1、数学探究 用向量法研究三角形的性质A级基础巩固1.若O为ABC内一点,|OA|=|OB|=|OC|,则O 是ABC 的()A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析:由向量模的定义知O到ABC的三顶点的距离相等.故O 是ABC 的外心,故选B.答案:B2.已知M是ABC所在平面内的任意一点,且MA+MB+MC=3MN,则N是ABC的()A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心解析:因为MA+MB+MC=3MN,所以(MA-MN)+(MB-MN)+(MC-MN)=0,即NA+NB+NC=0.所以N是ABC的重心.答案:C3.P是ABC所在平面内一点,若PAPB=PBPC=PCPA,则P是ABC的(
2、)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析:由PAPB=PBPC,得PAPB-PBPC=0,PB(PA-PC)=0,即PBCA=0,则PBCA,同理PABC,PCAB,所以P为ABC的垂心.答案:D4.如图所示,在ABC中,点O是外接圆的圆心,AB=4,AC=3,则AOBC=-72.解析:设M是边BC的中点,连接OM(图略).由于点O是ABC的外心,则OMBC.所以AOBC=(AM+MO)BC=AMBC=12(AB+AC)(AC-AB)=12(AC2-AB2)=-72.B级能力提升5.O为平面上一定点,A,B,C是平面上的不共线的三个点,动点P满足OP=OA+(AB+AC),0,+),则点P
3、的轨迹一定通过ABC的()A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心解析:如图所示,设D为BC的中点,由向量的加法法则可得AB+AC=2AD.依题意知AP=2AD.因为0,+),所以P,A,D三点共线.又AD为ABC的中线,故点P的轨迹一定通过ABC的重心,故选C.答案:C6.若非零向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|BC=0,且AB|AB|AC|AC|=12, 则ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析:因为非零向量AB与AC满足（AB|AB|+AC|AC|）BC=0,即A的平分线垂直于BC,所以 AB=AC.因为cos A=AB|AB|AC|AC|=12,所以A=3,所以ABC为等边三角形.答案:D7.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+(AB|AB|+AC|AC|),0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析: 因为AB|AB|是向量AB的单位向量.设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2,且OP-OA=AP,则原式可化为AP=(e1+e2),由菱形的基本性质知AP平分BAC,那么在ABC 中,AP平分BAC,则知选B.答案:B
