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心即三棱锥 A1-AB1D1 的外接球的球心和正方体 ABCD-A1B1C1D1 的外接球的球心重合如图，设 AA1a，则 R 32 a.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关(2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心R2a2b2c24l24(l 为长方体的体对角线长)考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2
6、S.()(2)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 3a2.()(3)若一个球的体积为 4 3，则它的表面积为 12.()考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关(4)在ABC 中，AB2，BC3，ABC120，使ABC 绕直线 BC 旋转一周所形成的几何体的体积为 9.()(5)将圆心角为23，面积为 3 的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于 4.()(6)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 BDa，则三棱锥 D-ABC 的体积为 312a3.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)考点层级突破第六章基础自主夯实
7、课时分组冲关小题查验1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84，则圆台较小底面的半径为()A7 B6 C5 D3解析：A 设圆台较小底面半径为 r，则另一底面半径为 3r.由 S(r3r)384，解得 r7.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关2(2016全国卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B.323 C8 D4解析：A 设正方体的棱长为 a，则 a38，解得 a2.设球的半径为 R，则 2R 3a，即 R 3.所以球的表面积 S4R212.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关3(2019平顶山市一模
8、)高为 5，底面边长为 4 3的正三棱柱形容器(下有底)内，可放置最大球的半径是()A.32B2 C.3 22D.2解析：B 由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为 r，r 即为底面正三角形的内切圆半径底面边长为 4 3的正三角形，则 r2，故选 B.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关4人教 A 版教材 P28A 组 T3 改编如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 _.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积 V1131212a12b12c 148ab
9、c，剩下的几何体的体积 V2abc 148abc4748abc，所以 V1V2147.答案：147考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关5一个空间几何体的所有棱长均为 1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积 V _ cm3.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：由表面展开图可知，该几何体下面是一个边长为 1 的正方体，其体积为 1；上面是一个棱长为 1 的正四棱锥，其体积为1311322122 26.答案：1 26 考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关考点一 空间几何体的表面积与侧面积(自主练透)题组集训1轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是()A12
10、B23C13 D14解析：B 设圆柱的底面圆半径为 r，母线长为 l，依题意得 l2r，而 S 侧2rl，S 全2r22rl，S 侧S 全2rl(2r22rl)23.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关2圆台的母线长扩大到原来的 n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n，那么它的侧面积为原来的 _ 倍解析：设改变之前圆台的母线长为 l，上底半径为 r，下底半径为 R，则侧面积为(rR)l，改变后圆台的母线长为 nl，上底半径为rn，下底半径为Rn，则侧面积为rRnnl(rR)l，故它的侧面积为原来的 1 倍答案：1考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关3.如图所示，在直三棱柱 A1B1C
11、1ABC 中，ACBC，AC4，BCCC12.若用平行于三棱柱 A1B1C1-ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为 _.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：由题意知，拼接后的长方体有两种情形：一是长方体的高为 2，底面是边长为 2 的正方形；二是长方体的高为 2，底面是长为4，宽为 1 的矩形所以其表面积分别为 24,28，故长方体表面积的最小值为 24.答案：24考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关几何体表面积的求法(1)求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥
12、中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和提醒：组合体的表面积应注意重合部分的处理考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关考点二 空间几何体的体积(师生共研)典例(1)中国古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除”刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪”现有一个羡除如图所示，四边形 ABCD、ABFE、CDEF 均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF 到平面 ABCD 的距离为 3，CD 与 A
13、B 间的距离为 10，则这个“羡除”的体积是()A110 B116C118 D120考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关直观想象、数学建模与数学运算空间几何体体积公式在实际问题应用中的核心素养以学习的空间几何体的体积为基础，通过对实际问题的抽象，转化为立体几何问题，结合图形和数据，采用适当的方法得以求解，体现了直观想象、数学建模和数学运算的核心素养具体见下表：考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关信息提取信息解读直观想象、数学建模、数学运算题图为一羡除，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的
14、距离为10EF到平面ABCD的距离为3即等腰梯形ABFE的高；CD与AB间的距离为10即等腰梯形ABCD的高方法一(补形法)：根据所给图形，将该羡除分割后补形为一个直三棱柱，其底面为直角三角形，两直角边分别为10和3.棱柱的高为8.然后利用柱体的体积公式进行计算方法二(分割法)：将该羡除分割为一个底面为等腰梯形ABCD，高为3的四棱锥和一个底面为三角形BFE，高为10的三棱锥然后利用椎体的体积公式进行计算求这个“羡除”的体积考虑使用空间几何体的体积公式考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析 D 方法一(补形法)：第一步，将该羡除分割补形如图 1，过点 A 作 APCD，AMEF，过点
