1、江苏省南通市如皋中学2019-2020学年高一数学下学期6月阶段考试试题（创新班，含解析）一、选择题：(本题共有12小题，每小题5分，共60分)1.椭圆的焦点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的方程，求出，即可得出焦点坐标.【详解】因为椭圆方程为，所以，且焦点在轴上，所以焦点坐标为：.故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的焦点坐标，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型.2.某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为，现用分层抽样抽取一个容量为的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，则该学校学生的总数为（
2、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为，结合样本容量为可求得该学校学生的总数.【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，所以，在整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为，所以，从该学校中抽取一个容量为的样本时，则该学校学生的总数为.故选：B.【点睛】本题考查利用分层抽样计算总容量，考查计算能力，属于基础题.3.已知数据的平均值为2，方差为1，则数据的方差是（ ）A. 小于1B. 1C. 大于1D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】根据数据的平均值和方差公式计算比较可得答案.【详解】因为数据的平均值为2，所以，所
3、以，所以的平均值为2，数据平均值为2，方差为1所以，所以，所以数据的方差是，故选：C.【点睛】本题考查了数据的平均值和方差公式，属于基础题.4.若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（ ）A. 3B. C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】设，则，解得，故，计算得到答案.【详解】设，M到坐标原点O的距离为，解得，故.点M到该抛物线焦点距离为.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.假设在元旦假期期间，甲地降雨概率是，乙地降雨概率是，且两地是否降雨相互之间没有影响，则在该时段两地中恰有一个地区降雨的概率为（ ）A. B
4、. C. D. 0.56【答案】B【解析】【分析】根据甲、乙两地恰有一个地方下雨，包括甲地下雨，乙地不下雨和甲地不下雨，乙地下雨两类情况，再根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果；【详解】解：甲、乙两地恰有一个地方下雨的概率：故选：B【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式，属于基础题6.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）2013-20
5、18年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加2013-2018年这6年中，2016年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图象上的数据，对三种说法逐个分析可得答案.【详解】观察图像可知说法 正确；观察图像可知2014年增加45万人，2016年增加350万人，故说法 不正确，排除，；观察图像可知2017年增加320万人，2018年增加259万人，2016-2018年这3年中，每年增加的人次相差不大，基本持平，故说法 正确.故选：A.【点睛】本题考查
6、了对统计图表的理解和应用，属于基础题.7.已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】曲线右焦点为，周长 要使周长最小，只需 最小，如图：当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a= 故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.8.12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（ ）A. 抽得3件正品B. 抽得至少有1件正品C. 抽得至少有1件次品D. 抽得3件正品或2件次品1件正品【答案】A【解析】【分析】根据互斥事
7、件和对立事件的概念逐项分析可得答案.【详解】对于 , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件;对于 , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,对于 , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,对于 , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件.故选:A【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,掌握互斥事件与对立事件的概念是答题的关键,属于基础题.9.在平面直角坐标系中，圆与圆的公共弦的长为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，最后用勾股定理
8、可得【详解】解：由，得：两圆的公共弦所在的直线方程为：，圆的圆心到直线的距离为：，公共弦长为：故选：C【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题直线与圆的方程，两圆的公共弦长问题10.已知实数，且，函数在上单调递增，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当，由指数函数的性质分析可得，当时，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得，再结合函数的单调性，分析可得，分析可得答案.【详解】根据题意，函数在上单调递增，当，若为增函数，则，当，若为增函数，必有在上恒成立，变形可得：，又由，可得在上单调递减，则，若在上恒成立，则有，若函数在上单调递增，左
