1、广东省潮州市2021届高三数学二模试卷（含解析）一、选择题（一）单项选择题（每小题5分，共40分）1已知集合AxR|x22x0，则满足AB0，1，2的集合B的个数是（）A2B3C4D52在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知sin，则cos（2）（）ABCD4设，均为单位向量，则“|3|3+|”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+50，则双曲线的离心率为（）A2BCD6设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是（）A
2、a，b，Ba，b，Ca，b，Da，b，7中国古代数学名著周牌算经记载的“日月历法”日：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（）A28B29C30D328对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（x0）f（x0），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）x22mx+m23为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A，B，C，D，（二）多
3、项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9已知直线x是函数f（x）sin（2x+）（0）的一条对称轴，则（）Af（x+）是奇函数Bx是f（x）的一个零点Cf（x）在，上单调递减Dyf（x）与g（x）sin（2x）的图象关于直线x对称10已知函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Af（a）f（b）f（c）Bf（e）f（d）f（c）Cxc时，f（x）取得最大值Dxd时，f（x）取得最小值11已知圆C：x22ax+y2+a210与圆D：x2+y24有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是（）A3B3C2D212已知数列an满足annkn（nN*，0k1），下列命题
4、正确的有（）A当k时，数列an为递减数列B当k时，数列an一定有最大项C当0k时，数列an为递减数列D当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项二、填空题（本题共4小题，每小题S分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。）13（x）6的展开式的常数项是 用数字作答）14若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 15根据中央关于精准脱贫的要求，我市农业经济部门随机派遣4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则专家派遣的方法的种数为 16某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面
5、所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）若其中一个截面圆的周长为6，则该球的半径为 ；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高如果球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积计算公式是S2Rh由此可知，该实心工艺品的表面积是 三、解答题（本题共6道小题，共70分；解答要写出证明过程或解题步骤）17已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，现给出两个条件：2cosC（acosC+ccosA）+b0，3bcosC+2csinCsinB0；要求你从中选出一个条件（选出其中一个条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分），并以
6、此为依据求解下面问题问题：（1）求角C；（2）若c2，SABC，求a+b的值18已知等差数列an的公差d0，若a611，且a2，a5，a14成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Sn19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，ABC60，PA面ABCD，且PA3，F在棱PA上，且AF1，E为棱PD的中点（1）求证：CE平面BDF；（2）求二面角BDFA的余弦值20为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期假设每只白鼠给药后当
7、天出现F症状的概率均为，且每次给药后是否出现F症状与上次给药无关（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X，求X的分布列和数学期望21已知椭圆C：+1（ab0）经过点（1，），且椭圆C的离心率e（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两个动点，k1，k2分别为直线OM，ON的斜率且k1k2，试探究OMN的面积是否为定值22已知函数f（x）lnx，g（x）x2ax（a0）（1）讨论函数h（x）f（x）+g（x）的
8、极值点；（2）若x1，x2（x1x2）是方程f（x）+0的两个不同的正实根，证明：x12+x224a参考答案一、选择题（一）单项选择题（共8道小题）1已知集合AxR|x22x0，则满足AB0，1，2的集合B的个数是（）A2B3C4D5解：集合AxR|x22x00，2，满足AB0，1，2的集合B有：1，0，1，1，2，0，1，2，共4个，故选：C2在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：复数，共轭复数对应点的坐标（，）在第四象限故选：D3已知sin，则cos（2）（）ABCD解：因为sin，所以故选：A4设，均为单位向量，则“|3|3+|”是“”的（