15、B 作 BQCD，BNEF，垂足分别为 P，M，Q，N，连接 PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为1210315.棱柱的高为 8.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关第二步，利用柱体的体积公式计算求出该羡除的体积所以该羡除的体积 V158120.故选 D.图 1考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关方法二(分割法)：第一步，将该羡除分割如图 2,连接 CE，BE，DB，则这个“羡除”的体积 VVEABCDVCBEF.因 为 VE ABCD 13 12(6 8)103 70，VC BEF 13 121031050.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关第
16、二步，利用椎体的体积公式计算求出该羡除的体积所以这个羡除的体积 VVEABCDVCBEF7050120.故选D.图 2考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关(2)(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCDA1B1C1D1 挖去四棱锥 OEFGH后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析 此题牵涉到的是 3D 打印新时代背景下的几何
17、体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解由题意得，四棱锥 O EFG H 的底面积为 4641223 cm212 cm2，其高为点 O 到底面 BB 1C 1C 的距离为 3 cm，则此四棱锥的体积为 V 113123 cm312 cm3.又长方体 考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关A BC D A 1B 1C 1D 1的体积为 V 2466 cm3144 cm3，所以该模型体积为 V V 2V 1(14412)cm3132 cm3，其质量为 0.9132 g118.8 g.答案 118.8考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关(3)(201
18、8全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30，若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为 _.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：如图所示，SA O 30，设圆锥的底面圆半径为 R，则SO R tan 3033 R，SA Rcos 30233 R，又SA SB，SA B 的面积 S12SA SB12233 R28.R 23，圆锥的体积为V 13R2SO 39 R339(23)38.答案：8 考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关与空间几何体的体积有关的常见题型与求解策略常见题型求解策略锥体、柱体、台体的体积问题根据题设条件求出所给几何
19、体的底面积和高，直接套用公式求解球的体积问题直接利用球的体积公式求解，对于实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解提醒：求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O，D、E、F 为圆 O 上的点，DBC
20、，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 _.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：如图，设正三角形 ABC 的边长为 x，则 OG13 32 x 36x.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关 FG SG 5 36x，SO h SG2GO2 5 36 x 236 x 255 33 x，三棱锥的体积 V13SABCh13 34 x255 33 x 15125x4 33 x5，令 b(x)
21、5x4 33 x5，则 b(x)20 x35 33 x4，令 b(x)0,4x3 x430，x4 3，Vmax 1512 48 544 15.答案：4 15考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关考点三 球与空间几何体的接、切问题(多维探究)命题角度 1 球的内切问题 1(2016全国卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是()A4 B.92 C6 D.323考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：B 由 ABBC，AB6，BC8，得 AC10.要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切若球与
22、三个侧面相切，设底面ABC 的内切圆的半径为 r，则126812(6810)r，所以 r2,2r43，不合题意球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大由 2R3，即 R32.故球的最大体积 V43R392.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练(2019晋中市一模)四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 6 的正方形，且 PAPBPCPD，若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都
23、相切，则该四棱锥的高是()A6 B5 C.92 D.94考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：D 由题意，四棱锥 PA BC D 是正四棱锥，球的球心 O在四棱锥的高 PH 上过正四棱锥的高作组合体的轴截面，如图所示，其中 PE，PF 是斜高，A 为球面与侧面的切点设 PH h，由几何体可知，R tPA O R tPH F，O A FHPOPF，即13h1h232，解得 h94.故选 D.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 2 球的相接问题 2(2019福州市一模)已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O的表面上，PA平面 ABC，ABBC，且 PA8，若平面 AB
24、C 截球 O所得截面的面积为 9，则球 O 的表面积为()A10B25 C50 D100解析：D 由题意，平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9，可得 AC2r29 6，PC 为球 O 的直径，PC 826210，球 O 的半径为 5，球 O 的表面积为 452100.故选 D.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关3(2019重庆市模拟)已知四棱锥 SABCD 的所有顶点在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于 1616 3，则球 O 的体积等于()A.4 23B.16 23 C.32 23 D.64 23考点层级突破第六章
25、基础自主夯实课时分组冲关解析：D 由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，该四棱锥的表面积等于 1616 3，设球 O 的半径为 R，则 AC2R，SOR，如图，考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关该四棱锥的底面边长为 AB 2R，则有(2R)2412 2R22 R 2R21616 3，解得 R2 2，球 O 的体积是43R364 23.故选 D.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练(2019兴安盟
26、一模)在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ADB 的面积分别为 22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为 _.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径侧棱 AC、AB、AD 两两垂直，ABC、ACD、ADB 的面积分别为 22，32，62，12ABAC 22，12ADAC 32，12ABAD 62，AB 2，AC1，AD 3，球的直径为 213 6，半径为 62，三棱锥外接球的表面积为 4646.答案：6考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关
