1、吉林省榆树市第一高级中学2021届高三数学上学期期末备考卷（B）文（老教材）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD【答
2、案】A【解析】，故2若复数满足(为虚数单位），则（ ）ABCD【答案】C【解析】由，可得，所以3在等差数列中，则（ ）ABCD【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由题设知，所以，所以4已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”5设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】A不正确，因为有可能；B正确；C不正确，因为有可能；D有可能6设，满足约束条件，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由
3、约束条件作出可行域如图，易得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最小值为7九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该“阳马”最长的棱长为（ ）ABCD【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中平面，该几何体最长棱的棱长为8在中，为重心，记，则（ ）ABCD【答案】A【解析】为的重心，9已知函数在处取得极小值，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由，得，则，
4、所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立10已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】是定义域为的奇函数，可得，即有，即，进而得到，为周期为的函数，若，可得，则，可得11定义行列式运算，已知函数，满足：，且的最小值为，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得，因为的最小值为，所以，则由，得12函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】设，在定义域上单调递增，不等式，即，即，第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知点，若，则_【答案】【解析】因为，所以，解得，故，14已知曲线，则曲线在处的切线与坐标轴
5、围成的图形面积为_【答案】【解析】对求导，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，切线与坐标轴的交点为和，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为15两直线与平行，则它们之间的距离为_【答案】【解析】根据两直线平行得到斜率相等，解得，则直线为，取上一点求出点到直线的距离即为两平行线间的距离，所以16在四面体中，平面，点为的重心，若四面体的外接球的表面积为，则_【答案】【解析】设的中点为点是的重心，设的外心为，由题意得点在上，令，则有，即，解得又平面，四面体的外接球的半径，由题意得，解得，三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知是数列的前项和，（1
6、）证明：当时，；（2）若等比数列的前两项分别为，求的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：当时，（2）解：由（1）知，的公比，且，18（12分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎（i）若从甲厂提供的个轮胎中随机选取个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率；（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂
7、的轮胎相对更好？【答案】（1），；（2）（i）；（ii）乙厂的轮胎相对更好，详见解析【解析】（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为；乙厂这批轮胎宽度的平均值为（2）甲厂这批轮胎宽度都在内的数据为，（i）（ii）甲厂标准轮胎的平均数为，方差为乙厂这批轮胎宽度都在内的数据为，平均数为，方差为由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎相对更好19（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，（1）求证：；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）设为的中点，连接，又，平面，且，平面，又平面，（2）连接，在中，为的中点，为正三角形，且，在中，为的中点，且，在中，
8、为直角三角形，且，又，且，平面，20（12分）已知圆关于直线对称的圆为（1）求圆的方程；（2）过点作直线与圆交于，两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，直线和【解析】（1）圆化为标准为，设圆的圆心关于直线的对称点为，则，且的中点在直线上，所以有，解得，所以圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆，交于两点，因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，设，由，得由于点在圆内部，所以恒成立，要使，必须使，即，也就是，整理得，解得，所以直线的方
9、程为，存在直线和，使得21（12分）设函数（1）求在处的切线；（2）当时，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1），在处的切线方程（2），且仅有，在单调递增，（i）时，在单调递增，满足题意；（ii）时，而连续且递增，所以存在唯一使，在上单调递减，取，则，不合题意；（iii）时，而连续且递增，在上单调递减，取，则，不合题意，综上所述，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的直角坐标方程为以平面直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴建立直角坐标系，射线的极坐标方程为（1）求曲线，的极坐标方程；（2）设点，分别为射线与曲线，上除原点之外的交点，求的最大值【答案】（1），；（2）【解析】（1）由曲线的参数方程（为参数），消去参数，得，即，曲线的极坐标方程为由曲线的直角坐标方程，曲线的极坐标方程（2）联立，得，；联立，得，当时，有最大值23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）求不等式的解集；（2）若且直线与函数的图象可以围成一个三角形，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，即，得或或，解得，不等式的解集为（2）作出函数的图象，如图所示，直线经过定点，当直线经过点时，当直线经过点时，当时，直线与函数的图象可以围成一个三角形