9、边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有，联立可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查函数单调性以及分段函数的应用.首先根据指数函数确定出参数的大范围，然后再利用求导进一步求出参数范围，最后根据单调性来解答临界值的大小，从而得到结论,考查了运算和推论能力，属于中档题.11.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（ ）A. B. ,C. D. ）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r，设P（x，y），
10、因为两切线，如下图，PAPB，由切线性质定理，知：PAAC，PBBC，PAPB，所以，四边形PACB为正方形，所以，PC2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.若关于x的不等式e2xalnxa恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A. 0，2eB. （，2eC. 0，2e2D. （，2e2【
11、答案】C【解析】【分析】讨论a0时，f（x）e2xalnx无最小值，不符题意；检验a0时显然成立；讨论a0时，求得f（x）导数和极值点m、极值和最值，解不等式求得m的范围，结合a2me2m，可得所求范围【详解】解：当a0时，f（x）e2xalnx为（0，+）的增函数（增函数+增函数=增函数），此时时，f（x），所以不符合题意；当a0时，e2xalnxa即为e2x0显然成立；当a0时，f（x）e2xalnx的导数为2e2x，由于y2e2x在（0，+）递增（增函数+增函数=增函数），设0的根为m，即有a2me2m，.当0xm时，0，f（x）单调递减；当xm时，0，f（x）单调递增，可得xm处f（x
12、）取得极小值，且为最小值e2malnm，由题意可得e2malnma，即alnma，化为m+2mlnm1，设g（m）m+2mlnm，1+2（1+lnm），所以函数在内单调递减，在单调递增.当m1时，g（1）1，当时，.可得m+2mlnm1的解为0m1，设所以函数在单调递增.则a2me2m（0，2e2，综上可得a0，2e2，故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：（本题有4小题，每小题5分，共20分.）13.不透明的口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为、.若从袋中随
13、机抽取出两个球，则取出的两个球的编号之和小于的概率为_.【答案】【解析】【分析】列举出所有的基本事件，并确定事件“取出的两个球的编号之和小于”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中随机抽取出两个球，则所有的基本事件有：、，共种，其中，事件“取出的两个球的编号之和小于”所包含的基本事件有：、，共种，因此，所求事件的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.14.如表是某厂2020年14月份用水量（单位：百吨）的一组数据月份x1234用水量y2.5344.5由散点图可知,用水量y与月份x之
14、间有较明显的线性相关关系,其线性回归方程是,预测2020年6月份该厂的用水量为_百吨.【答案】5.95【解析】【分析】求出样本中心的坐标,代入回归直线方程,求出,然后代入x6,推出结果即可.【详解】解：由题意可知,；又线性回归方程是,经过样本中心,所以,解得：,所以,x6时,0.76+1.755.95（百吨）.预测2020年6月份该厂的用水量为5.95百吨.故答案为：5.95.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的计算以及根据回归方程预测的问题.属于基础题.15.甲、乙、丙、丁、戊，共5位同学排成一排，若甲、乙都不排在两端，则不同的排法总数为_.【答案】18【解析】【分析】先排甲、乙，再排没有限
15、制条件的三人，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，甲、乙都不排在两端，共有种不同的排法，其余三个位置进行全排列即可，共有种排法，根据分步计数原理，可得共有种不同的排法.故答案为：.【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，属于基础题，解题时要注意先安排题目中有限制条件的元素，最后再排列没有限制条件的元素，这是解题的常见方法.16.在平面上给定相异两点A,B，设P点在同一平面上且满足，当0且1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆,A,B为椭圆的长轴端点，C,D为椭圆的短轴端点，动点P满足，PAB面积最大值为 ,PCD面积最
16、小值为，则椭圆离心率为_【答案】 【解析】【分析】利用两点间的距离公式求得点的轨迹方程，根据两个三角形面积的最值列方程，由此求得的值及离心率的值.【详解】依题意，设，依题意的,，两边平方化简得，故圆心为，半径.所以的最大面积为，解得，的最小面积为，解得.故椭圆离心率为.【点睛】本小题主要考查阿波罗斯圆轨迹方程的求法，考查三角形的面积公式，考查椭圆的离心率以及圆的标准方程，考查了化归与转化的数学思想方法.要求一个动点的轨迹方程，可以先设出动点的坐标，然后代入题目所给的方程，如本题中比值为这个方程，化简后可求得动点的轨迹方程.三、解答题：（本题有6小题，共70分.要求规范书写推理、演算的过程.）1
17、7.某种水果按照肉质和口感可分为四类：标准果，优质果，精品果，礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个（每个水果的重量相当），利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020（1）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考：方案：不分类卖出，单价为20元/.方案：分类卖出，分类后的水果售价如下表：等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/）16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由.（2）从这100个水果中用分层抽样的方法抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，求抽取的2个水果不是同一级别水果的概率.【答案