9、）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：“|3|3+|”平方得|2+9|269|2+|2+6，即1+969+1+6，即120，则0，即，反之也成立，则“|3|3+|”是“”的充要条件，故选：C5已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+50，则双曲线的离心率为（）A2BCD解：双曲线1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+50，可得，所以e故选：D6设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是（）Aa，b，Ba，b，Ca，b，Da，b，解：A若，a，a，b，b，则ab，故A错；B若a，则a，又b，则ab，故B
10、错；C若b，则b，又a，则ab，故C正确；D若，b，设c，由线面平行的性质得，bc，若ac，则ab，故D错故选：C7中国古代数学名著周牌算经记载的“日月历法”日：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（）A28B29C30D32解：由题意可设年纪最大年龄为m，年纪最小年龄为n，则有n+（n+1）+（n+18）+m1520，所以m134919n，901349
11、19n100，解之得：65，又nN*，n66，m95，极差为mn956629，故选：B8对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（x0）f（x0），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）x22mx+m23为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A，B，C，D，解：根据题意，f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（x）f（x）有解即x2+2mx+m23（x22mx+m23），整理得：x2+m230，必有m230，解得：m，即m的取值范围为，故选：B（二）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，错选不得分）
12、9已知直线x是函数f（x）sin（2x+）（0）的一条对称轴，则（）Af（x+）是奇函数Bx是f（x）的一个零点Cf（x）在，上单调递减Dyf（x）与g（x）sin（2x）的图象关于直线x对称解：直线x是函数f（x）sin（2x+）（0）的一条对称轴，2+k+，kZ，函数f（x）sin（2x+）f（x+）sin（2x+）cos2x是偶函数，故A错误；令x，求得f（x）0，可得x是f（x）的一个零点，故B正确；当x，2x+，函数f（x）单调递减，故C正确；显然，f（x）sin（2x+）与g（x）sin（2x）的图象关于直线x对称，故D正确，故选：BCD10已知函数yf（x）的导函数yf（x）的图
13、象如图所示，则下列结论正确的是（）Af（a）f（b）f（c）Bf（e）f（d）f（c）Cxc时，f（x）取得最大值Dxd时，f（x）取得最小值解：结合导函数的图象，可知f（x）在（，c上单调递增，在（c，e）上单调递减，在e，+）上单调递增，对于A，因为abc，由f（x）的单调性可知f（a）f（b）f（c），故A正确；对于B，因为cde，由f（x）的单调性可知f（c）f（d）f（e），故B正确；对于C，当xc时，f（x）取得极大值，但不一定是最大值，故C错误；对于D，由B可知，f（d）不是f（x）的最小值，故D错误故选：AB11已知圆C：x22ax+y2+a210与圆D：x2+y24有且仅有两
14、条公共切线，则实数a的取值可以是（）A3B3C2D2解：根据题意，圆C：x22ax+y2+a210，即（xa）2+y21，其圆心为（a，0），半径R1，D：x2+y24，其圆心D（0，0），半径r2，若两个圆有且仅有两条公共切线，则两圆相交，则有21|a|2+1，即1|a|3，解可得：3a1或1a3，分析选项可得：CD符合，故选：CD12已知数列an满足annkn（nN*，0k1），下列命题正确的有（）A当k时，数列an为递减数列B当k时，数列an一定有最大项C当0k时，数列an为递减数列D当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项解：anan+1nkn（n+1）kn+1n（n+1）k，ana
15、n+1nkn（n+1）kn+1n（n+1）k，对于A，因为k，所以a1，a22，于是a1a2，所以A错；对于B，因为k，所以4，于是当n4时，an递减，所以数列an一定有最大项，所以B对；对于C，因为当0k时，所以当n1时，数列an为递减数列，所以C对；对于D，设m，当nm，即nm+1时数列an为递减，当nm时an为递增，最大项为am，am+1（m+1），所以数列an必有两项相等的最大项，所以D对故选：BCD二、填空题（本题共4小题，每小题S分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。）13（x）6的展开式的常数项是20用数字作答）解：（x）6的展开式的通项公式为 Tr+1（1）rx6
16、2r，令62r0，求得r3，可得展开式的常数项为 （1）20，故答案为：2014若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是9解：抛物线的准线为x1，点M到焦点的距离为10，点M到准线x1的距离为10，点M到y轴的距离为9故答案为：915根据中央关于精准脱贫的要求，我市农业经济部门随机派遣4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则专家派遣的方法的种数为36解：根据题意，分2步进行分析：将4位专家分为3组，有C426种分组方法，将分好的三组全排列，分到3个县区进行调研，有A336种情况，则有6636种派遣方法，故答案为：3616某同学在参加通用技术实践课时，制作了一
17、个实心工艺品（如图所示）该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）若其中一个截面圆的周长为6，则该球的半径为5；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高如果球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积计算公式是S2Rh由此可知，该实心工艺品的表面积是94解：设球心半径为R，圆的半径为r，正方体棱长为OO18，（如图）圆的周长为6，O1Ar3由题意，圆心和球心以及正方体的边的一半可以构造直角三角形，即R5，球冠的高是hBO1541，球的表面积减去球冠的表面积，在加上6个圆的
