1、-1-第二章 参数方程-2-1 参数方程的概念-3-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.理解参数方程的概念,了解参数方程的几何意义和物理意义.2.能够根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程.3.理解参数方程与普通方程之间的联系和区别.-4-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导
2、航 1 2 1.参数方程的概念一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数 t 的函数 =(),=(),并且对于 t 取的每一个允许值,由方程组所确定的点 P(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫作这条曲线的参数方程,联系 x,y 之间关系的变数 t 叫作参变数,简称参数.相对于参数方程,我们把直接用坐标(x,y)表示的曲线方程 f(x,y)=0 叫作曲线的普通方程.-5-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航
3、 1 2【做一做 1-1】已知参数方程 =2cos,=2sin(为参数,0,2).判断点A(1,3)和 B(2,1)是否在方程的曲线上.分析:把 A,B 两点的坐标分别代入方程验证即可.解:把 A,B 两点的坐标分别代入方程,得 1=2cos,3=2sin,2=2cos,1=2sin,在0,2)内,方程组的解是=3,而方程组无解,故点 A 在方程的曲线上,而点 B 不在方程的曲线上.-6-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2【做一
4、做 1-2】已知 P(x,y)是曲线 =2+cos,=sin(为参数)上任意一点,求(-5)2+(y+4)2的最大值.解:由题意,设 d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cos-5)2+(sin+4)2=8sin-6cos+26=10sin(-)+26,其中 为锐角,tan=34.所以max2=10+26=36,从而 dmax=6,即(-5)2+(y+4)2的最大值为 6.-7-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 2.参数的
5、取值范围在参数方程中,应明确参数 t 的取值范围.对于参数方程 x=f(t),y=g(t)来说,如果 t 的取值范围不同,它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围,那么参数的取值范围就理解为 x=f(t)和 y=g(t)这两个函数的自然定义域的交集.参数方程不一定局限在平面直角坐标系当中,其他的坐标系也可以采用参数方程.-8-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.参数方程的理解剖析:(1)方程组 =(),=()有 3 个
6、变量,其中的 x,y 表示点的坐标,变量 t叫作参变数,x,y 分别是 t 的函数.(2)从数学的角度看,曲线上任一点 M 的坐标(x,y)由 t 唯一确定.当 t 在允许值范围内连续变化时,x,y的值也随之变化,于是就可以连续地描绘出点的轨迹.(3)参数 t 作为间接地建立横、纵坐标 x,y 之间的关系的中间变量,起到桥梁作用.(4)参数在参数方程中可以是一个有明确的几何意义或物理意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.同一曲线选取的参数不同,其参数方程的形式往往也不同.(5)在表述参数方程时,必须指明参数的取值范围.-9-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGN
7、ANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 2.参数方程与普通方程的区别与联系剖析:区别:(1)方程的形式不同,曲线的参数方程常常是方程组的形式;(2)普通方程反映了曲线上任一点坐标 x,y 的直接关系,而参数方程反映了 x,y 的间接关系.参数方程是把曲线上点的横、纵坐标都描述为参数的函数,任意给定一个参数的相应值就可以得到曲线上一个对应点,反之亦是.联系:(1)两种方程是同一曲线的不同代数表现形式,是同一事物的两个方面;(2)这两种方程之间可以进行互相转化,通过消参法可以把参数方程化为普通方程,而引入参
8、数,则可以把普通方程化为参数方程.-10-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 参数方程的概念【例 1】已知曲线 C 的参数方程为 =22-1,=2+4,其中 t 为参数.(1)判断点 M(7,0),N(1,6),P(2,-2)与曲线 C 的关系;(2)试求当 t=-3 时,曲线 C 上的点的坐标.分析:将坐标分别代入参数方程进行判断.解:(1)对于点 M,将点M 的坐标代入方程组,解得 t=-2,则点 M
9、 在曲线C 上.对于点 N,将点的坐标代入方程组,解得 t=1,则点 N 在曲线 C 上.对于点 P,将点的坐标代入方程组,可知方程组无解,则点P 不在曲线 C上.(2)当 t=-3 时,=2 (-3)2-1=17,=2(-3)+4=-2,当 t=-3 时,曲线 C 上的点的坐标为(17,-2).-11-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 反思由参数方程的概念可知,要判断点是否在曲线上,只要看点的坐标是否满足参数
10、方程即可.若已知参数的值,只需将其代入参数方程,即可求得点的坐标.-12-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 1】已知曲线 C 的参数方程为 =122+3,=4+1,其中 t 为参数.(1)判断点 M(3,1),点 N(5,9)与曲线 C 的位置关系;(2)试求当 t=4 时,曲线 C 上的点的坐标.解:(1)把 M(3,1)代入方程组,解得 t=0,因此点 M 在曲线 C 上.把 N(5,9)代入方程
11、组,解得 t=2,因此,点 N 也在曲线 C 上.(2)当 t=4 时,=12 42+3,=4 4+1,即 =11,=17.所以当 t=4 时曲线 C 上的点的坐标为(11,17).-13-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 求曲线的参数方程【例 2】如图所示,已知点 P 是圆 x2+y2=16 上的一个动点,点 A 是 x轴上的一个定点,坐标为(12,0),当点P 在圆上运动时,求线段PA的中点M 的轨