18、】（1）选择方案，理由见详解；（2）.【解析】【分析】（1）先设方案的单价为，求出其均值，即可得出结果；（2）先根据分层抽样，得出各种等级的果品抽取的个数；再根据题意，由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】（1）设方案的单价为，则单价的期望为，所以从采购商的角度考虑，应选择方案； （2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中标准果；优质果；精品果个；礼品果；再从抽取的10个水果中随机抽取2个，共有种情况；则抽取的2个水果不是同一级别水果的概率为.【点睛】本题主要考查期望的应用，以及古典概型的概率计算问题，属于常考题型.18.如图，四棱锥，为等边三角形，平面平面，为中点.（
19、1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明及，即可证明：平面，问题得证（2）建立空间直角坐标系，由（1）得为平面的法向量，求得平面的法向量为，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面.又平面，所以，因为为中点，且为等边三角形，所以.又，所以平面.（2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，所以平面，所以，由，可知，所以.以中点为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.所以，所以，由（1）知，为平面的法向量，因为为的中点，所以，所
20、以，设平面的法向量为，由，得，取，则.所以 .因为二面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题19.在平面直角坐标系中，抛物线，圆，已知直线与圆相切，且与抛物线相交于两点.（）求直线在轴上截距的取值范围；（）设是抛物线的焦点，求直线的方程.【答案】（）；（）或【解析】【分析】（）设直线的方程为，由直线与圆相切，可得，直线的方程代入，消去，由直线与抛物线相交于，两点，得，即可求直线在轴上截距的取值范围；（）由，结合韦达定理和条件，解方程，即可求直线的方程【详解】解：（）设直线的方
21、程为，的圆心为，半径为1，由直线与圆相切，得，化简得，直线的方程代入，消去，得，由直线与抛物线相交于，两点，得，即，将代入上式，得解得或，注意到，从而有或，即.（）设，由得，所以，将，代入上式，由，得，所以，即解得，或（舍去）故所以直线的方程为或【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键20.设函数.（1）当，时，恒成立，求的范围；（2）若在处的切线为，求、的值.并证明当时，.【答案】（1）（2）见解析【解析】【试题分析】（1）当时，由于，故函数单调递增，最小值为.（2）利用切点和斜率为建立方程组，解方程组求得的
22、值.利用导数证得先证，进一步利用导数证，从而证明原不等式成立.【试题解析】解：由，当时，得.当时，且当时，此时.所以，即在上单调递増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由题意得，所以.又在切线上.所以.所以.所以.先证，即，令，则，所以在是增函数.所以，即.再证，即，令，则，时，时， 时，.所以在上是减函数，在上是增函数，所以.即，所以.由得，即在上成立.【点睛】本小题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式.第一问由于题目给出，并且导函数没有含有，故可直接有导数得到函数的单调区间，由此得到函数的最小值，令函数的最小值大于或等于零，即可求得的取值范围，从而解决了不等
23、式恒成立问题.21.如图，在平面直角坐标系中，椭圆经过点，离心率为. 已知过点的直线与椭圆交于两点（1）求椭圆的方程；（2）试问轴上是否存在定点，使得为定值若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C的方程. (2) 设N(n，0)，先讨论l斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：yk(x)，恒有12详解：（1）离心率e，所以ca，ba， 所以椭圆C的方程为因为椭圆C经过点，所以，所以b21，所以椭圆C的方程为 （2）设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(，y)，B(，y)，则
24、y21，则(n)2y2(n)2n2n， 当l经过左右顶点时，(2n)(2n)n24令n2nn24，得n4 下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：yk(x)，恒有12设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(4k21)x2k2xk240， 所以x1x2，x1x2， 所以(x14)(x24)y1y2(x14)(x24)k2(x1)(x2)(k21)x1x2(4k2)(x1x2)16k2 (k21) (4k2) 16k21612 所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得为定值 点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，考查向量的数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌
25、握能力和分析推理能力基本计算能力. (2)对于定点定值问题，可以通过特殊情况先探究，再进行一般性的证明.本题就是这样探究的.先通过讨论l斜率不存在的情况得到n=4,=12，再证明斜率存在时，对斜率为k的直线l：yk(x)，恒有1222.已知函数，其中常数.（1）若，求函数的极值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，设函数在上的极值点为，求证：.【答案】(1)当时，的极大值为，无极小值；(2)；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，
26、将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解.试题解析：（1）当时，定义域为，令，得.极大值当时，的极大值为，无极小值.（2），由题意对恒成立. ， 对恒成立， 对恒成立.令，则，若，即，则对恒成立， 在上单调递减，则，与矛盾，舍去；若，即，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，当时， ，.综上.（3）当时，令，则 ，令，得，当时，单调递减，恒成立，单调递减，且.当时，单调递增， 又 ，存在唯一，使得，当时，单调递增，当时，单调递减，且，由和可知，在单调递增，在上单调递减，当时，取极大值.， ，又，.- 23 -