18、面积，可得工艺品的表面积即工艺品的表面积为：4R22Rh6+6r294故答案为：5，94三、解答题（本题共6道小题，共70分；解答要写出证明过程或解题步骤）17已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，现给出两个条件：2cosC（acosC+ccosA）+b0，3bcosC+2csinCsinB0；要求你从中选出一个条件（选出其中一个条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分），并以此为依据求解下面问题问题：（1）求角C；（2）若c2，SABC，求a+b的值解：若选，2cosC（acosC+ccosA）+b0，（1）由正弦定理可得2cosC（sinAcosC+sinCcosA）+sinB
19、0，所以2cosCsin（A+C）+sinB2cosCsinB+sinB0，因为sinB0，所以可得cosC，因为C（0，），所以C（2）因为c2，SABC，C，所以absinCab，解得ab4，由余弦定理可c2a2+b22abcosC，可得12a2+b2+ab（a+b）2ab（a+b）24，解得a+b4若选，3bcosC+2csinCsinB0；（1）由正弦定理可得3sinBcosC+2sin2CsinB0，因为sinB0，可得3cosC+2sin2C3cosC+2（1cos2C）0，可得2cos2C3cosC20，解得cosC，或2（舍去），因为C（0，），所以C（2）因为c2，SABC，
20、C，所以absinCab，解得ab4，由余弦定理可c2a2+b22abcosC，可得12a2+b2+ab（a+b）2ab（a+b）24，解得a+b418已知等差数列an的公差d0，若a611，且a2，a5，a14成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Sn解：（1）a611，a1+5d11，a2，a5，a14成等比数列，化简得d2a1，由可得，a11，d2数列的通项公式是an2n1；（2）由（1）得，Sn19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，ABC60，PA面ABCD，且PA3，F在棱PA上，且AF1，E为棱PD的中点（1）求证：CE平面BDF
21、；（2）求二面角BDFA的余弦值【解答】（1）证明：连接AC，交BD于O，取BC中点M，连接AM，因为PA面ABCD，所以PAAM，PAAD，又因为底面ABCD是菱形，ABC60，所以AMAD，所以AMADAP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为ABADAP3，AE1，所以AM3sin60，BMMC，（，0），（，1），（，0，），设平面BDF的法向量为（x，y，z），令y1，（，1，3），因为+0，所以CE平面BDF（2）解：由（1）知平面BDF的法向量为（，1，3），平面ADF的法向量为（1，0，0），由图知二面角BDFA为锐角，所以二面角BDFA的余弦值为20为研究一种新药的耐受
22、性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期假设每只白鼠给药后当天出现F症状的概率均为，且每次给药后是否出现F症状与上次给药无关（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X，求X的分布列和数学期望解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件M，则M的对立事件是一个给药周期也没有参加完，设一次给药出现F症状为事件A
23、，则一个一个给药周期也没有参加完的概率为：P（）P（AA）+P（AA）（）2+一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为：P（M）1P（）1（2）设事件B为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状”，则P（B），随机变量X的可能取值为1，2，3，P（X1），P（X2）1P（B）P（B），P（X3）1P（B）1P（B），X的分布列为： X 1 2 3 P E（X）21已知椭圆C：+1（ab0）经过点（1，），且椭圆C的离心率e（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两个动点，k1，k2分别为直线OM，ON的斜率且k1k2，试探究OMN的面积是否为定值解：（1）由e，可得ba，又椭圆经过
24、点（1，），可得+1，解得a2，b1，则椭圆C的方程为+y21；（2）设直线MN的方程为xmy+t，与椭圆方程x2+4y240联立，可得（4+m2）y2+2mty+t240，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2，y1y2，|y1y2|4，|MN|4，O到直线MN的距离为d，所以OMN的面积为Sd|MN|2|t|，由k1k2，可得，即为x1x2+4y1y2（my1+t）（my2+t）+4y1y2（4+m2）y1y2+mt（y1+y2）+t20，可得（4+m2）+mt（）+t20，化为4+m22t2，所以S2|t|1，故OMN的面积为定值122已知函数f（x）lnx，g（x）x2a
25、x（a0）（1）讨论函数h（x）f（x）+g（x）的极值点；（2）若x1，x2（x1x2）是方程f（x）+0的两个不同的正实根，证明：x12+x224a解：（1）h（x）f（x）+g（x）lnx+x2ax（x0）（a0），h（x）+2xa，令2x2ax+10，a28，当0a2时，0，h（x）0，无极值点，当a2时，令2x2ax+10，解得：x，当x（0，），（，+）时，h（x）0，h（x）递增，x（，）时，h（x）0，h（x）递减，故h（x）极大值点是，极小值点是；综上：0a2时，h（x）无极值点，a2时，h（x）极大值点是，极小值点是；（2）由f（x）+lnx+0，即lnx+0，令k（x）lnx+（x0，a0），k（x），令k（x）0，得x，当0x时，k（x）0，当x时，k（x）0，k（x）在（0，）递减，在（，+）上递增，又k（x）有2个零点，k（）0，即ln+0，解得：0a，且，两式相减得：lnx2lnx1，设t（t1），lnt，（1），要证明x12+x224a，即证明（1+t2）4a，（1+t2）（1）4a，（1+t2）（1）2，即证明2lnt2t2+0（t1），令q（x）2lnxx+（x1），q（x）0，q（x）在（1，+）上单调递减，q（x）q（1）0，2lnxx+0即x12+x224a