12、迹的参数方程.分析:引入参数,写出点 P 的坐标,利用中点坐标公式得到点 M 的坐标,由点 M 的任意性得出点 M 的轨迹的参数方程.解:设点 M 的坐标为(x,y),AOP=.因为点 P 在圆 x2+y2=16 上,过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线可得点 P的坐标为(4cos,4sin),又 A(12,0),所以由中点坐标公式得点 M 的坐标为(2cos+6,2sin).所以点 M 的轨迹的参数方程为 =6+2cos,=2sin(为参数).-14-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI
13、TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 2】在一次军事演习中,一轰炸机以 150 m/s 的速度作水平直线飞行,在离地面飞行高度为 490 m时向目标投弹(不计阻力,重力加速度g 取 9.8 m/s2,炸弹的初速度等于飞机的速度).(1)求炸弹离开飞机后飞行轨迹的参数方程;(2)试问飞机在离目标的水平距离多远处投弹才能命中目标.解:(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设 A 为投弹点,B 为轰炸目标.已知炸弹运动的水平速度和垂直速度,则可以用时间 t 作为参数,建立参数方程.-15-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONG
14、NANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 设曲线上任一点坐标为(x,y),其对应的时刻为 t,则有 =150,=490-12 2.又由 y0,得 t10,所以参数方程为 =150,=490-4.92.(t 为参数且 0t10).(2)炸弹飞行到地面目标 B处的时间 t0满足方程 490-4.9t2=0,解得 t0=10.因此,x=150t=1500(m),即飞机在离目标 1500m处(水平距离)投弹才能命中目标.-16-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHON
15、GNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 参数方程的应用【例 3】已知点 P(x,y)是曲线 C:=3+cos,=2+3sin(为参数)上的任意一点,求 3x+y 的取值范围.解:设 P(3+cos,2+3sin),则 3x+y=3(3+cos)+(2+3sin)=11+3cos+3sin=11+2 3sin +3,所以 3x+y 的最大值为 11+2 3,最小值为 11-2 3,取值范围是11-2 3,11+2 3.反思利用参数方程求最值,可以把问题直接转化成三角函数
16、问题,从而使整个运算过程得到了简化.-17-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 3】若 x,y 满足(x-1)2+(y+2)2=4,求 S=2x+y 的最值.解:由(x-1)2+(y+2)2=4 知,它表示以(1,-2)为圆心,半径为2 的圆.设 x=1+2cos,y=-2+2sin,则 S=2x+y=2+4cos-2+2sin=4cos+2sin=2 5sin(+).由-2 5S2 5,得 S 的最大
17、值为 2 5,最小值为-2 5.-18-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 51 曲线 =1+2,=2(t 为参数),经过点(2,m),则 m 为().A.2B.-2C.2D.1解析:将 x=2 代入 x=1+t2,得 t=1,则 y=2,即 m=2.答案:C-19-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透
18、析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 52 曲线 =2cos,=2sin(为参数),表示的曲线是().A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析:=2cos,=2sin,x2+y2=4cos2+4sin2=4.故曲线表示圆.答案:B-20-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 53 若点 M(x,y)在曲线 =1+3cos,=1+3sin(为参数)上,则 x2+y2 的最大值与最小值的差为().A.6 2B.1
19、2 2C.2D.3 2解析:x2+y2=(1+3cos)2+(1+3sin)2=11+6 2sin +4,所以 x2+y2 的最大值为 11+6 2,最小值为 11-6 2.所以最大值与最小值的差为11+6 2-(11-6 2)=12 2.答案:B-21-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 54 已知边长为 a 的等边三角形 ABC 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上移动,顶点 C 和原点 O 分别在直
20、线 AB 两侧,记CAx=,则顶点C 的轨迹的参数方程是 .解析:如图所示,过点 C 作 CDx 轴于 D.设点 C 的坐标为(x,y),则由 =|+|,=|,得 =cos 23-+cos=cos-3,=sin,-22-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 5即顶点 C 的轨迹的参数方程为 =cos-3,=sin(为参数).答案:=cos-3,=sin(为参数)-23-1 参数方程的概念 ZHISHISHULI知识梳理 Z
21、HONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 55 一架救援飞机以 100 m/s 的速度做水平直线飞行,在离灾区指定目标的水平距离还有 1 000 m时投放救灾物资(不计空气阻力,g=9.8 m/s2),问此时飞机的飞行高度约是多少?(精确到 1 m)解:在时刻 t 时飞机在水平方向的位移量 x=100t,离地面高度 y=0+12gt2,即 =100,=0+12 2(t 为参数).令 1000=100t,得 t=10.将其代入得 y=129.8100=490.即此时飞机的飞行高度约是 490m.
